Большой англо-русский и русско-английский словарь
мат. symplectic group
Физическая энциклопедия
- СИМПЛЕКТИЧЕСКАЯ ГРУППА
(от лат. simplex - простой) - группа линейныхпреобразований конечномерного векторного пространства (вещественногоили комплексного), сохраняющих кососкалярное п р о и з в е д е н и е, т. <е. невырожденную кососимметричную (в физ. приложениях чаще употребляетсятермин «антисимметричная») билинейную форму. Пространство, снабжённое кососкалярнымпроизведением, наз. с и м п л е к т и ч е с к и м. Роль С. г. в симплектич. <пространстве аналогична роли ортогональной группы в евклидовом пространстве.
Примеры. 1) Кососкалярное произведение на плоскости с координатами р,q - это форма площади
. Паре векторов она сопоставляет ориентированную площадь натянутого наних параллелограмма и меняет знак при перестановке векторов. Напр., кососкалярноепроизведение 
пары векторов с декартовыми координатами и 1, u2 и w1, w2 можно записать в виде:
. С. г. плоскости изоморфна группе 2x2 - матриц с определителем 1.2) Прямая сумма га симплектич. плоскостей несёт кососкалярное произведение
, относящее паре векторов сумму площадей проекций на координатные плоскостинатянутого на эти векторы параллелограмма. С. г. содержится в группе линейныхпреобразований, сохраняющих объём 
3) Мнимая часть невырожденной эрмитовой формы в n-мерном комплексномпространстве, рассматриваемом как 2n-мерное вещественное, является кососкалярнымпроизведением. В координатах
эрмитова форма 
имеет мнимую часть -
.С. г. содержит унитарную группу - группу комплексных линейных преобразований, <сохраняющих эту эрмитову форму. Унитарная группа - максимальная компактнаяподгруппа в С. г.Изучение симплектич. пространства упрощается благодаря теореме Дарбу- Фробениуса, согласно к-рой симплектич. пространство чётномерно, а дватаких пространства одной размерности симплектически изоморфны.
Косоортогональность. Два вектора наз. косоортогональными, если их кососкалярноепроизведение - нуль. Вектор, косоортогональный всему пространству,- нулевой. <В этом состоит определение невырожденности кососкалярного произведения. <Каждый вектор себе косоортогонален (следствие кососимметричности). Косоортогональноедополнение прямой - гиперплоскость, содержащая эту прямую. Обратно, Косоортогональноедополнение гиперплоскости - прямая в ней. Вообще Косоортогональное дополнениеподпространства имеет дополнит. размерность. Два подпространства одинаковойразмерности переводятся друг в друга преобразованием из С. г., если и толькоесли совпадают размерности их пересечений со своими косоортогональнымидополнениями. В частности, любая прямая (гиперплоскость) переводится влюбую другую. Т. о., геометрия симплектич. пространства во многом определяетсяструктурой С. г.
С. г. 2n-мерного симплектич. пространства - это простая связная группаЛи, обозначаемая
[в комплексном случае 
]. Её размерность (2n + 1)n. Ли алгебра этой группы изоморфна алгебреЛи однородных многочленов степени 2 от переменных (p1,...,р п, q1,..., qn )с Пуассона скобкой вкачестве коммутатора:
По этой причине изучение С. г. равносильно до нек-рой степени изучениюлинейных гамильтоновых систем дифференциальных ур-ний. А. Б. Гивенталь.
Математическая энциклопедия
одна из классических групп, определяемая как группа автоморфизмов знакопеременной билинейной формы Ф на левом К-модуле Е, где К - коммутативное кольцо. В случае, когда Е=К 2т и матрица формы Ф в канонич. базисе {е i} модуля Еимеет вид
где I т- единичная матрица порядка т, соответствующая С. г. называется С. г. от 2т переменных над кольцом Ки обозначается Sp(m, К).или Sp2m(K). Матрица любого автоморфизма из Sp2m(K) в базисе {е i} наз. симплектической матрицей. Пусть К - поле и Ф - невырожденная знакопеременная билинейная форма в n-мерном векторном пространстве Енад К. Тогда пчетно, ассоциированная с формой Ф С. г., изоморфная группе Sр n(K), порождается всевозможными линейными преобразованиями пространства Евида se,a,
где 
. Линейные преобразования вида se,a наз. симплектическими трансвекциями, или сдвигами, в направлении прямой Ке. Центр Z группы Sр n(K) состоит из матриц In и - In, если char 
; если же char K=2, то Z={I п}. Факторгруппа Spn(K)/Z наз. проективной симплектической группой и обозначается РSр n(K). Все проективные С. г. просты за исключением
к-рые изоморфны соответственно симметрич. группам S3 и S6 и знакопеременной группе A4 (через Fq обозначено поле из qэлементов). Порядок С. г. Sp2m (Fq).равен
С. г. Sр 2(K) совпадает со специальной линейной группой SL2 (К);если char 
, то группа PSp4 (К).изоморфна факторгруппе группы W5(K, f) по ее центру (где W5(K, f) - коммутант ортогональной группы симметрической билинейной формы f от пяти переменных индекса 2).
За исключением случая т=2,char K=2, всякий автоморфизм j группы Sp2m (К).может быть представлен в виде
где t - автоморфизм поля 
и h2 - ли-
нейное преобразование пространства Е, представляющееся в базисе {е i} матрицей вида
(b - ненулевой элемент поля К).
С. г. Sр 2m (К).совпадает с группой K-точек линейной алгебраич. группы Sp2m, задаваемой уравнением 
. Эта алгебраич. группа, тоже называемая С. г., является простой односвязной линейной алгебраич. группой типа С m, ее размерность равна 2т 2+т.
В случае, когда 
или 
, С. г. Sp2m (К).есть связная односвязная простая комплексная (соответственно вещественная) группа Ли. Группа 
является одной из вещественных форм комплексной С. г. 
. Остальные вещественные формы этой группы тоже иногда называют С. г. Это - подгруппы
, выделяемые из группы 
условием сохранения эрмитовой формы вида
где ei=1 при 
и 
и ei=-1 при остальных i. Группа Sp (0, т) - компактная вещественная форма комплексной С. г. 
. С. г. Sp(p, q).изоморфна группе всех линейных преобразований правого векторного пространства 
над телом кватернионов 
размерности т=р+q, к-рые сохраняют кватернионную эрмитову форму индекса min(p, q), то есть форму вида
где
а черта означает переход к сопряженному кватерниону.
Лит.:[l] Apтин Э., Геометрическая алгебра, пер. с англ., М., 1969; [2] Бурбаки Н., Алгебра. Модули, кольца, формы, пер. с франц., М., 1966; [3] Дьёдонне Ж., Геометрия классических групп, пер. с франц., М., 1974; [4] Xелгасон С., Дифференциальная геометрия и симметрические пространства, пер. с англ., М., 1964; [5] Шевалле К., Теория групп Ли, пер. с англ., т. 1, М., 1948. В. Л. Попов.
Dictionnaire technique russo-italien
матем. gruppo simplettico
Русско-украинский политехнический словарь
симплекти́чна гру́па
Русско-украинский политехнический словарь
симплекти́чна гру́па