«гомологическая размерность»

homology dimension

числовая характеристика объекта категории относительно некоторого выделенного класса объектов этой категории. Основная область применения этого понятия - категории модулей над кольцом.

Пусть - фиксированный класс объектов абелевой категории и объект из , тогда (проективной) гомологической размерностью объекта Аотносительно класса наз. наименьшее число n, для к-рого существует точная последовательность вида

где все из Если такого и не существует, то говорят, что Г. р. равна .

Пусть - категория левых (правых) модулей над ассоциативным кольцом Rс единицей. Тогда:

а) если - класс всех проективных левых R-модулей, то соответствующая Г. р. модуля Аназ. проективной размерностью и обозначается ;

б) если - класс всех плоских левых A-модулей, то соответствующая Г. р. модуля Аназ. слабой размерностью и обозначается Если - категория левых градуированных модулей над градуированным кольцом , а - класс всех левых проективных градуированных R-модулей, то соответствующая Г. р. градуированного R-модуля Аназ. градуированной проективной размерностью и обозначается .

Рассматривается также двойственная конструкция. Если , то наименьшее число птакое, что существует точная последовательность

где все модули инъективны, наз. инъективной размерностью модуля Аи обозначается

Пусть тогда следующие условия равносильны:

а)

б) для всех (см. ФункторExt);

б') для всех циклических модулей В;

в) - точный функтор относительно аргумента В;

г) если

- точная последовательность п модули при ннъективны, то - инъективный модуль.

Эквивалентны между собой также условия:

- точная последовательность и модули при проективны, то и - проективный модуль. Если последовательность

- точна, где и

то

Если

Число

наз. левой глобальной размерностью кольца R.

Если кольцо R обладает композиционным рядом левых идеалов, то

Число

наз. слабой глобальной размерностью кольца R, при этом

Число

наз. левой ограниченной глобальной размерностью кольца R.

Сюда же примыкают следующие размерности: если R - алгебра над коммутативным кольцом К, то проективная размерность R-бимодуля R (т. е. левого -модуля, где R^0p -противоположное R кольцо) наз. биразмерностью алгебры R и обозначается bid R; если G - группа, К - коммутативное кольцо, то (ко) гомологической размерностью группы Gназ. плоская (проективная) размерность модуля Кнад групповым кольцом KG c тривиальным действием группы Gна Ки обозначается

Ряд хорошо известных теорем можно переформулировать в терминах Г. р. Напр., теорема Веддерберна - Артина будет иметь вид: кольцо R классически полупросто тогда и только тогда, когда Кольцо R регулярно (в смысле Неймана) тогда и только тогда, когда Равенство для алгебры R над полем Кравносильно ее сепарабельности над К. Утверждение о том, что подгруппа свободной абелевой группы свободна, эквивалентно тому, что - кольцо целых чисел. Кольцо R, для к-рого наз. наследственным слева кольцом.

Левая и правая глобальные размерности кольца Rмогут не совпадать. Если же Rнётерово слева и справа, то

Если - гомоморфизм колец, то любой S-модуль можно рассматривать и как R-модуль, при этом:

Если кольцо R - фильтрованное, то

где - ассоциированное градуированное кольцо. В ряде случаев изучение Г. р. связано с мощностью рассматриваемых модулей. Это позволяет, в частности, оценивать разность между слабой и проективной размерностями модуля, а также разность между левой и правой глобальными размерностями кольца. Континуум-гипотеза равносильна утверждению о том, что

где - поле действительных чисел, - поле рациональных функций, а - кольцо многочленов над R.

