Большой англо-русский и русско-английский словарь
correlation function
Англо-русский словарь технических терминов
correlation, correlator, correlation [correlative\] function, lag
Физическая энциклопедия
- КОРРЕЛЯЦИОННАЯ ФУНКЦИЯ
случайного процесса
- ф-ция В (s, t) = М[ Х (s) - -MX (s)].[X(t) - MX (t)]*, s, 
, [здесь MX (t) - первый момент процесса, * означает комплексное сопряжение; предполагается, что 
. В случае векторного процесса 
К. ф. наз корреляционная матрица 
, где Bij(s, t) =
- взаимная К. ф. процессов Xi и Xj, В ii наз . иногда автокорреляционной функцией. Характеристич. свойство К. ф.- её положит. определённость: для любых t1,..., tn
Т икомплексных с1..., с т:. Для процесса с независимыми значениями
В (s, t)=0при s
t. Для стационарных в широком смысле процессов К. ф. зависит лишь от разности t-s: В (s, t) = R(t-s). Если при этом процесс непрерывен в среднем квадратическом, т. е. М 
при 
, то К. ф. R(t). непрерывна и допускает представление R(t) = 
, где F - спектральная мера процесса, а 
пробегает интервал 
, если Т=(
), либо [
], если Т={...,- 1, 0, 1,...} (см. также Винера - Хинчина теорема).К. ф.- простая, но полезная характеристика случайного процесса. Распределение гауссовой случайной функции X (t )полностью определяется её К. ф. и средним MX (t); в общем случае это заведомо не так. В то же время К. ф. вполне описывает процесс как кривую в гильбертовом пространстве интегрируемых в квадрате ф-ций на вероятностном пространстве, на к-ром задан процесс (см. Вероятностей теория), позволяет судить о таких его свойствах, как непрерывность, дифференцируемость и интегрируемость в среднем квадратическом и т. п. Условия на скорость убывания К. ф. при
используют в предельных теоремах для случайных процессов.Лит.: Гихман И. И., Скороход А. В., Введение в теорию случайных процессов, 2 изд., М., 1977; Введение в статистическую радиофизику, ч. 1 - Рытов С. М., Случайные процессы, М., 1976. К. А. Боровков.
Физическая энциклопедия
- КОРРЕЛЯЦИОННАЯ ФУНКЦИЯ
в статистической физике - ф-ция, определяющая вероятность относит. расположения комплекса из s любых молекул жидкости или газа; при s=2 К. ф. наз. парной или бинарной. Появление корреляций в расположении молекул среды связано с тем, что в ближайшем окружении любой из них вследствие взаимодействия возникает упорядочение в расположении окружающих её молекул. При этом ср. плотность молекул окружения к.-л. выделенной молекулы отличается от ср. плотности среды, приближаясь к ней с увеличением расстояния. Это происходит монотонно или с затухающими осцилляциями (появление ближнего порядка).
В классич. статистич. физике s -частичную К. ф. Fs(q1,..., qs )определяют так, что V-sFs(ql,..., qs )
dq1...dqs есть вероятность того, что координаты 1,..., s -й молекул попадают в бесконечно малые элементы объёмов dql...dqs, расположенные около точек q1,..., qs , где qi= (xi, у i, zi ), V- объём. Следовательно, s -частичная К. ф. связана с (s-1)-частичной К. <ф. соотношением 
= Fs-1(q1,..., qs-1).
