«Модуль»

Модуль в энциклопедиях

Источники

Словарь Брокгауза и Ефрона

(хим.) — см. Растворы.

Большая Советская энциклопедия

Мо́дуль (от лат. modulus — мера)

в архитектуре, условная единица, принимаемая для координации размеров частей здания или комплекса. В архитектуре разных народов в зависимости от особенностей строительной техники и композиции зданий за М. принимались разные величины. М. сооружения могут быть: одно из основных его измерений (диаметр купола или стороны помещения в средневековых сводчатых постройках Европы и Средней Азии), размер отдельного элемента сооружения (диаметр колонны, ширина Триглифа в ордерной античной архитектуре) или размер строительного изделия (длина кирпича, бревна). В качестве М. используются также и непосредственно меры длины (фут, сажень, метр и др.), образуя т. н. линейный М.

Возникнув вследствие технической необходимости, М. стал и одним из средств архитектурной композиции, которое используется для приведения в гармоническое соответствие размеров целого и его частей (например, Золотое сечение в античной архитектуре, Модулор в практике Ле Корбюзье). Однако применение М. никогда не означало механического расчёта всех величин: в поисках выразительных соотношений архитекторы вносили в соразмерность частей поправки, учитывающие особенности зрительного восприятия. В архитектуре 2-й половины 20 в., в связи с развитием методов сборного индустриального строительства, постоянные линейные М. получили особенно большое техническое значение как средство согласования планировочных и конструктивных элементов зданий, их унификации и стандартизации.

Основной М. размером в 10 см, производные от него укрупнённые (3 М., 6 М., 12 М., 15 М., 30 М., 60 М.) и дробные М. вместе с правилами их применения составляют модульную систему. Они установлены советскими, зарубежными и международными нормами и стандартами.

Лит.: Хазанов Д. Б., Модуль в архитектуре, в сборнике: Вопросы теории архитектурной композиции, [в.] 2, М., 1958; Архитектура жилого комплекса, М., 1969.

Д. Б. Хазанов.

Мо́дуль

в математике, 1) М. (или абсолютная величина) комплексного числа (См. Комплексные числа) z = х + iy есть число z в тригонометрической форме z = r(cos φ + i sin φ) действительное число r равно М. числа z. М. допускает следующее геометрическое истолкование: комплексное число z = х + iy можно изобразить вектором, исходящим из начала прямоугольной системы координат и имеющим конец в точке с координатами (х, у); длина этого вектора и есть М. комплексного числа z.

2) М. перехода от системы Логарифмов при основании а к системе логарифмов при основании b есть число М = 1/log_ab; для получения логарифмов чисел х при основании b, если известны логарифмы этих чисел при основании а, надо последние умножить на М. перехода:

log_bx = М log_ax.

III

Мо́дуль

в электронике, унифицированный функциональный узел, функционально законченный узел радиоэлектронной аппаратуры, оформленный конструктивно как самостоятельное изделие. По конструкции М. разделяют на плоские, объёмные и объёмно-плоскостные, по типу электронных приборов — на транзисторные и ламповые. Чаще всего М. собирают на печатных платах (См. Печатная плата). Технология изготовления М. допускает высокую степень автоматизации, что обеспечивает высокую надёжность М. в работе. М. могут быть отдельно настроены и проверены, что позволяет при ремонте производить их замену без дополнительных подстроек и регулировок. Применение М. (функционально-узловой метод конструирования) сокращает сроки проектирования, удешевляет проектирование и изготовление аппаратуры, упрощает её эксплуатацию и модернизацию.

Лит.: Гусев В. П., Технология радиоаппаратостроения, М., 1972.

Рис. 1. Плоский модуль — логическая ячейка узла электронной вычислительной машины: 1 — выводы; 2 — полупроводниковый диод; 3 — транзистор; 4 — конденсатор; 5 — печатная плата (основание модуля); 6 — резистор.

Рис. 2. Объёмный модуль (без кожуха) — усилитель звуковой частоты: 1 — верхняя печатная плата; 2 — резисторы; 3 — металлическая перемычка между печатными платами; 4 — конденсатор; 5 — нижняя печатная плата; 6 — выводы; 7 — транзистор.

Словарь форм слова

мо́дуль;
мо́дули;
мо́дуля;
мо́дулей;
мо́дулю;
мо́дулям;
мо́дуль;
мо́дули;
мо́дулем;
мо́дулями;
мо́дуле;
мо́дулях.

Толковый словарь Ожегова

МО́ДУЛЬ, -я, муж. (спец.).

1. В точных науках: название нек-рых коэффициентов, каких-н. величин.

2. Сложный инженерный узел 1 (в 3 знач.), выполняющий самостоятельную функцию в техническом устройстве. М. космического аппарата. М. термоядерной установки.

3. перен. Вообще отделяемая, относительно самостоятельная часть какой-н. системы, организации. Магазин типа м.

| прил. модульный, -ая, -ое.

Малый академический словарь

-я, м.

1. физ., тех.

Название некоторых (особенно важных в какой-л. области) коэффициентов или величин.

Модуль сжатия. Модуль упругости.

2. архит.

Исходная единица измерения, устанавливаемая для данного архитектурного сооружения, служащая мерилом для придания соразмерности отдельным частям здания.

3. тех.

Часть прибора или конструкции, собранная из типовых деталей и имеющая многоцелевое применение.

[От лат. modulus — мера]

Толковый словарь Ушакова

МО́ДУЛЬ, модуля, муж. (лат. modulus - мерочка).

1. В точных науках - название некоторых коэфициентов (физ.). Модуль упругости. Модуль сопротивления.

|| Число, на которое нужно умножить логарифм одной системы, чтобы получить логарифм другой системы (мат.).

