«Иррациональное число»

так называются в математике числа, которые не могут быть точно выражены ни целыми числами, ни арифметическими дробями, а представляются бесконечными и непериодическими десятичными дробями; означаются особыми знаками (радикалами) или буквами (е, π). Полная, превосходная по своей строгости теория И. чисел, или, что одно и то же, несоизмеримых отношений, существовала уже у греков и изложена Эвклидом в V-й книге его "Начал". В настоящее время пользуются известностью взгляды гейдельбергского профессора Кантора. Для выяснения сущности И. числа рассмотрим ряд чисел

и₁и₂и₃..... u_n... (1)

определяющих некоторую переменную величину и. Числа u₁и₂... u_nпусть будут рациональны, т. е. такие, которые известны из элементарной арифметики, именно положительные или отрицательные, целые числа или рациональные дроби. Если существует такое рациональное число а, что числовое значение разности (u_n— a) может быть сделано, при достаточно большом n, меньше всякого наперед произвольно заданного малого числа ε, то а называется пределом переменной величины и. Отсюда следует, что ряд (1) обладает свойством:

числовое значение u_n+m— u_n

при всяком т (хотя бы даже зависящем от n), при достаточно большом n. Свойство ряда (1), выражаемое неравенством (2), есть основное для переменных, имеющих пределы, но обратного предложения не существует, т. е. переменная величина может иметь ряд частных значений, обладающих свойством (2), и не существовать такого числа а (рационального), которое можно было бы назвать пределом. Так вот, если рационального предела переменной и не существует, а частные значения переменной удовлетворяют свойству, выражаемому неравенством (2), то говорят, что эта переменная имеет пределом И. число. Вычислить И. число с точностью до некоторой заданной дроби 1/р — это значит указать номер n частного значения переменной величины и, имеющей свойство (2), для которого, равно как и для всех высших номеров, удовлетворяется неравенство:

u_n+m— u_n<>p.

Обозначая это значение переменной через u_o, можно сказать, что рациональное число u_оесть приближение к И., заданному известным рядом, с точностью до 1/p. Такое рациональное число u_oи вводится затем в приближенные вычисления вместо И. числа. Пусть дана десятичная дробь

3,14159....

у которой цифры десятичных идут в некоторой определенной последовательности, т. е. существуют правила для продолжения этих цифр как угодно далеко, причем ряд цифр не кончается и сколько бы их ни было написано, всегда можно, если пожелаем, по указанным правилам, продолжать ряд далее. Отдельные числа ряда (1) в данном случае будут:

u₁= 3

u₂= 3,1

u₃= 3,14

u₄= 3,141

.................

.................

Возьмем разность

u_п+т— u_n= 0,000... 00αβγ... δ

в которой после запятой будет n нулей и затем еще т десятичных цифр. Каковы бы ни были цифры β, γ,... δ, число αβγ... δ n и совершенно независимом от числа m, дробь (α + 1)/10ⁿможет быть сделана как угодно малой, а

u_n+m— u_nⁿ

причем это неравенство имеет место, сколько бы ни было цифр β, γ... δ, т. е. каково бы ни было конечное число т. Таким образом всякая бесконечная десятичная непериодическая дробь определяет всегда некоторое И. число, напр. π, е, √2 и пр. Поэтому вычислить И. число с точностью до 1/10ⁿэто значит вычислить n десятичных знаков в разложении заданного И. числа в бесконечную десятичную дробь.

Д. Граве.

число, не являющееся рациональным (т. е. целым или дробным). Действительные И. ч. могут быть представлены бесконечными непериодическими десятичными дробями; например, Алгебраическое число) и трансцендентные числа (См. Трансцендентное число). См. также Число.

ИРРАЦИОНАЛЬНОЕ число - число, не являющееся рациональным, т. е. не могущее быть точно выраженным дробью m/n, где m и n - целые числа. Действительные иррациональные числа могут быть представлены бесконечными непериодическими десятичными дробями.

мат. irrational

irrational number, irrational quantity

ИРРАЦИОНАЛЬНОЕ ЧИСЛО, см. ЧИСЛО ИРРАЦИОНАЛЬНОЕ.

иррациона́льное число́

число, не являющееся рациональным, то есть не могущее быть точно выраженным дробью m/n, где m и n — целые числа. Действительные иррациональные числа могут быть представлены бесконечными непериодическими десятичными дробями.

* * *

ИРРАЦИОНА́ЛЬНОЕ ЧИСЛО́, число, не являющееся рациональным, т. е. не могущее быть точно выраженным дробью m/n, где m и n — целые числа. Действительные иррациональные числа могут быть представлены бесконечными непериодическими десятичными дробями.

irrational number, irrational quantity

* * *

irrational number

numero irrazionale

ірраціона́льне число́

ірраціона́льне число́

число, не являющееся рациональным, т. е. не могущее быть точно выраженным дробью т/п, где т и п -целые числа. Действительные И. ч. могут быть представлены бесконечными непериодическими десятичными дробями.