«Определитель»

(Determinant). — Решая два уравнения первой степени с двумя неизвестными: а₁х + b₁у = c₁, а₂х + b₂у = c₂, получаем следующие выражения для x и у: x = (c₁b₂— c₂b₁)/(a₁b₂— a₂b₁), y = (a₁c₂— a₂c₁)/(a₁b₂— a₂b₁) . Подобным же образом, решая три уравнения первой степени с тремя неизвестными, получим выражение последних в виде отношений многочленов, составленных из постоянных, входящих в уравнения. Например, многочлен, стоящий в знаменателях, будет: a₁b₂c₃— a₁b₃c₂+ a₂b₃c₁— a₂b₁c₃+ a₃b₁c₂— a₃b₂c₁. Многочлены такого вида называются определителями и обозначаются особыми символами; так:

Свойства О. и действия над ними рассматриваются в алгебраическом анализе. Многие сложные вычисления значительно упрощаются при пользовании О. В высшем анализе приходится пользоваться так называемыми функциональными О., составленными из производных от функций, зависящих от нескольких переменных; таков, напр., функциональный определитель:

Трех функций φ₁, φ₂, φ₃от трех переменных х₁, x₂, x₃. Есть на всех языках сочинения, заключающие теорию О. См. Ващенко-Захарченко, "Теория определителей"; Baltzer, "Théorie et application des déterminants".

Д. Б.

детерминант, особого рода математическое выражение, встречающееся в различных областях математики. Пусть дана Матрица порядка n, т. е. квадратная таблица, составленная из п²элементов (чисел, функций и т. п.):

(каждый элемент матрицы снабжён двумя индексами: первый указывает номер строки, второй — номер столбца, на пересечении которых находится этот элемент). Определителем матрицы (1) называется многочлен, каждый член которого является произведением n элементов матрицы (1), причём из каждой строки и каждого столбца матрицы в произведение входит лишь один сомножитель, т. е. многочлен вида

∑ ± a_1αa_2β...a_nγ. (2)

В этой формуле α, β, ..., γ есть произвольная перестановка чисел 1, 2, ..., n. Перед членом берётся знак +, если перестановка α, β, ..., γ чётная, и знак – , если эта перестановка нечётная. [Перестановку называют чётной, если в ней содержится чётное число нарушений порядка (или инверсий), т. е. случаев, когда большее число стоит впереди меньшего, и нечётной – в противоположном случае; так, например, перестановка 51243 – нечётная, т. к. в ней имеется 5 инверсий 51, 52, 54, 53, 43.] Суммирование производится по всем перестановкам α, β, ..., γ чисел 1, 2, ..., n.Число различных перестановок n символов равно n! = 1·2·3·...·n; поэтому О.содержит n! членов, из которых ¹/₂n! берётся со знаком + и ¹/₂n! со знаком –. Число n называется порядком О.

О., составленный из элементов матрицы (1), записывают в виде:

(или, сокращённо, в виде |a_ik|). Для О. 2-го и 3-го порядков имеем формулы:

a₁₁a₂₂ – a₁₂a₂₁,

= a₁₁a₂₂a₃₃ + a₁₂a₂₃a₃₁ + a₁₃a₂₁a₃₂ – a₁₁a₂₃a₃₂ – a₁₂a₂₁a₃₃ – a₁₃a₂₂a₃₁.

О. 2-го и 3-го порядков допускают простое геометрическое истолкование: a₁ = (x₁, y₁) и a₂ = (х₂.у₂), а a₁=(x₁,y₁,z₁),a₂=(x₂,у₂, z₂) и а₃ = (х₃,y₃,z₃) (системы координат предполагаются прямоугольными).