2. Радиус поперечного разреза колонны у ее основания, служащий мерилом для придания соразмерности отдельным частям здания (архит.).

Толковый словарь Ефремовой

м.

Название некоторых коэффициентов, мерил каких-либо величин (в точных науках).

Число, на которое нужно умножить логарифм одной системы при данном основании, чтобы получить логарифм другой системы при другом основании (в математике).

м.

Исходная единица измерения, устанавливаемая для данного сооружения, служащая мерилом для придания соразмерности отдельным частям здания (в архитектуре и строительстве).

III

м.

Часть прибора или конструкции, собранная из типовых деталей и имеющая многоцелевое применение (в технике).

Составная часть космического корабля, способная совершать самостоятельный полет.

м.

Унифицированный функциональный узел радиоэлектронной аппаратуры, оформленный конструктивно как самостоятельное изделие (в электронике).

Большой энциклопедический словарь

МОДУЛЬ (от лат. modulus - мера) - в архитектуре и строительстве исходная мера, принятая для выражения кратных соотношений размеров комплексов, сооружений и их частей. В качестве модуля принимают меру длины (фут, метр), размер одного из элементов здания или размер строительного изделия. Применение модуля придает комплексам, сооружениям и их частям соизмеримость, облегчает унификацию и стандартизацию строительства.

Большой энциклопедический словарь

МОДУЛЬ комплексного числа - см. Абсолютная величина. Модуль перехода от системы логарифмов при основании a к системе при основании b есть число 1/logab.

Большой энциклопедический словарь

МОДУЛЬ - в радиоэлектронике - унифицированный функциональный узел радиоэлектронной аппаратуры, выполненный в виде самостоятельного изделия, чаще всего на 1 или нескольких печатных платах. Бывают плоские и объемные модули.

Современная энциклопедия

МОДУЛЬ в радиоэлектронике, функционально законченный узел радиоэлектронной аппаратуры, оформленный конструктивно как самостоятельное изделие. Чаще всего модуль - печатная плата с размещенными на ней интегральными схемами и другими деталями. Применяется в устройствах техники СВЧ, радиотехники, вычислительной, измерительной техники и др. Применение модуля сокращает сроки проектирования аппаратуры, удешевляет ее изготовление, упрощает эксплуатацию, облегчает ремонт.

Современная энциклопедия

МОДУЛЬ (от латинского modulus - мера) в архитектуре и строительстве, исходная мера, принятая для выражения кратных соотношений размеров сооружений и их частей. В качестве модификации принимают меру длины (фут, метр), размер одного из элементов здания или размер строительного изделия. Применение модификации облегчает унификацию и стандартизацию строительства.

Энциклопедия Брокгауза и Ефрона

Строительный словарь

1. в строительстве - условная единица измерения, применяемая для координации размеров сооружений, зданий, их элементов, строительных конструкций, изделий и элементов оборудования 2. название какого-либо важного коэффициента или величины

(Болгарский язык; Български) — модул

(Чешский язык; Čeština) — modul

(Немецкий язык; Deutsch) — Modul

(Венгерский язык; Magyar) — modul

(Монгольский язык) — модуль

(Польский язык; Polska) — 1. moduł 2. współczynnik

(Румынский язык; Român) — modul

(Сербско-хорватский язык; Српски језик; Hrvatski jezik) — modul

(Испанский язык; Español) — módulo

(Английский язык; English) — module

(Французский язык; Français) — module

Источник: Терминологический словарь по строительству на 12 языках
(от лат. modulus - мера), в архитектуре и строительстве исходная мера, принятая для выражения кратных соотношений размеров комплексов, сооружений и их частей. В качестве модуля принимают меру длины (фут, метр), размер одного из элементов здания или размер строительного изделия. Применение модуля придает комплексам, сооружениям и их частям соизмеримость, облегчает унификацию и стандартизацию строительства.Источник:"Архитектурный словарь"

Большой англо-русский и русско-английский словарь

муж. moduleмодул|ь - м. мат. modulus;
~яция ж. modulation;
сеточная ~яция радио grid modulation;
частотная ~яция радио frequency modulation;
~яция амплитуды кино amplitude modulation;
~яция изображения кино picture modulation;
~яция по скорости кино velocity modulation;
~яция проводимости кино conductivity modulation;
~яция фокуса focus modulation.

Англо-русский словарь технических терминов

assembly unit, modular block, block, constant, construction unit, structural member, modular unit, module, modulus, pack, package, style, unit, absolute value

Русско-английский словарь математических терминов

m.modulus, absolute value, module; модуль вычета, residue class module; по модулю пермутационный модуль, permutation module

Большой немецко-русский и русско-немецкий словарь

м мат., тех., вчт.

Modul m

Большой французско-русский и русско-французский словарь

м. в разн. знач.

module m

Большой испано-русский и русско-испанский словарь

м.

módulo m (в разн. знач.)

Большой итальяно-русский и русско-итальянский словарь

м. спец.

1)(в точных науках) modulo

2)(инженерный узел) modulo

модуль космического аппарата — modulo della nave spaziale

Энциклопедический словарь

МО́ДУЛЬ -я; м. [от лат. modulus - мера]

1. чего. Спец. Величина, характеризующая какое-л. свойство твёрдого тела. М. сжатия. М. упругости.

2. Матем. Действительное число, абсолютная величина отрицательного или положительного числа. М. комплексного числа. М. отрицательного числа.

3. Иск. Величина, условно принимаемая за единицу, целое число раз повторяющуюся во всех измерениях какой-л. художественной формы. Высота колонн стала модулем здания.

