«Теория вероятностей»

есть часть математики, изучающая зависимости между вероятностями (см. Вероятность и Статистика) различных событий. Перечислим важнейшие теоремы, относящиеся к этой науке. Вероятность появления одного из нескольких несовместных событий равняется сумме вероятностей этих событий. Приведем пример. Вероятность вынуть туза из полной колоды карт равна 4/52, или 1/13, так как всего карт 52 и из них 4 туза; вероятность вынуть короля тоже равна 1/13. Вероятность вынуть туза или короля будет 1/13+1/13 = 2/13. Рассматриваемые события несовместны, так как появление одного из событий исключает появление другого. Вероятность вынуть туза или трефовую карту не равна 1/13 + 1/4, так как вынутый туз мог бы оказаться трефовой масти. В этом случае события нельзя назвать несовместными и потому нельзя прилагать высказанной теоремы, вероятность появления событий Е и F равна вероятности Е, умноженной на вероятность F, вычисленную в том предположении, что Е случилось. Например, вероятность вынуть два туза из полной колоды карт равна (4/52)∙(3/51), так как после появления туза в колоде останется 51 карта и в том числе 3 туза. Если же вынимать карты последовательно и вынутую карту возвратить в колоду, то вероятность вынуть 2 туза равна (4/52)². Предположим, что при повторении испытаний вероятность появиться событию Е постоянно остается равною р. В таком случае вероятность того, что при п испытаниях событие Е появится т раз, будет

1.2.3...n

1.2.3...(n — m)^k(1 — p)^n—m, где k = p^m.

Если п и т очень велики, то Лаплас доказал, что интеграл есть приближенное выражение вероятности того, что т заключается между и . Отсюда легко выводится следующая теорема Якова Бернулли. С вероятностью, сколь угодно близкою к достоверности, можно утверждать, что при достаточно большом п численное значение разности (m/n — р) сколь угодно мало. Предположим, что вероятность события Е меняется при каждом испытании и что при n испытаниях эта вероятность принимала значения p₁, p₂,...р_п. Если т обозначает число появлений события Е при п испытаниях, то при достаточно большом п имеет место теорема Пуассона. С вероятностью, сколь угодно близкою к достоверности, можно утверждать, что численное значение разности m/n = (p₁+p₂+...+p_n)/n сколь угодно мало.

Если величина х может принимать значения x₁, x₂,...x_п, вероятности которых суть p₁, p₂,...р_п, то число x₁p₁+x₂p₂+...+x_np_nназывается математическим ожиданием величины х.

Если а, b, с,...k математические ожидания независимых величин x, y, z,...и, а а₁, b₁, c₁,...k₁математические ожидания квадратов этих величин, то с вероятностью большей чем 1—1/t²можно утверждать, что x+y+ z+...+u принимает значение, лежащее между

В этом состоит теорема Чебышева.

В случае большого числа величин х, у, z,...u Лаплас доказал, что интеграл есть приближенное выражение вероятности того, что x+y+z+...+u принимает значение, лежащее между

Предположим, что а, b, с,...k больше некоторого положительного числа А, а каждое из чисел a₁, b₁, с₁...k₁не превышает числа B. Если n, число величин х, y, z,... u, может быть сколько угодно велико, то с вероятностью, сколь угодно близкою к достоверности, можно утверждать, что сумма х+у+z+...+u превзойдет любое данное число. На основании этой теоремы определяется выгодность или убыточность предприятия. Если математическое ожидание прибыли от какого-нибудь предприятия число положительное, то такое предприятие выгодное. Хотя и возможны убытки, но с вероятностью, сколь угодно близкой к достоверности, прибыль будет сколь угодно велика, если продолжать участие в предприятии.