Теория О. возникла в связи с задачей решения систем алгебраических уравнений 1-й степени (линейные уравнения (См. Линейное уравнение)). В наиболее важном случае, когда число уравнений равно числу неизвестных, такая система может быть записана в виде:

Эта система имеет одно определённое решение, если О. |a_ik|, составленный из коэффициентов при неизвестных, не равен нулю; тогда неизвестное x_m(m = 1, 2, ..., n) равно дроби, у которой в знаменателе стоит О.|a_ik|, а в числителе — О., получаемый из |a_ik| заменой элементов m-го столбца (т. е. коэффициентов при х_т) числами b₁, b₂, ..., b_n. Так, в случае системы двух уравнений с двумя неизвестными

решение даётся формулами

Если b₁ =b₂= ..., = b_n= 0, то систему (4) называется однородной системой линейных уравнений. Однородная система имеет отличные от нуля решения, только если |a_ik| = 0. Связь теории О. с теорией линейных уравнений позволила применить теорию О. к решению большого числа задач аналитической геометрии. Многие формулы аналитической геометрии удобно записывать при помощи О.; например, уравнение плоскости, проходящей через точки с координатами (x₁,y₁,z₁),(x₂,y₂, z₂), (х₃,y₃,z₃), может быть записано в виде:

О. обладают рядом важных свойств, которые, в частности, облегчают их вычисление. Простейшие из этих свойств следующие:

1) O. не изменяется, если в нём строки и столбцы поменять местами:

2) О. меняет знак, если в нём поменять местами две строки (или два столбца); так, например:

3) О. равен нулю, если в нём элементы двух строк (или двух столбцов) соответственно пропорциональны; так, например:

4) общий множитель всех элементов строки (или столбца) О. можно вынести за знак О.; так, например:

k

5) если каждый элемент какого-нибудь столбца (строки) О. есть сумма двух слагаемых, то О. равен сумме двух О., причём в одном из них соответствующий столбец (строка) состоит из первых слагаемых, а в другом — из вторых слагаемых, остальные же столбцы (строки) — те же, что и в данном О.; так, например:

6) О. не изменяется, если к элементам одной строки (столбца) прибавить элементы другой строки (другого столбца), умноженные на произвольный множитель; так, например:

=

7) О. может быть разложен по элементам какой-либо строки или какого-либо столбца. Разложение О. (3) по элементам i-й строки имеет следующий вид:

a_i1A _i1 + a_i2A_i2 + ...+a_inA_in.

Коэффициент A_ik, стоящий при элементе a_ik в этом разложении, называется алгебраическим дополнением элемента a_ik. Алгебраическое дополнение может быть вычислено по формуле: A_ik=(–1)^{i + k}D_ik, где D_ik— минор (подопределитель, субдетерминант), дополнительный к элементу a_ik, то есть О. порядка n-1, получающийся из данного О. посредством вычёркивания строки и столбца, на пересечении которых находится элемент a_ik. Например, разложение О. 3-го порядка по элементам второго столбца имеет следующий вид:

= –a₁₂₂₂₃₂

Посредством разложения по элементам строки или столбца вычисление О. n-го порядка приводится к вычислению nопределителей (n -1)-го порядка. Так, вычисление О. 5-го порядка приводится к вычислению пяти О. 4-го порядка; вычисление каждого из этих О. 4-го порядка можно, в свою очередь, привести к вычислению четырёх О. 3-го порядка (формула для вычисления О. 3-го порядка приведена выше). Однако, за исключением простейших случаев, этот метод вычисления О. практически применим лишь для О. сравнительно небольших порядков. Для вычисления О. большого порядка разработаны различные, практически более удобные методы (для вычисления О. n-го порядка приходится выполнять примерно n³ арифметических операций).

Отметим ещё правило умножения двух О. n-го порядка: произведение двух О. n-го порядка может быть представлено в виде О. того же n-го порядка, в котором элемент, принадлежащий i-й строке и k-му столбцу, получается, если каждый элемент i-й строки первого множителя умножить на соответствующий элемент k-го столбца второго множителя и все эти произведения сложить; иными словами, произведение О. двух матриц равно О. произведения этих матриц.

В математическом анализе О. систематически используются после работ немецкого математика К. Якоби (2-я четверть 19 в.), исследовавшего О., элементы которых являются не числами, а функциями одного или нескольких переменных. Из таких О. наибольший интерес представляет определитель Якоби (Якобиан)

Определитель Якоби равен коэффициенту искажения объёмов при переходе от неременных х₁,x₂, ...,х_п к переменным

y₁= f₁(x₁, ...,x_n),

y₂= f₂(x₁, ...,x_n),

………………….

y_n = f_n(x₁, ..., x_n).

Тождественное равенство в некоторой области этого О. нулю является необходимым и достаточным условием зависимости функций f₁(x₁, ...,x_n), f₂(x₁, ...,x_n), ..., f_n(x₁, ..., x_n).