4. Техн. Часть прибора, механизма, устройства, выполняющая определённые функции. Собрать агрегат из модулей. Печатающий м. М. космической станции.

◁ Мо́дульный, -ая, -ое. М. коэффициент. М-ая величина. М. принцип книжной вёрстки.

* * *

модуль

(от лат. modulus — мера), в архитектуре и строительстве исходная мера, принятая для выражения кратных соотношений размеров комплексов, сооружений и их частей. В качестве модуля принимают меру длины (фут, метр), размер одного из элементов здания или размер строительного изделия. Применение модуля придаёт комплексам, сооружениям и их частям соизмеримость, облегчает унификацию и стандартизацию строительства.

числа, см. Абсолютная величина. Модуль перехода от системы логарифмов при основании а к системе при основании b есть число 1/log_ab.

III

(в радиоэлектронике), унифицированный функциональный узел радиоэлектронной аппаратуры, выполненный в виде самостоятельного изделия, чаще всего на одной или нескольких печатных платах. Бывают плоские и объёмные модули.

Математическая энциклопедия

- абелева группа с кольцом операторов. М. является обобщением (линейного) векторного пространства над полем Кдля случая, когда Кзаменяется нек-рым кольцом.

Пусть задано кольцо А. Аддитивная абелева группа Мназ. левым А- модулем, если определено отображение значение к-рого на паре для записывается как am, причем выполняются аксиомы:

Если кольцо Аобладает единицей, то обычно требуют дополнительно, чтобы для любого выполнялось равенство . М. с этим свойством наз. унитарным, или унитальным.

Аналогично определяются правые A-модули; при этом аксиома 3) заменяется условием Любой правый А-модуль можно рассматривать как левый -модуль над кольцом , антиизоморфным кольцу А, поэтому любому утверждению о правых A-модулях соответствует нек-рое утверждение о левых -модулях и наоборот. В случае, когда кольцо Акоммутативно, любой левый A-модулъ можно рассматривать как правый A-модуль, и различие между левыми и правыми М. исчезает. Ниже будут рассматриваться только левые A-модули.

Простейшие примеры М. (конечные абелевы группы, т. <е. -модули) появляются уже у К. Гаусса (C.Gauss) как группы классов бинарных квадратичных форм. Общее понятие М. встречается впервые в 60-80-х гг. 19 в. в работах Р. Дедекинда (R. Dedekind) и Л. Кронекера (L. Kronecker), посвященных арифметике полей алгебраич. чисел и алгебраич. функций. Проводившееся примерно в это же время исследование конечномерных ассоциативных алгебр, и в частности групповых алгебр конечных групп (Б. Пирс, В. Peirce, Ф. Фробениус, F. Frobenius), привело к изучению идеалов нек-рых некоммутативных колец. Первоначально теория М. развивалась преимущественно как теория идеалов нек-рого кольца. Лишь позднее в работах Э. Нётер (Е. Noether) и В. Крулля (W. Krull) было замечено, что многие результаты удобнее формулировать и доказывать в терминах произвольных М., а не только идеалов. Последующее развитие теории М. связано с применением методов и идей теории категорий, в частности методов гомологич. алгебры.

Примеры модулей. 1) Любая абелева группа Мявляется М. над кольцом целых чисел . Для и произведение am определяется как результат сложения т а раз.

2) В случае, когда А- поле, понятие унитарного A-модуля в точности эквивалентно понятию линейного векторного пространства над А.

3) Координатное n-мерное векторное пространство V над полем Кможно рассматривать как М. над кольцом всех -матриц с коэффициентами из К. Для и произведение определяется как умножение матрицы Xна столбец координат вектора .

4) Ассоциативное кольцо Аявляется левым Л-мо-дулем. Умножение элементов кольца на элементы М. совпадает с обычным умножением в Л.

5) Дифференциальные формы на гладком многообразии Xснабжены естественной структурой М. над кольцом всех гладких функций на X.

6) С любой абелевой труппой Мсвязано ассоциативное кольцо с единицей End (M)всех эндоморфизмов группы М. Группа Мснабжена естественной структурой End (M)-модуля.

Если на Мзадана структура A-модуля для нек-рого кольца A. то отображение является эндоморфизмом Мдля любого . Сопоставляя элементу порождаемый им эндоморфизм М, получают гомоморфизм кольца в . Наоборот, любой гомоморфизм определяет на Мструктуру A-модуля. Таким образом, задание структуры A-модуля на абелевой группе Мравносильно заданию гомоморфизма . Такой гомоморфизм наз. также представлением кольца A, а Мназ. модулем представления. С любым представлением связан двусторонний идеал , состоящий из элементов таких, что am=0 для всех . Этот идеал наз. аннулятором модуля М. В случае, когда представление наз. точным,- точным модулем.

Очевидно, что модуль Мможно рассматривать также как М. над факторкольцом . В частности, хотя определение М. и не предполагает ассоциативности кольца A, кольцо всегда ассоциативно. Поэтому в большинстве случаев достаточно ограничиться рассмотрением М. над ассоциативными кольцами. Ниже, везде, где не оговорено противное, кольцо A будет предполагаться ассоциативным.

G-модули. Пусть G- нек-рая группа. Аддитивная абелева группа Мназ. левым G-модулем, если задано отображение , значение к-рого на паре , где , записывается как gm, причем для любого отображение является эндоморфизмом группы М, для любых , , и для всех где 1 - единица группы G. Для любого отображение является автоморфизмом группы М.

Аналогично можно определить правые G-модули. При любой правый G-модуль будет левым G-модулем.

