«Кватернион»

Исчисление К., основанное Вильямом-Ровэном Гамильтоном (см.), представляет собою теорию векторов (см.), основанную на выражении вектора тричленом вида xi + yj + zk, в котором x, y, z суть величины проекций вектора на ортогональные оси координат, а i, j, k — символы, обозначающие мнимые величины особого рода, обладающие следующими свойствами:

A) Квадраты их равны минус единице, т. е. i²= -1, j²= -1, k²= -1.

B) Произведение двух из них равно третьей, взятой со знаком + или -, в зависимости от порядка множителей, а именно:

ij = k, ji = -k

jk = i, kj = -i

ki = j, ik = -j.

Алгебраические действия сложения и вычитания над такими выражениями векторов дают выражения геометрической суммы и геометрической разности (см.) векторов, а через умножение вектора α = xi + yj + zk на другой вектор α₁= х₁i + y₁j + z₁k получается на основании свойств А и B следующее выражение:

s + fi + gj + hk..... (С)

в котором:

s = -(хх₁+ yy₁+ zz₁)

f = yz₁— zy₁

g = zx₁— xz₁

h = xy₁- yx₁

Означим через r и r, длины обоих векторов, через Θ угол между их направлениями; представим себе, что оба вектора проведены из начала координат и что из него восстановлен перпендикуляр в такую сторону, чтобы наблюдателю, стоящему в начале координат, головою по направлению перпендикуляра, вращение направления r на угол Θ до совмещения с направлением r₁казалось бы совершающимся справа налево. Означим через l, m, n косинусы углов, составляемых направлением вышесказанного перпендикуляра с осями координат.

Известно, что хх₁+ yy₁+ zz₁= rr₁cosΘ и что

f = -lrr₁sinΘ

g = -mrr₁sinΘ

h = -nrr₁sinΘ

поэтому

αα₁= -rr₁cosΘ — λrr₁sinΘ, где

λ = li+ mj + nk.

Следовательно, произведение αα₁есть четырехчленное выражение, первый член которого есть отрицательно взятое геометрическое произведение (rr₁cosΘ) обоих векторов, а сумма остальных трех членов есть выражение вектора, изображающего линейный момент вокруг начала координат вектора r₁, отложенного от конца вектора r. Четырехчленное выражение вида (С) назвал Гамильтон К.; первый, невекториальный член s кватерниона наз. scalar, сумма остальных трех членов наз. вектором. В учении о К. рассматриваются различные действия над К. и делается применение теории их к геометрии, механике и математической физике. Ср. W. R. Hamilton, "Elemente der Quaternionen" (нем. излож. Paul Glan, Лпц., 1882); Tait, "An Elementary Treatise on Quaternions"; P. Kelland and P. G. Tait, "Introduction to Quaternions".

Д. Б.

1. кватернио́н;
2. кватернио́ны;
3. кватернио́на;
4. кватернио́нов;
5. кватернио́ну;
6. кватернио́нам;
7. кватернио́н;
8. кватернио́ны;
9. кватернио́ном;
10. кватернио́нами;
11. кватернио́не;
12. кватернио́нах.

КВАТЕРНИОН (от лат. quaterni - по четыре) - обобщение понятия комплексного числа. Кватернион имеет вид: a+bi+cj+dk, где a, b, c, d - действительные числа, а i, j, k - три специальные единицы, аналогичные мнимой единице. Для кватерниона справедливы все основные законы действий, кроме коммутативности умножения.

муж. quaternion

m.quaternion

кватернио́н

(от лат. quaterni — по четыре), обобщение понятия комплексного числа. Кватернион имеет вид: а + bi + cj + dk, где а, b, c, d — действительные числа, а i, j, k — три специальных единицы, аналогичные мнимой единице. Для кватерниона справедливы все основные законы действий, кроме коммутативности умножения.