Во 2-й половине 19 в. возникла теория О. бесконечного порядка. Бесконечными О. называются выражения вида:

(односторонний бесконечный О.) и

(двусторонний бесконечный О.). Бесконечный О. (5) есть предел, к которому стремится О.

при бесконечном возрастании числа n.Если этот предел существует, то О. (5) называется сходящимся, в противном случае — расходящимся. Исследование двустороннего бесконечного О. иногда можно привести к исследованию некоторого одностороннего бесконечного О.

Теория О. конечного порядка создана в основном во 2-й половине 18 в. и 1-й половине 19 в. (работами швейцарского математика Г. Крамера, французских математиков А. Вандермонда, П. Лапласа, О. Коши, немецких математиков К. Гаусса и К. Якоби). Термин «О.» («детерминант») принадлежит К. Гауссу, современное обозначение — английскому математику А. Кэли.

Лит. см. при статьях Линейная алгебра,Матрица.

1. определи́тель;
2. определи́тели;
3. определи́теля;
4. определи́телей;
5. определи́телю;
6. определи́телям;
7. определи́тель;
8. определи́тели;
9. определи́телем;
10. определи́телями;
11. определи́теле;
12. определи́телях.

ОПРЕДЕЛИ́ТЕЛЬ, -я, муж.

1. Устройство для определения чего-н., а также вообще то, с помощью чего можно что-н. точно определить, установить. Телефон с определителем номера. О. ритма.

2. Книга для справок при определении чего-н. (спец.). О. растений.

-я, м.

1.

То, чем определяется, обусловливается что-л.

наша пропаганда и пропаганда всех социал-демократических рабочих входит одним из определителей того, будет революция или нет. Ленин, Платформа реформистов и платформа революционных социал-демократов.

2.

Руководство (книга или таблица) для определения чего-л.

Определитель растений. Определитель рыб.

3. мат.

Математическое выражение, с помощью которого можно просто и кратко сформулировать правила решения и исследования алгебраических уравнений первой степени.

ОПРЕДЕЛИ́ТЕЛЬ, определителя, муж. (книжн.).

1. То, что определяет, выражает собою что-нибудь.

2. Книга, служащая для справок при определении чего-нибудь (научн.). Определитель растений. Определитель грибов.

3. Выражение, составляемое из коэффициентов системы уравнений 1-й степени с несколькими неизвестными для упрощения вычисления корней уравнений (мат.).

I

1.

То, чем определяется, обусловливается что-либо.

2.

Руководство - книга, таблица и т.п. - для справок или для определения чего-либо.

II

Математическое выражение, с помощью которого можно кратко и понятно сформулировать правила решения и исследования алгебраических уравнений первой степени (в математике).

ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ (детерминант) - составленное по определенному правилу из n2 чисел математическое выражение, применяемое при решении и исследовании систем алгебраических уравнений 1-й степени. Число n называется порядком определителя. Так, определитель 2-го порядка, составленный из четырех чисел a1, b1, a2, b2, обозначается:и равен a1b2-b1a2.

муж. determinant, qualifierfinder

determinant, identifier

f.determinant; определитель Вронского, Wronskian

м. мат.

déterminant m

м.

1)tratado m, índice m

2)мат. determinante m

м.

1)книжн.(книга, таблица) classificatore

2)мат. determinante

ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ

(детерминант) квадратнойматрицы А =||a_ij|| порядка n, detA - многочлен, <каждый член к-рого является произведением п элементов матрицы А,причём из каждой строки и каждого столбца матрицы в произведениевходит лишь один сомножитель, т. е. многочлен вида detA =где сумма берётся по всем перестановкам чисел 1, 2,..., n; число равно числу инверсий в перестановке j₁, j₂,..., j_n, т. е. числу случаев, когда большее число стоитперед меньшим. O. содержит n! членов, из к-рых половина берётсясо знаком + и половина со знаком -. Число п наз. порядком О. Определительматрицы А обозначается также| А| или|det A', где А'- матрица, транспонированнаяк А; б) при чётном числе перемен местами любых двух строк (столбцов) А; в) если к элементам любой строки (столбца) прибавить соответствующиеэлементы другой строки (соответственно столбца), умноженные на одно и тоже число. 2) О. меняет знак, если в . произвести нечётное числоперемен местами любых двух строк (столбцов). 3) О. равен нулю, если:

