«дисперсионное уравнение»

dispersion equation

dispersion equation

ДИСПЕРСИОННОЕ УРАВНЕНИЕ

-соотношение, связывающее циклич. частоты и волновые векторы k собственных гармонич. волн ( нормальных волн )в линейных однородных системах: непрерывных средах, волноводах, передающих линиях и др. Д. <у. записывается в явном или неявном виде. В тех случаях, когда зависимость неоднозначна, выделяют однозначные ветви Д. <у.: (где n= 1, 2,...), соответствующие нормальным модам системы, т. е. совокупностям нормальных волн с одинаковой (в т. ч. поляризационной) структурой. Графич. изображение корней Д. у. на плоскости наз. дисперсионной кривой.

Д. у. эквивалентно полному кинематич. описанию волновых процессов в системе. В частности, Д. у. определяет фазовые скорости гармонич. волн в направлении k, групповые скорости перемещения квазигармонич. одномодовых волновых пакетов, расплывание пакетов (зависящее от величин вторых или более высоких производных). В области комплексных значений и Д. у. определяет временные и пространственные Г инкременты (или декременты) процессов распространения волн (см. Дисперсия волн).

Д. у. являются следствием динамических (в общем случае интегродифференциальных) ур-ний движения и краевых условий на границах раздела сред. И наоборот, по виду Д. у. иногда (при наличии определённой априорной информации о системе) или во всех случаях, когда Д. у. представлено через полиномы по и k, могут быть восстановлены динамич. ур-ния процессов с помощью замены

Д. у. позволяет установить общность между волновыми движениями разл. природы: так, напр., одно и то же соотношение соответствует: 1) эл.-магн. волнам в изотропной плазме (при этом - плазменная частота, u=c- скорость света в вакууме); 2) плазменным волнам (, , - тепловая скорость электронов); 3) волнам в радиоволноводах (u=c, , -поперечное волновое число, определяемое размерами, конфигурацией волновода, типом и номером моды); 4) волнам в волноводах акустических(u=c_S- скорость звука. ); 5) элементарной частице в релятивистской волновой механике ( и = с,, m₀ - масса покоя).

В плавно неоднородных средах, где гармонические во времени поля можно представить в виде

,

обобщением Д. у. является уравнение эйконала., к-рое совпадает при фиксиров. значении координаты r с Д. у. в соответствующей однородной среде. Ур-нию эйконала можно сопоставить систему лучевых ур-ний (см. Геометрической оптики метод): , . Аналогичным образом Д. у. обобщается на системы с медленно меняющимися во времени параметрами (параметрические колебательные системы).

При исследовании нелинейных систем Д. у. позволяет описать волновые процессы вблизи стационарных состояний и установить их устойчивость или характер их неустойчивости. При этом Д. у. составляется для линеаризов. ур-ний, описывающих малые отклонения от стационарного состояния. По виду Д. у. можно определить тип неустойчивости: если действительным k соответствуют комплексные значения , то имеет место абсолютная неустойчивость системы, если действительным соответствуют комплексные значения , неустойчивость является конвективной (см. Неустойчивость в колебательных и волновых системах).

Существует обобщение Д. у. на существенно нелинейные стационарные волновые процессы (периодические нелинейные волны или уединённые волны - солитоны). В этом случае нелинейное Д. у. связывает амплитуду стационарной волны с её структурными параметрами - характерными временами и масштабами (см. Нелинейные колебания и волны).

При квантовом подходе Д. у. приобретает смысл соотношения между энергией и импульсом (см. Дисперсии закон).

Лит.: Крауфорд Ф., Волны, пер. с англ., 3 изд., M., 1984; Уизем Дж., Линейные и нелинейные волны, пер. с англ., M., 1977. M. А. Миллер, Г. В. Пермитин.

- уравнение, связывающее частоту колебаний со и волновой вектор к плоской волны, зависящей от времени и координат по закону

Д. у. выводится из уравнений, описывающих рассматриваемый процесс, и определяет дисперсию волн (см., напр., случай электродинамич. процессов в [1], [2]). В зависимости от характера задачи оно может быть использовано для определения частот колебаний по волновому вектору w_n= w _п(k)или величин волновых векторов по их направлению и частоте колебаний.

Первый случай тесно связан с решением задачи Коши и исследованием устойчивости положения равновесия, соответствующего тривиальному решению уравнений рассматриваемого волнового процесса. С помощью разложения начальных условий в интеграл Фурье решение задачи Коши может быть записано в виде суперпозиции плоских волн с частотами w _п(k). Если при нек-ром действительном kсреди этих частот имеется хотя бы одна с отрицательной мнимой частью, то это означает существование ограниченных начальных возмущений, к-рым соответствуют экспоненциально нарастающие решения, т. е. неустойчивость.

Второй случай решения Д. у. связан с задачами возбуждения монохроматич. колебаний внешними источниками, гармонически зависящими от времени.

Лит.:[1] Ландау Л. Д., Лившиц Е. <М., Электродинамика сплошных сред, М., 1957; [2] Силин В. П., Рухадзе А. А., Электромагнитные свойства плазмы и плазмоподобных сред, М., 1961.

Д. П. Костомаров.

dispersion equation

equazione di dispersione

дисперсі́йне рівня́ння

дисперсі́йне рівня́ння