Равновесные К. ф. связаны с каноническим распределением Гиббса и могут быть получены из него интегрированием по координатам N-s молекул:
где
UN - потенц. энергия взаимодействия молекул системы, QN - конфигурац. интеграл, Т - темп-ра, N - полное число частиц. В случае парного взаимодействия молекул с потенциалом Ф(r), зависящим только от расстояния, энергия взаимодействия равна
тогда F2 зависит только от расстояния между молекулами F2(q1, q2)=F2
. (радиальная ф-ция распределения).Парная ф-ция распределения особенно важна, т. к. позволяет получить уравнение состояния и ср. энергию системы с парным взаимодействием между частицами:
где
= V/N - уд. объём.Зависимость радиальной ф-ции распределения от расстояния можно определить экспериментально по угл. зависимости когерентного рассеяния рентг. лучей. Интенсивность I (s) рентг. лучей с длиной волны
, рассеянных под углом 
к первичному пучку интенсивности I0, определяется выражением 
где s=
Обращая это соотношение, можно найти зависимость F2 от расстояния r. При достаточно малых г (порядка неск. газокинетич. радиусов молекул) F2(r )может иметь ряд максимумов, соответствующих ближнему порядку, а затем она стремится к 1 (рис.).
Радиальная функция распределения. Сплошная линия - теоретическая кривая (r - в единицах радиуса молекул), точки соответствуют экспериментальным данным для Аr при Т=91,8К и Р=1,8*105 Па.
Ф-ции распределения F1..., Fs удовлетворяют цепочке ур-ний (см. Боголюбова уравнения), к-рые можно решить с граничным условием ослабления корреляции молекул при увеличении расстояния между ними:
при
. Для пространственно однородных систем F1(q)=0. При решении цепочки ур-ний для Fs в виде разложения по степеням плотности 
получим вириальные разложения для ур-ния состояния и К. ф., а в случае кулоновского взаимодействия между частицами при решении цепочки ур-ний в виде разложения по степеням плазменного параметра 
, где rd - дебаевский радиус экранирования, получим результаты теории электролитов Дебая - Хюккеля.В квантовой статистич. механике К. ф. определяют при помощи статистического оператора ( матрицы плотности )всей системы
как статистич. операторы комплексов из s молекул:
где операция Sp взятия следа выполняется по переменным s+1,..., N частиц. Ф-ции Fs
симметричны или антисимметричны относительно перестановок q или 
в зависимости от того, какой статистике подчиняются частицы (симметричны в случае Бозе - Эйнштейна статистики и антисимметричны в случае Ферми - Дирака статистики). Диагональные элементы квантовой К. ф. имеют смысл плотности распределения комплекса из s частиц. Смысл недиагональных элементов становится ясен, если перейти к Вигнера функции распределения, к-рая зависит от q и импульсов р всех частиц 
(q, p )и является фурье-образом статистич. оператора 
, 
по переменным 
, что соответствует а преобразованию Beйля. В результате получаются квантовые s -частичные операторы Es(q1..., qs; р1,..., ps), которые являются квазивероятностями, т. е. их интегрирование по импульсам даёт распределение по координатам, а интегрирование по координатам - распределение по импульсам, однако они не имеют смысла обычных вероятностей, т. к. могут быть отрицательными.Квантовые s -частичные К. ф. можно выразить через волновые ф-ции в представлении вторичного квантования
:
где
означает усреднение с полным статистич. оператором, а 
удовлетворяют перестановочным соотношениям статистики Ферми - Дирака или статистики Бозе - Эйнштейна. Через квантовые одно- и двухчастичные операторы можно вычислить ср. значения давления и энергии. В отличие от классич. случая, для этого нужно знать не только диагональные элементы F2, но и недиагональные элементы F1
, т. к. плотность кинетич. энергии определяется величиной (
В статистич. механике квантовых и классич. систем используют также пространственно-временные К. ф., к-рые определяют как статистич. средние от произведения операторов (или динамич. переменных), взятых для разл. моментов времени и точек пространства. Напр., в квантовом случае используют К. ф.
Пространственно-временные К. ф. применяют в теории неравновесных процессов, т. к. через них выражается реакция системы на внеш. возмущения и, следовательно, восприимчивости (см. Грина функция). При помощи пространственно-временных К. ф. потоков энергии, импульса или числа частиц можно вычислить кинетич. коэффициенты (см. Грина - Кубо формулы). Пространственно-временные К. ф. позволяют выразить когерентные и некогерентные составляющие дифференциального эфф. сечения рассеяния нейтронов в среде, что является важным методом эксперим. исследования К. ф.