Большая часть исследований по Г. р. посвящена выявлению связей Г. р. с другими характеристиками модулей и колец. Так, Гильберта теорема о сизигиях утверждает, что

где К - поле, а - кольцо многочленов от переменных х ₁,..., х _п над К. К настоящему времени эта теорема значительно обобщена. Г. р. групповых алгебр разрешимых групп тесно связана с длиной разрешимого ряда группы и рангами ее факторов. Из равенства следует, что G- свободная группа (теорема Столлингса). Исследуются связи между Г. р. и другими размерностями модулей и колец. Напр., размерность по Круллю коммутативного кольца Rсовпадает с тогда и только тогда, когда все локализации кольца Rпо простым идеалам имеют конечную размерность Крулля. Всякое коммутативное нётерово кольцо R, для которого , раскладывается в конечную прямую сумму областей целостности. Локальное кольцо регулярной точки наз. в алгебраич. геометрии локальным регулярным кольцом. Глобальная размерность такого кольца совпадает с его размерностью Крулля, а также с минимальным числом образующих его максимального идеала (регулярные локальные кольца являются областями целостности с однозначным разложением на простые множители, они остаются регулярными при локализациях по простым идеалам).

Лит.: [1] Картан А., Эйленберг С., Гомологическая алгебра, пер. с англ., М., 1960; [2] Оsofsky В. L., Homological dimensions ol modules, Providence, 1973.

В. Е. Говоров, А. В. Михалев.

пространства Xпо группе коэффициентов G- наибольшее целое число п, при к-ром для нек-рого замкнутого множества отлична от нуля группа гомологии Александрова - Чеха. Г. р. обозначается . Аналогично определяется когомологическая размерность - наименьшее целое n, для которого отображение эпиморфно для всех замкнутых . Под гомологической теорией размерности обычно подразумевается ее когомологический вариант, значительно глубже разработанный. Это объясняется тем что когомологии Александрова - Чеха удовлетворяют всем Стинрода - Эйленберга аксиомам, включая точность и потому применение когомологии оказалось более эффективным. На категории метризуемых компактов, где между группами

имеет место Понтрягина двойственность, гомологический подход с коэффициентами в компактной группе G эквивалентен когомологическому подходу с коэффициентами в двойственной группе ; аналогично, оба подхода эквивалентны, если в качестве коэффициентов берутся элементы одного и того же поля G.

Гомологическая теория размерности берет свое начало с утверждения, полученного П. С. Александровым: соотношение где dim - лебегова размерность, эквивалентно тому, что любое непрерывное отображение в n-мерную сферу Sⁿ произвольного замкнутого множества может быть продолжено до отображения в всего X. Отсюда было получено, что dim, если dim , a Zесть группа целых чисел. Затем Л. С. Понтрягиным было замечено, что Г. р. по разным областям коэффициентов не совпадают (вообще же, как это вытекает из формул универсальных коэффициентов, для любого компакта X);таким образом, Г. р. являются вместе с лебеговой размерностью нек-рыми топологич. инвариантами пространства X.

Г. р. обладает многими свойствами обычной размерности dim. Именно, если А - замкнутое подмножество из X, то где каждое Xзамкнуто в X, то

и т. п. Справедлива теорема Александрова о препятствии: подмножества евклидова пространства , имеющие Г. р. г, (локально) зацепляются -мерными циклами. См. также Размерность. Центральное место в гомологич. размерности занимают исследования соотношений между Г. р. по различным областям коэффициентов. Возникающие в этом направлении задачи имеют много непосредственных приложений в теории размерности и тесно переплетаются с нек-рыми важнейшими задачами теории групп преобразований. Большую роль играет анализ размерности произведения; напр.,

если G - поле рациональных чисел или поле вычетов по простому модулю, а

ля любого компакта тогда и только тогда, когда все размерности совпадают.

Внешний облик гомологич. теории размерности существенно изменился в связи с применением аппарата пучков теории, получила самостоятельное развитие когомологич. теория размерности с коэффициентами в пучках (основное определение такое же). Новые методы оказались применимыми к решению ряда задач, связанных с поведением размерности при непрерывных отображениях, а также позволили расширить область применимости теории до категории паракомпактных пространств.

Лит:[1] Гуревич В., Волмэн Г., Теория размерности пер. с англ., М., 1948; [2] Кузьмине в В. И., "Успехи матем. наук", 1968, т. 23, в. 5(143), о. 3-49.

гомологі́чна розмі́рність

гомологі́чна розмі́рність