Примеры G - модулей. 1) Пусть К- расширение Галуа нек-рого поля кс группой Галуа G. Тогда аддитивная и мультипликативная группы поля Кснабжены естественной структурой G-модуля. Если к- поле алгебраич. чисел, то G-модулями также являются аддитивная группа кольца целых чисел поля K, группа единиц поля К, группа дивизоров и группа классов дивизоров поля К, и т. д. М. над группой Галуа наз. также модулями Галуа.

2) Пусть задано нек-рое расширение абелевой группы М, т. е. точная последовательность групп

где М- абелев нормальный делитель группы Fи G - произвольная группа. Тогда группу Мможно снабдить естественной структурой G-модуля, положив для где - нек-рый прообраз элемента gв группе F.

В тех случаях, когда групповая операция в абелевой группе Мзаписывается мультипликативно (напр., М- мультипликативная группа нек-рого поля), вместо записи gm используют также запись mg, т. е. операторы из группы G записывают как показатели.

Пусть задан G-модуль М. Сопоставляя элементу автоморфизм группы М, получают гомоморфизм группы в группу обратимых элементов кольца . Наоборот, любой гомоморфизм группы G в группу обратимых элементов кольца End (М) задает на Мструктуру G-модуля.

Понятия М. над кольцом и G-модуля тесно связаны. Именно, любой G-модуль Мможно рассматривать как М. над групповым кольцом , если распространить действие группы на по линейности, т. е. положить

где Наоборот, если на Мзадана структура унитарного G-модуля, то Мможно рассматривать как G-модуль.

В случае, когда Мявляется K-модулем над нек-рым коммутативным кольцом Ки одновременно G-модулем, причем действие элементов группы G на Мперестановочно с действием элементов К, М можно снабдить структурой KG -модуля, распространяя действие с Gна KG по линейности. Напр., если V- линейное векторное пространство над полем К, то задание структуры KG -модуля на Vэквивалентно заданию представления Gв пространстве V.

Используя стандартную инволюцию в группе G, любой левый G-модуль Мможно превратить в правый G-модуль, положив Аналогично, любой правый G-модуль можно превратить в левый G-модуль.

Модуль над алгеброй Ли. Пусть - алгебра Ли над коммутативным кольцом Ки М- нек-рый K-мо-дуль. Задание структуры -модуля на Мсостоит в задании K-эндоморфизма группы Мдля каждого , причем требуется выполнение аксиомы

для любых . Это определение отличается от данного ранее определения A-модуля. Задание на Мструктуры -модуля равносильно заданию K-гомоморфизма в алгебру Ли кольца End (М). Модуль Мнад алгеброй Ли можно рассматривать также как М. в обычном смысле над универсальной обертывающей алгеброй алгебры

Конструкции в теории модулей. Исходя из заданных A-модулей, можно получать новые А-модули при помощи ряда стандартных построений. Так, с любым модулем Мсвязана решетка всех его подмодулей. Напр., если кольцо A рассматривать как левый М. над собой, то его левые подмодули - это в точности левые идеалы кольца А. Ряд важных типов М. определяется в терминах решетки подмодулей. Напр., условие обрыва убывающих (возрастающих) цепей подмодулей определяет артиновы модули( нётеровы модули). Условие отсутствия нетривиальных подмодулей, т. е. подмодулей, отличных от 0 и всего М., выделяет неприводимые модули.

Для модуля Ми любого его подмодуля Nфакторгруппу M/N можно снабдить структурой A-модуля. Этот модуль наз. фактормодулем Мпо N.

Гомоморфизм A-модулей определяется как гомоморфизм абелевых групп , перестановочный с умножением на элементы кольца А, т. <е. удовлетворяющий условию для всех Если заданы два гомоморфизма , то их сумма, определяемая формулой , снова будет гомоморфизмом А-модулей. Это сложение задает на множестве всех гомоморфизмов модуля Мв Nстроение абелевой группы. Для любого гомоморфизма определены подмодули и , а также фактормодули (коядро f) и (кообраз f). М. Imf и Coim f канонически изоморфны, поэтому их обычно отождествляют. Напр., для любого левого идеала f кольца Аопределен фактормодуль A/J. М. A/J неприводим тогда и только тогда, когда J - максимальный левый идеал. Если М- иек-рый неприводимый A-модуль, не аннулируемый кольцом А, то Мизоморфен М. A/J для нек-рого максимального левого идеала J.

Для любого семейства , где пробегает нек-рое множество индексов J, в категории A-модулей существуют прямая сумма и прямое произведение семейства . При этом элементы прямого произведения можно интерпретировать как векторы , компоненты к-рых заиндексированы множеством J, причем для каждого индекса . Сложение таких векторов и умножение их на элементы кольца определяются покомпонентно. Прямую сумму семейства можно интерпретировать как подмодуль прямого произведения, состоящий из векторов, у к-рых все компоненты, кроме конечного числа, равны нулю.

Для проективной (индуктивной) системы A-модулей проективный (индуктивный) предел этой системы можно естественным образом снабдить структурой A-модуля. Прямое произведение и прямая сумма М. могут рассматриваться как частные случаи понятий проективного и индуктивного пределов.