а) все элементы к.-л. строки (столбца)равны нулю;

б) соответствующие элементы к.-л. двухстрок (столбцов) равны или пропорциональны. 4) Общий множитель всех элементовстроки (столбца) можно вынести за знак О. 5) Если каждый элемент к.-л. <строки (столбца) есть сумма двух слагаемых, то О. равен сумме двух О.,причём в одном из них соответствующая строка (столбец) состоит из первыхслагаемых, а в другом - из вторых слагаемых. 6) О. можно разложить по элементамк.-л. строки (столбца). Напр., разложение О. по элементам i- й строки имеет вид:| А| = а _i1 А _i1 + а _i2A_i2+... + <п -1, полученный из данного О. вычёркиванием i -йстроки и j -го столбца. 7) Из определения произведения матриц следует, <что det ( АВ)= detAdetB, где А и В - квадратныематрицы одного и того же порядка. 8) detA⁺ = detA* =(detA)*, detA^-1 = (detA)^-1 при detA0(A⁺- матрица, эрмитово сопряжённая к А, * - комплексное сопряжение).

Нек-рые спец. О.: для ф-ции f(x_l,..., х _п )гессианом наз.|| д²./ дx_i дx_k||,для п ф-ций f_i (х ₁,.... х _п)(i =1, 2,..., п )якобианом наз. О.|| дf_i/ дx_j||, определителем Вронского наз. О. матрицы, в к-рой элементами первойстроки являются п функций v₁(x), v₂ (х),..., v_n(x), а их k-eпроизводные являютсяэлементами (k+ 1)-й строки(k =1, 2,..., п -1).Определителем Грама наз. О. матрицы, элементы к-рой - скалярные произведения(u_iu_j) п векторов u₁, u₂,..., и _п в пространстве размерности п.

Лит. см. при ст. Матрица.

С. И. Азаков.

или детерминант, - в математике запись чисел в виде квадратной таблицы, в соответствие которой ставится другое число ("значение" определителя). Очень часто под понятием "определитель" имеют в виду как значение определителя, так и форму его записи. Определители позволяют удобно записывать сложные выражения, возникающие, например, при решении линейных уравнений в аналитической геометрии и в математическом анализе. Открытие определителей приписывают японскому математику С. Кова (1683) и, независимо, Г. Лейбницу (1693). Современная теория восходит к работам Ж. Бине, О. Коши и К. Якоби в начале 19 в. Простейший определитель состоит из 4 чисел, называемых элементами и расположенных в виде 2-х строк и 2-х столбцов. О таком определителе говорят, что он 2-го порядка. Например, таков определитель

значение которого равно 2*5 - 3*1 (т.е. 10 - 3 или 7). В общем случае определитель 2-го порядка принято записывать в виде

а его значение равно a1b2 - a2b1, где a и b - числа или функции. Определитель 3-го порядка состоит из 9 элементов, расположенных в виде 3-х строк и 3-х столбцов. В общем случае определитель n-го порядка состоит из n2 элементов, и обычно его записывают как

Первый индекс каждого элемента указывает номер строки, второй - номер столбца, на пересечении которых стоит этот элемент, поэтому aij - элемент i-й строки и j-го столбца. Часто такой определитель записывают в виде|aij|. Один из методов вычисления определителя, почти всегда используемый при вычислении определителей высокого порядка, состоит в разложении по "минорам". Минором, соответствующим любому элементу определителя, называется определитель меньшего на 1 порядка, получаемый из исходного вычеркиванием строки и столбца, на пересечении которых стоит этот элемент. Например, минором, соответствующим элементу a2 из определителя

"Алгебраическим дополнением" элемента называется его минор, взятый со знаком плюс, если сумма номеров строки и столбца, на пересечении которых стоит элемент, четна, и со знаком минус, если она нечетна. В приведенном выше примере элемент a2 состоит в 1-м столбце и во 2-й строке; сумма (1 + 2) нечетна, и поэтому алгебраическое дополнение элемента a2 равно его минору, взятому со знаком минус, т.е.