* * *

КВАТЕРНИО́Н (от лат. quaterni — по четыре), обобщение понятия комплексного числа(см. КОМПЛЕКСНОЕ ЧИСЛО). Кватернион имеет вид: a + bi + cj + dk, где a, b, c, d — действительные числа, а i, j, k — три специальные единицы, аналогичные мнимой единице. Для кватерниона справедливы все основные законы действий, кроме коммутативности умножения; умножение определяется следующими формулами умножения единиц.i² = j² = k² = -1, ij=-ji=k, jk=-kj=i, ki=-ik=j

В кватернионах различают скалярную часть a и векторную часть V = bi + cj + dk. Если a = 0, то кватернион V называется вектором; он может отождествляться с обычными 3-мерными векторами(см. ВЕКТОР (в математике)).

Кватернионы предложены У. Гамильтоном в 1843; имеют приложения в электродинамике и механике.

- гиперкомплексное число, геометрически реализуемое в четырехмерном пространстве. Система К. предложена в 1843 У. Гамильтоном (W. Hamilton). К. явились исторически первым примером гицеркомплексной системы, возникшей при попытках найти обобщение комплексных чисел. Комплексные числа изображаются геометрически точками плоскости, и действия над ними соответствуют простейшим геометрич. преобразованиям плоскости. Из точек пространства трех и выше измерений нельзя "устроить" числовую систему, подобную полю действительных или комплексных чисел. Однако, если отказаться от коммутативности умножения, то из точек 4-мерного пространства можно устроить числовую систему (в пространстве трех, пяти и выше измерений нельзя построить даже такую систему).

К. образуют 4-мерную алгебру над полем действительных чисел с базой 1, i, j, k("базисные единицы") и следующей таблицей умножения "базисных единиц":

Всякий К. может быть записан в виде

или (поскольку 1 играет роль обычной единицы и в записи К. может быть опущена) в виде

Различаются скалярная часть К. х ₀ и векторная часть

так что X=x₀+V. Если х ₀=0, то кватернион Vназ. вектором, и он может отождествляться с обычным 3-мерным вектором, поскольку умножение в алгебре К. двух таких векторов V₁ и V₂ связано со скалярным (V₁, V₂) и векторным [V₁, V₂]произведениями векторов V_x и V₂ в 3-мерном пространстве формулой

Это прказывает тесную связь К. с векторным исчислением. Исторически последнее и возникло из теории К. Всякому К. X=x₀+V сопоставляется сопряженный кватернион Х=х ₀-V, при этом

Это действительное число наз. нормой кватерниона Xи обозначается N(X). Норма К. удовлетворяет соотношению

Любое вращение 3-мерного пространства вокруг начала координат может быть задано при помощи кватерниона Рс нормой 1. Вращение, соответствующее Р, переводит вектор X = x₁i+x₂j+x₃k в вектор Y=y₁i+ у ₂j+у ₃k=РХР^-1.

Алгебра К. является единственной ассоциативной, но не коммутативной, конечномерной нормированной алгеброй над полем действительных чисел, обладающей единицей. Алгебра К.- тело, т. е. в ней определено деление, причем К., обратным к К. X, является X. Тело К. единственная конечномерная действительная ассоциативная, но не коммутативная алгебра без делителей нуля (см. также Фробениуса теорема).

Лит.:[1] Калужнин Л. А., Введение в общую алгебру, М., 1973; [2] Кантор И. Л., Солодовников А. С, Гиперкомплексные числа, М., 1973; [3] Курош А. Г., Лекции по общей алгебре, 2 изд., М., 1973.

Н. Н. Вильямс.

кватернио́н м. мат.

quaternion

* * *

quaternion

м. матем.

quaternione m

матем.

кватерніо́н

- кватернион-вектор

- чистый кватернион

матем.

кватерніо́н

- кватернион-вектор

- чистый кватернион

(от лат. quatеrni - по четыре), обобщение понятия комплексного числа. К. имеет вид: a +bi + cj + dk, где а, b, с, d - действит. числа, а i,j,k - три спец. единицы, аналогичные мнимой единице. Для К. справедливы все осн. законы действии, кроме коммутативности умножения.