Образующие и соотношения. Пусть X - нек-рое подмножество A-модуля М. Подмодулем, по рожденным множеством X, наз. пересечение всех подмодулей модуля М, содержащих X. Если этот подмодуль совпадает с М, то Xназ. семейством (или системой) образующих модуля М. М., допускающий конечное семейство образующих, наз. конечно порожденным модулем. Напр., в нётеровом кольце любой идеал является конечно порожденным М., прямая сумма конечного числа конечно порожденных М. снова конечно порождена. Любой фактормодуль конечно порожденного М. также конечно порожден. Для построения системы образующих модуля Мчасто оказывается полезной лемма Накаямы: для любого идеала , содержащегося в радикале кольца А, из условия следует М=0. В частности, в условиях леммы Накаямы элементы являются системой образующих для М, если их образы порождают модуль Это соображение особенно часто используется в случае, когда A - локальное кольцо и - максимальный идеал в A.

Пусть М- модуль с системой образующих Тогда отображение определяет эпиморфизм свободного A-модуля Fс образующими на М(М. Fможно определить как множество формальных конечных сумм отображение распространяется с образующих на элементы М. Fпо линейности). Элементы М. наз. соотношениями между образующими модуля М. Если модуль Мможно представить как фактормодуль конечно порожденного свободного М. Fтак, чтобы М. соотношений Rтакже был конечно порожден, что Мназ. конечно представимым модулем. Напр., над нётеровым кольцом A любой конечно порожденный М. конечно представим. В общем случае конечная представимость не следует из конечной порожденности.

Замена кольца. Существуют стандартные конструкции, позволяющие рассматривать A-модуль Мкак М. над нек-рым другим кольцом. Напр., пусть задан гомоморфизм колец . Тогда, полагая , можно рассматривать Мкак В-модуль.

Если модуль М- унитарный A-модуль, и гомоморфизм j переводит единицу в единицу, то Мстанет унитарным B-модулем.

Пусть задан нек-рый гомоморфизм колец и A-модуль М. Тогда Вможно снабдить структурой ( В, A )-модуля, полагая для и можно рассмотреть левый B-модуль . Говорят, что этот М. получен из M расширением скаляров.

Категория модулей. Класс всех М. над заданным кольцом Ас гомоморфизмами М. в качестве морфиз-мов образует абелеву категорию, обозначаемую Из функторов, определенных на этой категории, наиболее важны функторы Нот (гомоморфизмы) и (тензорное произведение). Функтор Ноm принимает значения в категории абелевых групп и сопоставляет паре A-модулей М, N, группу . Для очевидным образом определяются отображения

и

т. е. функтор Ноm контравариантен по первому аргументу и ковариантен по второму. В случае, когда Мили N несет структуру бимодуля, группа обладает дополнительной модульной структурой. Если Nесть (А, B)-модуль, то - правый B-модуль, а если Месть ( А, В )-бимодуль, то - левый В-модуль.

Функтор ставит в соответствие паре М, N, где М - правый A-модуль, a N - левый A-модуль, тензорное произведение модулей Ми Nнад кольцом А. Этот функтор принимает значения в категории абелевых групп и ковариантен как по М, так и по N. В случае, когда Мили N- бимодули, группу можно снабдить дополнительной структурой. Именно, если Месть (В, A)-модуль, то есть В-модуль, а если Nесть ( А, В )-бимодуль, то - правый В-модуль. Изучение функторов Ноm и , а также их производных функторов является одной из основных задач гомологич. алгебры.

Многие важные типы М. характеризуются в терминах функторов Ноm и . Так, проективный модуль М определяется требованием, чтобы функтор (от X)был точным. Аналогично, инъективный модуль N определяется требованием точности (от X). Плоский модуль М определяется требованием точности функтора

М. над данным кольцом Аможно рассматривать с двух точек зрения.

1) Можно изучать М. с точки зрения их внутренней структуры. Основной задачей здесь является полная классификация М., т. е. построение для каждого М. системы инвариантов, характеризующей этот М. с точностью до изоморфизма, и умение по заданному набору инвариантов строить М. с этими инвариантами. Для нек-рых типов колец такое описание возможно. Напр., если М- конечно порожденный М. над групповым кольцом KG конечной группы G, где К- нек-рое поле, характеристика к-рого взаимно проста с порядком G, то Мпредставим в виде конечной прямой суммы неприводимых подмодулей (модуль Мвполне приводим). Это представление определено однозначно с точностью до изоморфизма (сами неприводимые подмодули в общем случае не определяются однозначно). Все неприводимые подмодули также допускают простое описание: все они содержатся в регулярном представлении группы Gи находятся во взаимно однозначном соответствии с неприводимыми характерами этой группы. Также простое описание допускают М. над кольцом главных идеалов и над дедекиндовым кольцом. Именно, любой конечно порожденный модуль Мнад кольцом главных идеалов Аизоморфен конечной прямой сумме М. вида , где - нек-рые идеалы кольца А(возможно, нулевые), причем и идеалы однозначно определяются последним условием. Таким образом, набор инвариантов полностью определяет модуль М. Если М- конечно порожденный М. над дедекиндовым кольцом А, то где - периодич. М., а М ₂- М. без кручения (выбор модуля не однозначен). Модуль аннулируется нек-рым идеалом кольца Аи, следовательно, является М. над кольцом главных идеалов и допускает описание, указанное выше, а модуль представим в виде - нек-рый идеал А, а - прямая сумма праз. Модуль М ₁ с точностью до изоморфизма однозначно определяется двумя инвариантами: числом пи классом идеала в группе классов идеалов.

2) Другой подход к изучению М. состоит в изучении категории A = mod и данного модуля Мкак объекта этой категории. Такое изучение является предметом гомологич. алгебры и алгебраич. K-теории. На этом пути было получено много важных и глубоких результатов.

Часто рассматривают М., несущие нек-рую дополнительную структуру. Так рассматриваются градуированные модули, фильтрованные модули, топологические модули, модули с полуторалинейной формой и т. д.

