Большой англо-русский и русско-английский словарь
мат. integral transformation
Физическая энциклопедия
- ИНТЕГРАЛЬНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ
- преобразование вида
где С - контур интегрирования в комплексной плоскости, К(х, t) - ядро И. п., f(t )и F(х) - преобразуемая и трансформированная ф-ции. Нормы преобразуемой и трансформированной ф-ций связаны равенством Парсеваля (см. Ортонормированная система векторов). Ф-лы, восстанавливающие ф-цию f(t )по заданной F(x), наз. ф-лами обращения И. п. Наиб, употребительны и изучены интегральные преобразования спец. вида ( Лапласа преобразование, Меллина преобразование, Гильберта преобразование, Фурье преобразование и др.), а также преобразования свёртки с ядром К(х, t)=K(x-t). В многомерных И. п. фигурируют ф-ции векторного аргумента и кратный интеграл по связной области в пространстве аргументов (см. также Радона преобразование). Эти И. п. применяют в разл. задачах теоретич. и матем. физики, при решении линейных дифференц. ур-ний, нек-рых типов интегральных ур-ний. Лит.: Диткин В. А., Прудников А. П., Интегральные преобразования и операционное исчисление, 2 изд., М., 1974; Бейтмен Г., Эрдейи А., Таблицы интегральных преобразований, пер. с англ., т. 1-2, М., 1969-70; Владимиров В. С., Обобщенные функции в математической физике, 2 изд., М., 1979. С. В. Молодцов.
Математическая энциклопедия
- функциональное преобразование вида
где С- конечный или бесконечный контур в комплексной плоскости, К( х, t)- ядро И. п. Наиболее часто рассматриваются И. п., для которых K(x,t)=K(xt )и С- действительная ось или ее часть ( а, b). Если 
то И. п. наз. конечным
И. п. Формулы, позволяющие восстановить функцию f(t)по известной F(x), наз. формулами обращения И. п.
Примеры И. п. Преобразование Бохнера:
где Jv (х)- функция Бесселя 1-го рода порядка v, р - расстояние в Rn. Формула обращения: f= T2f. Равенство Парсеваля:
Преобразование Вебера:
где 
Yv(x).- функции Бесселя 1-го и 2-го рода. Формула обращения:
При а->0 преобразование Вебера переходит в преобразование Ганкеля:
При v==±1/2 это преобразование сводится к синус- и косинус-преобразованиям Фурье. Формула обращения: если 
f(t)имеет ограниченную вариацию в окрестности точки t0>0 и 
то
Равенство Парсеваля: если 
F(x)п G(x)- преобразования Ганкеля функций f(t)и g{t), причем f, 
то
Другие формы преобразования Ганнеля:
Преобразование Вейерштрасса:
является частным случаем свертки преобразования. Цепные преобразования. Пусть
причем fn+1(x)=f1(x). Такая последовательность И. п. наз. цепочкой И. п. При n=2 цепные И. п. часто наз. преобразованиями Фурье.
Кратные (многомерные) И. п.- преобразования вида (1), где t,
С- некоторая область n-мерного комплексного евклидова пространства.
И. п. обобщенных функций могут быть построены следующими основными способами:
1) Строится пространство основных функций U, содержащее ядро К( х, t )рассматриваемого И. п. Т. Преобразование Tf для любой обобщенной функции 
определяется как значение функционала f на основной функции К( х, t). формулой
2) Строится пространство основных функций U, на к-ром определено классическое И. п. Т, отображающее Uна нек-рое пространство основных функций V. И. п. T'f обобщенной функции 
вводится равенством 
3) Рассматриваемое И. п. выражается через другое И. п., к-рое определено для обобщенных функций.
См. также ст. Ватсона преобразование, Гаусса преобразование, Гегенбауэра преобразование, Конторовича- Лебедева преобразование, Мейера преобразование, Мелера- Фока преобразование, Меллина преобразование. Свертки преобразование, Стилтьеса преобразование, Уиттекера преобразование, Фурье преобразование, Харди преобразование, Эйлера преобразование, Эрмита преобразование, Якоби преобразование.
Лит.:[1] Диткин В. А., Прудников А. П., в сб.: "Итоги науки. Математический анализ. 1966", М., 1967, с. 7-82; [2] Брычков Ю. А., Прудников А. П., Интегральные преобразования обобщенных функций, М., 1977; [3] Владимиров В. С, Обобщенные функции в математической физике, М., 1976.
Ю. А. Брычков, А. П. Прудников.
Русско-украинский политехнический словарь
інтеґра́льне перетво́рення
Русско-украинский политехнический словарь
інтеґра́льне перетво́рення