Лит.: Физика простых жидкостей, пер. с англ., [ч. 2], М., 1973, гл. 2; Исихара А., Статистическая физика, пер. с англ., М., 1973; Балеску Р., Равновесная и неравновесная статистическая механика, пер. с англ., т. 1, М., 1978, гл. 8; Боголюбов Н. Н., Избр. труды по статистической физике, М., 1979; Лифшиц Е. М., Питаевский Л. П., Физическая кинетика, М., 1979; Климонтович Ю. Л., Статистическая физика, М., 1982. Д. Н. Зубарев.
Математическая энциклопедия
действительного случайного процесса 
- функция аргументов t,
. определяемая равенством 
Для того чтобы К. ф. была определена, следует предположить, что процесс X(t).при всех 
имеет конечный второй момент 
Параметр tпробегает здесь некоторое подмножество Тдействительной прямой и обычно интерпретируется как "время", однако совершенно аналогично определяется К. ф. случайной функции, заданной на множестве произвольной природы, в частности К. ф. случайного поля, когда Т - подмножество конечномерного пространства. Если 
- многомерный случайный процесс (случайная функция), то его К. ф. наз. матричнозначная функция
- взаимная корреляционная функция процессов Xi(t), Xj(t).
К. ф. является важной характеристикой случайного процесса. Если X(t) - гауссовский процесс, то его К. ф. В(t, s).и среднее значение 
(т. е. первые и вторые моменты) однозначно определяют конечномерные распределения, а значит и процесс в целом. В общем случае первых двух моментов заведомо недостаточно для полного описания случайного процесса. Напр., одинаковую К. ф. 
имеют гауссовский марковский стационарный процесс, траектории к-рого непрерывны, и так наз. телеграфный сигнал - точечный марковский стационарный процесс, принимающий два значения ±1. Однако К. ф. определяет ряд важных свойств процесса - так наз. свойства второго порядка (т. е. выражающиеся в терминах вторых моментов). В силу этого, а также благодаря своей относительной простоте, корреляционные методы широко используются как в теории случайных процессов, так и в ее статистич. приложениях (см. Коррелограмма).
Скорость и характер убывания корреляций при 
дают представление об эргодических свойствах процесса. Условия на скорость убывания корреляций в той или иной форме присутствуют в предельных теоремах для случайных процессов. Локальные свойства 2-го порядка, такие как среднеквадратичные непрерывность, дифференцируемость, дают полезную, хотя и весьма грубую характеристику локального поведения процесса. Исследование свойств траекторий в терминах К. ф. с большой полнотой проведено в гауссовском случае (см. Выборочная функция). Одним из наиболее завершенных разделов теории случайных процессов является теория линейной экстраполяции и фильтрации, позволяющая находить оптимальные линейные алгоритмы прогноза и аппроксимации случайных процессов, основываясь на знании К. ф.
Характеристическим свойством К. ф. является положительная определенность:
для любого п, любых комплексных с 1,..., с n и любых 
В наиболее важном случае стационарного в широком смысле процесса В(t, s).зависит от разности аргументов: B(t, s)=R(t-s). Условие положительной определенности принимает тогда вид
Если R(t).дополнительно непрерывна при t= 0 (что соответствует среднеквадратичной непрерывности процесса X(t)), то
где 
- положительная конечная мера; здесь l пробегает всю действительную прямую, если Т=
(случай "непрерывного времени"), или отрезок 
если Т= {...,- 1, 0, 1,...} (случай "дискретного времени"). Мера 
наз. спектральной мерой случайного процесса. Таким образом, корреляционные и спектральные свойства стационарного случайного процесса оказываются тесно связанными; напр., скорость убывания корреляций при 
соответствует степени гладкости спектральной плотности 
и т. п.
В статистической механике К. ф. наз. также совместная плотность вероятности r(x1,..., х т).нахождения тразличных частиц рассматриваемой системы в точках x1,..., х т;совокупность этих функций однозначно определяет соответствующее точечное случайное поле.