Лит.:[1] Бурбаки Н., Алгебра. Модули, кольца, формы, пер. с франц., М., 1966; [2] его же, Коммутативная алгебра, пер. с франц., М., 1971; [3] его же, Группы и алгебры Ли. Алгебры Ли, свободные алгебры Ли и группы Ли, пер. с франц., М., 1976; [4] Ленг С, Алгебра, пер. с англ., М., 1968; [5] Ван дер Варден Б. Л-, Алгебра, пер. с нем., 2 изд., М., 1979; [6] Кострикин А. И., Введение в алгебру, М., 1977; [7] Джекобсон Н., Строение колец, пер. с англ., М., 1961; [8] Херстейн И., Некоммутативные кольца, пер. с англ., М., 1972; [9] Фейс К., Алгебра: кольца, модули и категории, пер. с англ., т. 1-2, М., 1977-79; [10] Картан А., Эйленберг С, Гомологическая алгебра, пер. с англ., М., 1960; [11] Маклейн С, Гомология, пер. с англ., М., 1966; [12] Басе X., Алгебраическая K-теория, пер. с англ., М., 1973; [13] Милнор Дж., Введение в алгебраическую К-теорию, пер. с англ., М., 1974.

Л. В. Кузьмин.

Математическая энциклопедия

- числовая характеристика какого-либо математич. объекта. Обычно значение М.- неотрицательное действительное число - элемент , обладающий нек-рыми характеристич. свойствами, обусловленными свойствами множества рассматриваемых объектов. Понятие М. фигурирует в различных разделах математики, хотя иногда и под другими названиями - абсолютное значение, норма и т. п. Все они, в сущности, являются обобщениями понятия абсолютной величины действительного или комплексного числа (но термин М. обычно означает обобщение специального вида). При этом функция оказывается морфизмом нек-рой структуры в на одну из (алгебраических) структур в , среди к-рых важнейшие - это порядок, аддитивность и мультипликативность. При этом необходимо сохранение основных свойств абсолютной величины (см. ниже ) -)). В более абстрактных ситуациях вместо естественно использовать упорядоченные полукольца (такой концепции М. удовлетворяют, напр., мера, емкость, масса и т. д.). Наконец, термином М. обозначаются числовые характеристики и др. объектов: таковы, напр., модуль плоской области, модуль кольца, модули римановой поверхности, непрерывности модуль, гладкости модуль (и даже - М. в теории упругости (сжатия, сдвига)). Однако во всех таких случаях можно ввести величины, функционально зависящие от такого М. и более адекватно отражающие природу рассматриваемых объектов (напр., экстремальную длину вместо М. семейства кривых).

Примеры. 1) М. элемента х полуупорядоченного пространства Р- число

где - положительная (отрицательная) часть х. При этом, как и для действительных чисел,

2) М. элемента хотделимого предгильбертова пространства H, в частности конечномерного векторного пространства,- число

где < Х, Х> - скалярное произведение в H. Это - одна из норм в Н, и потому

3) М. элемента хлокально компактного тела - число

где m- мера Хаара на аддитивной группе К, S- измеримое множество в ней. При этом, как и для чисел из

Обобщением этого понятия является модуль автоморфизма.

4) М. эндоморфизма A векторного пространства V над полем К(частный случай М. автоморфизма) - число , оказывающееся равным просто означает М. элемента из Примера 3). Г. И. Войцеховский.

Большой энциклопедический политехнический словарь

(от лат. modulus - мера) - 1) назв. к.-л. особо важного коэффициента или величины (напр., модуль зубьев, модуль упругости, М. комплексного числа).

2) Условная единица в стр-ве и архитектуре, принимаемая для выражения кратных соотношений размеров частей здания или сооружения с целью их координации, придания сооружению или его частям соизмеримости. В качестве М. принимают меру длины или размер одного из элементов здания либо строит. изделия (напр., кирпича).

3) Унифицир. узел (или часть сложной системы), оформленный конструктивно как самостоят. изделие и выполняющий определ. ф-цию в разл. технич. устройствах. Модульное оформление узлов широко применяется в устройствах техники СВЧ, вычислит. техники, измерит. аппаратуре и т. д. Применение М. сокращает сроки проектирования аппаратуры, удешевляет её изготовление, упрощает эксплуатацию и модернизацию. См. Плоский модуль, Объёмный модуль, Микромодуль.

4) Встречающееся в лит-ре назв. составных частей космич. корабля (напр., КК "Аполлон", предназнач. для полёта космонавтов на Луну, состоял из двух М.: основного, или орбитального, и лунного, или посадочного).

5) Наращиваемый отсек орбит. станции (см. "Мир"), в к-ром размещаются специализир. оборудование, приборы и т. д. (астрофиз. М., технологич. М. и др.).

Большая политехническая энциклопедия

МОДУЛЬ — (1) числовое значение какой-либо характеристики, единица меры, коэффициент, число, показатель какого-либо соотношения, напр.: а) М. зубчатого зацепления — отношение шага зубчатого зацепления к числу π; умножив модуль на число зубьев шестерни, получают диаметр начальной окружности; через него выражают элементы зуба (шаг, головку, ножку); б) М. упругости (Юнга) — число, характеризующее отношение величины напряжения к вызванной им упругой деформации (см.); чем больше модуль упругости, тем меньше деформация тела при данной нагрузке; (2) функционально и конструктивно законченный узел или блок, являющийся частью какой-либо системы (конструкции), изготовленный как самостоятельное изделие и обладающий свойством взаимозаменяемости (см.), напр. модуль программы для ЭВМ, модуль конструкции и др.; (3) составная часть космического корабля, способная совершать самостоятельный полёт. Напр. космический корабль «Аполлон», предназначенный для полёта на Луну, состоит из двух состыкованных модулей: основного, млн. орбитального, и лунного, млн. посадочного.