Значение определителя равно сумме произведений элементов любой строки (или любого столбца) на их алгебраические дополнения. Например, определитель

разложенный по первому столбцу, имеет вид

а его разложение по второй строке, имеет вид

Вычислив каждый минор и умножив его на коэффициент, нетрудно убедиться в том, что оба выражения совпадают. Значение определителя. Под значением определителя

принято понимать сумму всех произведений из n элементов, т.е.

В этой формуле суммирование ведется по всем перестановкам j1, ј, jn чисел 1, 2, ј, n и перед членом ставится знак плюс, если перестановка четна, и минус, если эта перестановка нечетна. Такая сумма насчитывает ровно n! членов, половина которых берется со знаком плюс, половина - со знаком минус. Каждый член суммы содержит по одному члену из каждого столбца и каждой строки определителя. Можно доказать, что эта сумма совпадает с выражением, получаемым при разложении определителя по минорам.

Свойства определителя. Среди наиболее важных свойств определителя назовем следующие. (i) Если все элементы любой строки (или любого столбца) равны нулю, то и значение определителя равно нулю:

(ii) Если элементы двух строк (или двух столбцов) равны или пропорциональны, то значение определителя равно нулю:

(iii) Значение определителя не изменится, если все его строки и столбцы поменять местами, т.е. записать первую строку в виде первого столбца, вторую строку - в виде второго столбца и т.д. (такая операция называется транспонированием). Например,

(iv) Значение определителя не изменится, если к элементам одной строки (или столбца) прибавить соответствующие элементы другой строки (или столбца), умноженные на произвольный множитель. В следующем примере элементы второй строки умножаются на -2 и прибавляются к элементам первой строки:

(v) Если поменять местами две строки (или два столбца), то определитель изменит знак:

(vi) Если все элементы одной строки (или одного столбца) содержат общий множитель, то этот множитель можно вынести за знак определителя:

Пример. Вычислим значение следующего определителя 4-го порядка:

Прибавим к 1-й строке 4-ю строку:

Вычтем 1-й столбец из 4-го столбца:

Умножим 3-й столбец на 3 и вычтем из 4-го столбца:

Если угодно, то строки и столбцы можно поменять местами:

Разложим определитель по элементам четвертой строки. Три элемента этой строки равны нулю, ненулевой элемент стоит в третьем столбце, а поскольку сумма (3 + 4) нечетна, его алгебраическое дополнение имеет знак минус. В результате получаем:

Минор можно разложить по элементам третьей строки: два ее элемента равны нулю, а отличный от нуля элемент стоит в третьем столбце; сумма (3 + 3) четна, поэтому предыдущее равенство можно продолжить:

Применения. Решение системы уравнений

можно получить, если первое уравнение умножить на b2, второе - на b1, а затем вычесть одно уравнение из другого. Проделав эти операции, мы получим

или, если

то

Такая запись решения с помощью определителей допускает обобщение на случай решения системы n линейных уравнений с n неизвестными; каждый определитель будет n-го порядка. Определителем системы линейных уравнений

будет

Заметим, что если D = 0, то уравнения либо несовместны, либо не являются независимыми. Поэтому предварительное вычисление определителя D позволяет проверить, разрешима ли система линейных уравнений.

Определители в аналитической геометрии. Общее уравнение конического сечения представимо в виде

Определитель

называется дискриминантом. Если D = 0, то кривая вырождается в пару параллельных или пересекающихся прямых либо в точку (см. также КОНИЧЕСКИЕ СЕЧЕНИЯ). Другой пример: площадь треугольника A с вершинами в точках (обход - против часовой стрелки) (x1, y1), (x2, y2) и (x3, y3) определяется выражением

Связь определителей с матрицами. Матрицей называется запись массива чисел в виде прямоугольной таблицы. Определители связаны с квадратными матрицами; например, определитель матрицы

Если A, B и С - квадратные матрицы и, то|A|*|B| =|C|.

См. также АЛГЕБРА АБСТРАКТНАЯ.

Якобиан. Если x = f (u, v), y = g (u, v) - преобразование координат, то определитель

называется якобианом или определителем Якоби этого преобразования. Если J не равен 0 в некоторой точке, то в ее окрестности уравнения преобразования можно однозначно разрешить относительно u и v, представив их как функции от x и y.

См. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ.

ОПРЕДЕЛИ́ТЕЛЬ -я; м.

1. Книжн. То, чем определяется, обусловливается что-л. Звук может быть определителем скорости. Главным определителем времени является движение Солнца в космическом пространстве.

2. Спец. Руководство (книга или таблица) для определения чего-л. О. растений. О. рыб.

3. Матем. Математическое выражение, с помощью которого можно просто и кратко сформулировать правила решения и исследования алгебраических уравнений первой степени.

* * *

(детерминант), составленное по определенному правилу из n² чисел математическое выражение, применяемое при решении и исследовании систем алгебраических уравнений 1-й степени. Число n называется порядком определитель. Так, определитель. 2-го порядка, составленный из четырёх чисел a₁, b₁, а₂, b₂, обозначается₁, b₂, b₁, a₂.

* * *

ОПРЕДЕЛИ́ТЕЛЬ (детерминант), составленное по определенному правилу из n² чисел математическое выражение, применяемое при решении и исследовании систем алгебраических уравнений 1-й степени. Число n называется порядком определителя. Так, определитель 2-го порядка, составленный из четырех чисел a₁, b₁, a₂, b₂, обозначается:

и равен a₁b₂-b₁a₂.

детерминант, квадратной матрицы А=||a_ij|| порядка пнад ассоциативно-коммутативным кольцом K с единицей 1 - элемент кольца K, равный сумме всех членов вида

где i₁,..., i_n- перестановка чисел 1,..., п,a t- число инверсий перестановки i₁,..., i_n. О. матрицы обозначается

О. матрицы Асодержит п! членов; при n-1 det A =a₁₁, при п=2det А=а ₁₁ а ₂₂-a_2la₁₂. Наиболее важные для приложений случаи: K - поле (в частности, числовое поле), К - кольцо функций (в частности, кольцо многочленов), K - кольцо целых чисел.

Всюду ниже К- ассоциативно-коммутативное кольцо с 1, М _п (К) - совокупность всех квадратных матриц порядка пнад K, Е _п- единичная матрица над А. Пусть , а а ₁,..., а _п- строки матрицы А(все далее изложенное справедливо и для столбцов матрицы А). О. матрицы A удобно рассматривать как функцию от ее строк:

Отображение

подчинено следующим трем условиям:

1) d(A) - линейная функция любой строки матрицы А:

где l, ;

2) если матрица Вполучена из Азаметной строки а _i строкой , , то ;

3)

Условия 1) - 3) однозначно определяют отображение d, т. е. если отображение удовлетворяет условиям 1) - 3), то h(A)=detА. Таким образом получается аксиоматич. построение теории О.

Пусть отображение удовлетворяет условию:

1 _а) если Вполучается из матрицы Л умножением одной строки на ,то . Очевидно, В случае, когда К- поле, совокупность условий 1) - 3) оказывается равносильной условиям 1 _а), 2), 3).

О. диагональной матрицы равен произведению ее диагональных элементов. Отсюда вытекает сюръективность отображения . О. треугольной матрицы также равен произведению ее диагональных

элементов. Для матрицы , где Ви С- квадратные матрицы,

Из свойств перестановок вытекает, что > где ^Т - знак транспонирования. Если матрица Аимеет две одинаковые строки, то ее определитель равен 0; если поменять местами две строки матрицы А, то ее О. изменит знак;

при ; для А и В из М _п (К)

Таким образом, отображение dесть эпиморфизм мультипликативных полугрупп М _п (К).и K.

Пусть есть (mx n) матрица, есть (nx m) - матрица над K, а С=АВ. Тогда верна формула Вине-Коши:

Пусть , a A_ij- алгебраич. дополнение элемента a_ij. Тогда верны формулы

где - символ Кронекера. Для вычислений О. часто используются разложение его по элементам строки или столбца, т. е. формулы (1), теорема Лапласа (см. Алгебраическое дополнение).и преобразования матрицы А, не меняющие О. Для матрицы Аиз М _п (К).тогда и только тогда существует обратная матрица А ^-1 в М _п (К), когда в Кимеется элемент, обратный элементу del A. Следовательно, отображение