Лит.:[1] Дуб Дж., Вероятностные процессы, пер. с англ., М., 1956; [2] Л о э в М., Теория вероятностей, пер. с англ., М., 1962; [3] Г и х м а н И. И., Скороход А. В., Введение в теорию случайных процессов, М., 1965. А. С. Холево.
Математическая энциклопедия
в статистической механике - функция, описывающая влияние частиц или групп частиц друг на друга и эффекты взаимодействия подсистем рассматриваемой системы. В классической статистич. механике К. ф. G2(l, 2), G3(l, 2.3),... определяются соотношениями
где символами 1, 2,... в аргументах функций обозначена совокупность координат r и импульсов рсоответственно 1-й, 2-й,... частицы, Fs(l,..., s) - приведенные функции распределения
V - объем системы, N - число частиц, Dt=Dt(l, 2,..., N) - функция распределения в фазовом пространстве в момент времени E с нормировкой
Закон изменения Dt во времени характеризуется уравнением Лиувилля 
в к-ром L представляет не зависящий явно от времени оператор Лиуйилля. Обычно рассматривается случай, когда L состоит из суммы аддитивной части и бинарной части, характеризующей взаимодействия между частицами:
Согласно принципу ослабления корреляции К. ф. удовлетворяют граничным условиям 
при max 
К. ф. 
являются функциональными производными функционала
At (и), связанного с так наз. производящим функционалом
Функционал At(u)удовлетворяет уравнению
В квантовой статистич. механике К. ф. являются операторными величинами и определяются соотношениями;
где S(1, 2), S(1, 2, 3) - операторы симметризации для бозе-систем и антисимметризации для ферми-систем. К. ф. (*), наз. матрицей плотности, удовлетворяет квантовомеханич. уравнению Лиувилля (см. [2]). В квантовой статистич. механике помимо К. ф. (*) рассматриваются К. ф., построенные на обычных термодинамических средних (см. [3]), и К. ф., построенные на квазисредних (см. [3]). Билинейные комбинации К. ф. (как квантовые, так и классические) дают функции Грина (см. [5]). Для К. ф. справедливы спектральные представления, Боголюбова неравенство, вариации среднего значения теорема (см. [4]). Иногда используют К. ф., соответствующие так наз. разложению Кирквуда (см. [6]); пространственно-временную К. ф. (см. [8]). К. ф. могут быть интерпретированы как характеристики вероятностных мер (см. [9]).
Лит.:[1] Б о г о л ю б о в Н. Н., Проблемы динамической теории в статистической физике, М.- Л., 1946; 12] Б о г о л ю б о в Н. Н., Г у р о в К. П., "Ж. экспериментальной и теоретич. физики", 1947, т. 17, в. 7, с. 614-28; [3] Боголюбов Н. Н., Избранные труды, т. 3, К., 1971; [4] Боголюбов Н. Н., (м л.), Садовников Б. И., Некоторые вопросы статистической механики, М., 1975; [5] Б о г о л ю б о в Н. Н., Т я б л и к о в С. В., "Докл. АН СССР", 1959, т. 126, № 1, с. 53-56; [6] Л и б о в Р., Введение в теорию кинетических уравнений, пер. с англ., М., 1974; [7] И с и х а р а А., Статистическая физика, пер. с англ., М., 1973; [8] Р ю э л ь Д., Статистическая механика. Строгие результаты, пер. с англ., М., 1971; [9] П р е с т о н К. Дж., Гиббсовские состояния на счетных множествах, пер. с англ., М., 1977.
А. Н. Ермилов, А. М. Курбатов.
Русско-английский политехнический словарь
correlation, correlator, correlation [correlative] function, lag
* * *
correlation function
Dictionnaire technique russo-italien
funzione di correlazione
Русско-украинский политехнический словарь
кореляці́йна фу́нкція
Русско-украинский политехнический словарь
кореляці́йна фу́нкція