Литература. В. Я. Буняковский, "Основания математической теории вероятностей" (СПб., 1846); В. П. Ермаков, "Теория вероятностей" (Киев, 1879); П. А Некрасов, "Теория вероятностей" (М., 1896); Н. А. Забудский, "Теория вероятностей и применение ее к стрельбе и пристрелке" (СПб., 1898); М. А. Тихомандрицкий, "Курс теории вероятностей" (Харьков, 1898); А. А. Марков, "Исчисление вероятностей" (СПб. 1900); Laplace, "Théorie analytique des probabilités" (П., 1820); Poisson, "Recherches sur la probabilité des jugements en matière criminelle et en matière civile" (П., 1837); Poisson, "Lehrbuch der Wahrscheinlichkeitsrechnung und deren wichtigsten Anwendungen" (нем. перев. Schnuse, Брауншвейг, 1841); Lacroix, "Traité élémentaire du calcul des probabilités" (4-е изд. Пар., 1864); Todhunter, "A history of the mathematical theory of probability..." (Кембридж и Лонд., 1865); Laurent, "Traité du calcul des probabilités" (П., 1873); A. Meyer, "Calcul des probabilités" (Льеж, 1874); Liagre, "Calcul des probabilités" (Брюссель, 1879); Hagen, "Grundzüge der Wahrscheinlichkeitsrechnung" (Б., 1882); J. Bertrand, "Calcul des probabilités" (П., 1889); Bobek, "Lehrbuch der Wahrscheinlichkeitsrechnung" (Штутгарт, 1891); P. Poincare, "Calcul des probabilités" (П., 1896); Jakob Bernoulli, "Ars conjectandi" (1713; нем. перев., Haussner, Лпц., 1899); Ostwald's "Klassiker der exacten Wissenschaften" №№ 107 и 108.

Д. С.

probability theoryw theory of chances

law of probability, theory of chances, probability theory

математическая дисциплина, изучающая закономерности случайных явлений.

law of probability, theory of chances, probability theory

teoria delle probabilità

тео́рія імові́рностей

тео́рія імові́рностей

- математич. наука позволяющая по вероятностям одних событий случайных (см.) находить вероятности случайных событий, связанных к.-л. образом с первыми. Современная Т.в. основана на аксиоматике (см. Метод аксиоматический) А. Н. Колмогорова. На основе Т.в. построены статистика математич. (см.) (в т. ч. теория выборочн. метода), теории массового обслуживания, надежности, статистич. контроля качества продукции; биометрия, эконометрика; ряд моделей обществ. процессов, экономич. роста и равновесия, статистич. физики и квантовой механики, управления организованными и технологич. системами, метрологии, психологии и т. д. Т.в. широко применяется или может применяться практически зо всех областях обществ. деятельности. Исходное понятие в Т.в. - вероятностное пространство , представляющее собой единство трех математич. объектов - пространства элементарных событий OMEGA, совокупности S его измеримых (доступных наблюдению) подмножеств, называемых событиями, и вероятностной меры Р для каждого события А задающей его вероятностью Р(А) (см. также: Распределение вероятностей). Основной объект изучения в Т.в. - величина случайная (см.), т. е. измеримая функция от элементарного события. Значениями случайной величины могут быть числа, векторы, функции, множества, а также объекты др. природы. Случайные величины изучают с помощью соответствующих им распределений, т. е. функций, задающих вероятность того, что значение случайной величины попадает в ту или иную область (см. Распределение вероятностей). Широко применяемые распределения имеют специальные названия - нормальное, логнормальное, Пуассона, Парето и др. (см. Закон распределения). Для распределения и тем самым для случайных величин используют такие характеристики, как математич. ожидание, медиана, мода. (см. Величины средние), дисперсия, среднее квадратич. отклонение (см. Меры рассеяния) и др. Большое число исследований посвящено различн. предельным теоремам, оценкам скорости сходимости и остаточности членов в них. Значение прогресса случайного (см.) в каждый момент времени - случайная величина. Эти случайные величины зависимы между собой. Важное место занимают марковские процессы, в к-рых прошлое влияет на будущее только через настоящее, а также процессы с независимыми приращениями (в частности винеровский), диффузионные, пуассоновские. Для применения Т.в. в прикладных задачах строят вероятностную модель явления или проесса, в к-рой рассматриваемые величины и связи между ними выражают с помощью понятий Т.в. Вероятностную модель изучают как теоретически, так и с помощью метода статистич. испытаний. Условием применимости вероятностных методов является наличие обоснованной вероятностной модели. Лит.: Прохоров Ю.В., Розанов Ю.А. Теория вероятностей. М., 1973; Колмогоров А.Н. Основные понятия теории вероятностей. М., 1974; Боровков А.А. Теория вероятностей. М., 1976; Гнеденко Б.В., Хинчин А.Я. Элементарное введение в теорию вероятностей. М., 1982. А.И. Орлов.