Русско-английский политехнический словарь

assembly unit, modular block, block, constant, construction unit, structural member, modular unit, module, modulus, pack, package, style, unit, absolute value

* * *
мо́дуль м.

1. (абсолютная величина числа) modulus, magnitude, absolute value

вы́чет числа́ a по мо́дулю m … — the residue of a to the modulus m, the residue of a modulo m

по мо́дулю (в значении «по абсолютной величине») — in absolute value, in magnitude

чи́сла А и Б отлича́ются по мо́дулю — numbers A and B differ in magnitude

по мо́дулю N — modulo N

прове́рка по мо́дулю, напр. 9 — a modulo, e. g., 9 check

су́мма по мо́дулю, напр. 2 — the modulo, e. g., 2 sum of …

сумми́рование произво́дится по мо́дулю, напр. 2 — summation is modulo, e. g., 2, a modulo, e. g., 2 sum is taken

2. (блок, элемент конструкции) module

3. (унифицированный функциональный узел) элк. module

герметизи́ровать мо́дуль — seal a module

герметизи́ровать мо́дуль зали́вкой в компа́унд — pot a module

герметизи́ровать мо́дуль обвола́киванием — encapsulate a module

опрессо́вывать мо́дуль — mould a module

помеща́ть мо́дуль в ко́жух — encase a module

4. (величины, характеризующие различные свойства материалов, изделий) modulus; index

мо́дуль ве́ктора — length [modulus, absolute value, magnitude, numerical value] of a vector

мо́дуль всесторо́ннего сжа́тия — compression [bulk] modulus; modulus of dilatation

мо́дуль вытя́гивания — modulus of stretch

гидравли́ческий мо́дуль стр. — hydraulic index

дио́дно-рези́сторно-конденса́торный мо́дуль — capacitor-resistor-diode [CRD] module

мо́дуль затуха́ния — decay modules

мо́дуль изги́ба — flexural modules

интегра́льный мо́дуль — integrated circuit [IC] module

мо́дуль ко́мплексного числа́ — complex number modules

мо́дуль кру́пности горн. — gradation factor

мо́дуль круче́ния — torsion modules

логи́ческий мо́дуль — logic module

логи́ческий, универса́льный мо́дуль — universal logic module

лу́нный мо́дуль косм. — lunar module

мо́дуль мерсериза́ции цел.-бум. — modules of mercerization

микроминиатю́рный мо́дуль — microminiature module

многоштырько́вый мо́дуль — multipin package

молекуля́рный мо́дуль — MERA module

мо́дуль на керами́ческой осно́ве — ceramic-base module

мо́дуль на табле́точных элеме́нтах — pellet module

мо́дуль норма́льной упру́гости — modulus of elongation, Young's modulus

мо́дуль объё́много сжа́тия — modulus of dilatation

мо́дуль объё́мной упру́гости — bulk modulus

объё́мный мо́дуль — bulk modulus

мо́дуль основа́ния стр. — foundation modulus

основно́й мо́дуль косм. — orbital module

мо́дуль пласти́чности — modulus of plasticity

мо́дуль по́лного сопротивле́ния — (scalar) impedance

мо́дуль по́лной проводи́мости — (scalar) admittance

мо́дуль преломле́ния — refractive modulus

мо́дуль продо́льной упру́гости — modulus of elongation, Young's modulus

пьезоэлектри́ческий мо́дуль — piezoelectric modulus

мо́дуль разме́ров та́ры — module of container dimensions

мо́дуль разры́ва — modulus of rupture

мо́дуль расстоя́ния астр. — distance modulus

резисти́вно-ё́мкостный мо́дуль — capristor

мо́дуль сдви́га — shear [rigidity] modulus

мо́дуль с двусторо́нними вы́водами — double-ended module

мо́дуль скольже́ния — shear [rigidity] modulus

сме́нный мо́дуль — plug-in module

мо́дуль с навесны́ми дета́лями — discrete-component module

мо́дуль с односторо́нними вы́водами — single-sided module

со́товый мо́дуль — honeycomb module

мо́дуль сравне́ния — modulus of congruence

мо́дуль сто́ка гидр. — modulus or flow, run-off rate

термоэлектри́ческий мо́дуль — thermoelectric module

тонкоплё́ночный мо́дуль — thin-film (circuit) module

управля́ющий мо́дуль — control module

мо́дуль упру́гости — modulus of elasticity

мо́дуль упру́гости второ́го ро́да — shear [rigidity] modulus

мо́дуль упру́гости, динами́ческий — dynamic modulus of elasticity

мо́дуль упру́гости, каса́тельный — tangent modulus of elasticity

мо́дуль упру́гости пе́рвого ро́да — modulus of elongation, Young's modulus

мо́дуль упру́гости, приведё́нный — modulus of inelastic buckling

мо́дуль упру́гости, тангенциа́льный — tangent modulus of elasticity

мо́дуль фототелегра́фного аппара́та — index of cooperation (Примечание. В советской литературе обозначает отношение диаметра барабана к шагу подачи. В зарубежной литературе — произведение диаметра барабана на величину, обратную шагу подачи. )

мо́дуль шестерни́ — pitch of a gear

мо́дуль шестерни́, ме́лкий — fine pitch of a gear

мо́дуль этаже́рочного ти́па — cordwood module

мо́дуль Ю́нга — modulus of elongation, Young's modulus

Dictionnaire technique russo-italien

м.