где GL ( п, К) - группа всех обратимых матриц в М _п (К), т. е. полная линейная группа, а К*- группа обратимых элементов K, есть эпиморфизм этих групп. Квадратная матрица над полем обратима тогда и только тогда, когда ее О. отличен от нуля, n-мервые векторы a₁..., а _п над полем Fлинейно зависимы тогда и только тогда, когда

О. матрицы Апорядка n>1 над полем равен 1 тогда и только тогда, когда Аесть произведение элементарных матриц вида

где , a e_ij - матрица, единственный ненулевой элемент к-рой равен 1 и расположен на позиции (i, j). Теория О. возникла в связи с задачей решения систем линейных уравнений:

где a_ij, b_j- элементы нек-рого поля F. Если , где - матрица системы (2), то эта система имеет единственное решение, вычисляемое по формулам Крамера (см. Крамера правило). В случае, когда система (2) задана над кольцом Ки det Аобратим в К, система также имеет единственное решение, определяемое теми же формулами Крамера.

Теория О. построена также и для матриц над некоммутативным ассоциативным телом. О. матрицы над телом k(определитель Дьёдонне) вводится следующим образом. Тело kрассматривается как полугруппа и строится ее коммутативный гомоморфный образ . k - группа k* с внешне присоединенным нулем 0, а в качестве берется также группа с внешне присоединенным нулем , где - факторгруппа группы k* по коммутанту. Эпиморфизм задается канонич. эпиморфизмом групп и условием . Очевидно, - единица полугруппы

Теория О. над телом основана на следующей теореме. Существует единственное отображение

удовлетворяющее следующим трем аксиомам:

I) если матрица Вполучена из матрицы Аумножением слева одной строки на , то ;

II) если Вполучена из Азаменой строки a_i строкой a_i+a_j, где , то ;

III)

Элемент наз. определителем матрицы Аи обозначается det A. Для коммутативного тела аксиомы I), II), III) совпадают с условиями 1 _а), 2), 3) соответственно, и, следовательно, в этом случае получаются обычные О. над полем. Если A = diag [a_n,...,а _ап], то таким образом, отображение сюръективно. Матрица Аиз M_n(k).обратима тогда и только тогда, когда . Справедливо равенство . Как и в коммутативном случае, det Ане изменится, если строку а _i матрицы Азаменить строкой , где При тогда и только тогда, когда Апроизведение элементарных матриц вида , . Если , то

В отличие от коммутативного случая, det A^T может и не совпадать с det А. Напр., для матрицы

над телом кватернионов, а

Бесконечные О., то есть О. бесконечных матриц, определяются как предел, к к-рому стремится О. конечной подматрицы при бесконечном возрастании ее порядка. Если этот предел существует, то О. наз. сходящимся, в противном случае - расходящимся.

Понятие "О." восходит к Г. Лейбницу (G. Leibnitz, 1678); первая публикация принадлежит Г. Крамеру (G. Cramer, 1750). Теория О. создана трудами А. Ван-дермонда (A. Vandermonde), П. Лапласа (P. Laplace), О. Коши (A. Cauchy) и К. Якоби (С. Jacobi). Термин "О." встречается впервые у К. Гаусса (С. Gauss, 1801). Современное обозначение введено А. Кэли (A. Cayley, 1841).

Лит.:[1] Курош А. Г., Курс высшей алгебры, 11 изд., М., 1975; [2] Кострикин А. И., Введение в алгебру, М., 1977; [3] Ефимов Н. В., Розендорн Э. Р., Линейная алгебра и многомерная геометрия, М., 1970; L4] Тышкевич Р. И., Феденко А. С., Линейная алгебра и аналитическая геометрия, 2 изд., Минск, 1976;[5] А р т и н Э., Геометрическая алгебра, пер. с англ., М., 1969; М Б у р б а к и Н., Алгебра. Алгебраические структуры. Линейная и полилинейная алгебра, пер. с франц., М., 1962; [7] Каган В. Ф., Основания теории определителей, Одесса, 1922. Д. А. <Супруненко.

ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ — (детерминант) — составленное по определённому правилу из n² чисел математическое выражение, применяемое при решении и исследовании систем алгебраических уравнений 1-й степени. Число п называется порядком определителя. Так, определитель 2-го порядка, составленный из четырёх a₁, b₁, a₂, b₂, обозначается