modulo m

модуль гранулометрической однородности — modulo di uniformità granulometrica

модуль объёмной сжимаемости, модуль объёмной упругости — modulo di elasticità volumetrica [di compressibilità]

- акустический модуль
- алюминатный модуль

- аналоговый модуль

- архитектурный модуль

- модуль вектора

- гидравлический модуль

- модуль Гука

- модуль деформации

- динамический модуль

- дифференциальный модуль

- дробный модуль

- модуль жёсткости

- загрузочный модуль

- модуль запоминающего устройства

- модуль зубчатого зацепления

- модуль зубчатого колеса

- модуль изгиба

- модуль инерции

- исходный модуль

- модуль комплексного числа

- конструктивный модуль

- кремнезёмный модуль

- модуль крупности

- модуль кручения

- модуль линейного растяжения

- логический модуль

- лунный модуль

- модуль непрерывности

- модуль нормальной упругости

- нормальный модуль

- объектный модуль

- объёмный модуль

- оверлейный модуль

- орбитальный модуль

- основной модуль

- модуль отливки

- печатный модуль

- модуль пластичности

- модуль ползучести

- модуль полного сопротивления

- модуль поперечной упругости

- модуль преломления

- программный модуль

- модуль продольной упругости

- производный модуль

- модуль размерности

- модуль разрыва

- модуль распада

- модуль расстояния

- модуль растяжения

- модуль сдвига

- модуль сжатия

- силикатный модуль

- силовой модуль

- модуль скольжения

- модуль сопротивления

- сотовый модуль

- статический модуль

- модуль стока

- модуль точности

- модуль удлинения

- укрупнённый модуль

- управляющий модуль

- модуль упругости

- модуль упругости второго рода

- динамический модуль упругости

- мгновенный модуль упругости

- модуль упругости первого рода

- приведённый модуль упругости

- модуль упругости при изгибе

- модуль упругости при кручении

- модуль упругости при растяжении

- статический модуль упругости

- цифровой модуль

- модуль эластичности

- модуль Юнга

Русско-украинский политехнический словарь

вчт, матем., техн., физ.

мо́дуль, -ля

- абсолютный модуль
- базовый модуль

- вызываемый модуль

- вызывающий модуль

- гибкий модуль

- градуированный модуль

- двухсторонний модуль

- двусторонний модуль

- дифференциальный модуль

- дополнительный модуль

- допустимый модуль

- загрузочный модуль

- замкнутый модуль

- исполнительный модуль

- исходный модуль

- кольцевой модуль

- конечный модуль

- копримарный модуль

- модуль гладкости

- модуль действия

- модуль идеала

- модуль информации

- модуль кода

- модуль кручения

- модуль микрокалькулятора

- модуль микропроцессора

- модуль многочлена

- модуль непрерывности

- модуль перехода

- модуль представления

- модуль преломления

- модуль проводимости

- модуль расширения

- модуль редактирования

- модуль рефракции

- модуль сдвига

- модуль сжатия

- модуль сложения

- модуль сопряжения

- модуль тора

- модуль умножения

- модуль упругости

- невосстанавливающийся модуль

- неприводимый модуль

- нулевой модуль

- объектный модуль

- объёмный модуль

- ограниченный модуль

- отображённый модуль

- первообразный модуль

- плоский модуль

- полный модуль

- полупростой модуль

- программный модуль

- проективный модуль

- простой модуль

- робототехнический модуль

- свободный модуль

- сводимый модуль

- топологический модуль

- точный модуль

- унитарный модуль

- управляющий модуль

- фильтрованный модуль

- циклический модуль

Русско-украинский политехнический словарь

вчт, матем., техн., физ.

мо́дуль, -ля

- абсолютный модуль
- базовый модуль

- вызываемый модуль

- вызывающий модуль

- гибкий модуль

- градуированный модуль

- двухсторонний модуль

- двусторонний модуль

- дифференциальный модуль

- дополнительный модуль

- допустимый модуль

- загрузочный модуль

- замкнутый модуль

- исполнительный модуль

- исходный модуль

- кольцевой модуль

- конечный модуль

- копримарный модуль

- модуль гладкости

- модуль действия

- модуль идеала

- модуль информации

- модуль кода

- модуль кручения

- модуль микрокалькулятора

- модуль микропроцессора

- модуль многочлена

- модуль непрерывности

- модуль перехода

- модуль представления

- модуль преломления

- модуль проводимости

- модуль расширения

- модуль редактирования

- модуль рефракции

- модуль сдвига

- модуль сжатия

- модуль сложения

- модуль сопряжения

- модуль тора

- модуль умножения

- модуль упругости

- невосстанавливающийся модуль

- неприводимый модуль

- нулевой модуль

- объектный модуль

- объёмный модуль

- ограниченный модуль

- отображённый модуль

- первообразный модуль

- плоский модуль

- полный модуль

- полупростой модуль

- программный модуль

- проективный модуль

- простой модуль

- робототехнический модуль

- свободный модуль

- сводимый модуль

- топологический модуль

- точный модуль

- унитарный модуль

- управляющий модуль

- фильтрованный модуль

- циклический модуль

Українсько-російський політехнічний словник

вчт; матем.; техн.; физ. мо́дуль

Естествознание. Энциклопедический словарь

числа, см. Абсолютная величина. М. перехода от системы логарифмов при основании а к системе при основании b есть число 1/log_ab

Энциклопедия социологии

- англ. value of a number, absolute (modul); нем. Grosse der Zahl Absolute. А. в. положительного числа есть само это число; А. в. отрицательного числа есть противоположное ему положительное число; А. в. нуля равна нулю. А. в. числа а обознач./а/.