«перенормировка»

renormalization

f.renormalization, normalization

ПЕРЕНОРМИРОВКА

(ренормировка) в квантовой теории поля, процедура изменения параметров, входящих в ур-ния движения квант. теории поля (КТП). В кач-ве таких параметров обычно выступают массы ч-ц, константы связи, нормировка векторов состояния. Процедура П. преследует двоякую цель: а) введение в ур-ния параметров, имеющих непосредств. физ. смысл; б) устранение из теории бессмысленных расходящихся выражений, возникающих в процессе решения ур-ний по теории возмущений (см. КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ ПОЛЯ). Метод П. в КТП разработан амер. физиками Р. Фейнманом, Ю. Швингером, Ф. Дайсоном в 1944—49 и завершён Н. Н. Боголюбовым в 1955 — 57.

Процедура П. должна удовлетворять условию р е н о р м а л и з а ц и о н н о й и н в а р и а н т н о с т и, состоящему в том, что наблюдаемые величины, вычисленные как с помощью первоначальных, так и с помощью новых параметров, должны совпадать.

Поясним это на примере П. электрич. заряда в квант. электродинамике. Величина заряда эл-на определяется через силу, действующую на ч-цу в реальном эл.-магн. поле. Результатом её действия может быть отклонение движущегося эл-на полем к.-л. заряж. источника. Если после вз-ствия полем источника эл-н изменил свой четырёхмерный импульс (4-импульс) l на l', это означает, что, обменявшись с источником виртуальным фотоном, эл-н передал последнему импульс q=l-l'. В КТП такой процесс описывается суммой Фейнмана диаграмм, изображённых на рис. 1 составляющих т. н. вершинную функцию Е(m*), зависящую от массы виртуального фотона m*=??q2?/с и грающую роль эффективного заряда.

Эта сумма имеет вид ряда по «затравочному» заряду е0 — параметру в исходных ур-ниях теории поля, харакризующему интенсивность вз-ствия,

Е(m*, е0) =e0+(e30/ћc)f1(m*)+... (1)

(где f1 — нек-рая ф-ция от m*), причём первое слагаемое описывает диаграмму а, а второе — сумму остальных диаграмм, изображённых на рис. Величиной же физ. заряда, согласно обычному определению, наз. величина той ф-ции при m*=0 (реальное эл.-магн. поле), т. <е.

е=Е(m*=0, е0)=e0+(e30/ћc)f(0)+...

Процедура П. заключается в том, что разложение (1) можно переписать в виде

т. е. величину физ. заряда е приписать первой диаграмме, а вклады остальных диаграмм переопределить так, чтобы при m*=0 они были бы равны пулю, напр. f=1(m*)=f1(m*)-f1(0); при том, хотя каждое из слагаемых бесконечно велико, их разность f=1 оказывается конечной.

Однако принятый способ определения заряда не единственный. Заряд можно было бы определять и через отклонение эл-на с к.-н. ненулевым квадратом передачи 4-импульса?q2?=l2с2, где l — нек-рое фиксиров. значение m*?0. Такой новый заряд еl по величине будет отличаться от общепринятого. Эфф. заряд Е(m*, l, еl) будет иметь вид разложения (1), но уже по новому заряду еl, а вклады диаграмм с тремя и большим числом вершин, согласно процедуре П., должны вычитаться в точке m*=l, т. е. Е(m* =l, l, еl)=el. Ренормализац. инвариантность для эфф. заряда означает, что для любой новой точки нормировки m*=l'

Е(m*, l', еl')=Е(m*, l, еl), или, поскольку еl'=Е(l', l, еl), Е(m*, l', Е(l', l, еl))=Е(m*, l, еl).

Это функц. уравнение эквивалентно дифф. ур-нию

m*(dE/dm*)=b(E). (2)

где b — нек-рая ф-ция Е. Ур-ние (2) явл. основным ур-нием ренормализац. группы. Оно говорит о том, что изменение эфф. заряда Е (т*) с изменением передачи 4-импульса полностью определяется ф-цией b(E). Информация об этой ф-ции основывается почти исключительно на теории возмущений.

В частности, если b(Е)>0 (как, напр., в квант. электродинамике), то эфф. заряд растёт с ростом т* и разложение b(Е) в ряд по Е при достаточно большом Е становится несправедливым. Напротив, если b(Е)<0 (как, напр., в квантовой хромодинамике), то с ростом m* эфф. заряд уменьшается и разложение b(Е) становится всё более точным. Это случай т. н. асимптотической свободы. Интересен случай, когда b(E) при нек-ром значении Е=е0 меняет свой знак (рис. 2). Здесь хотя с ростом т* заряд и растёт, скорость этого роста (т. е. b(Е)) уменьшается и при Е=е0 обращается в нуль. Эфф. заряд с уменьшением расстояния (с ростом m*) стремится к конечной величине е0. В этом пределе появляется новое св-во симметрии — масштабная инвариантность: ур-ния теории не изменяются, если все расстояния и времена изменить в одно и то же число раз.

- процедура устранения расходимостей, присущих теории возмущений в лагранжевой формулировке квантовой теории поля. При построении формальных рядов теории возмущений в квантовой теории поля появляются выражения, не имеющие однозначного математич. смысла, связанные с т. н. ультрафиолетовыми расходимостями. Такие расходимости возникают из-за того, что коэффициенты этих рядов являются произведениями обобщенных функций, т. е. объектом, вообще говоря, не определенным корректно.

Удобно начинать рассмотрение с регуляризованной теории, в к-рой обобщенные функции заменены достаточно гладкими. Регуляризация вводит в теорию дополнительные параметры, не имеющие прямого физич. содержания. Но в регуляризованной теории уже возможно выделить из каждой коэффициентной функции ту ее часть, к-рая при снятии регуляризации порождает ультрафиолетовые расходимости. Собственно П. состоит в отбрасывании расходящихся вкладов в коэффициентные функции. После П. регуляризация снимается, т. е. регуляризующий параметр исключается соответствующим предельным переходом.

Идея П., предложенная X. Бете (см. [1]), состоит в том, что отбрасывание расходимостей должно производиться таким способом, чтобы оно сводилось к переопределению (П.) параметров исходного лагранжиана, т. е. затравочных масс, констант связи и нормировки полей. Точная формулировка перенормировочной процедуры в квантовой теории поля (R-операция) была дана Н. Н. Боголюбовым и О. С. Парасюком (см. [2]). Ими была доказана теорема (теорема Боголюбова - Парасюка) о коне. <чности в смысле обобщенных функций из S' перенормированных выражений в каждом порядке теории возмущений. При этом П. сводится к добавлению к лагранжиану дополнительных членов - "контрчленов". Каждый контрчлен представляет собой нек-рую локальную операторную структуру с числовым коэффициентом, являющимся, вообще говоря, бесконечным рядом по затравочным константам связи. Эти коэффициенты конечны лишь при наличии регуляризации и обращаются в бесконечность при снятии ее. Таким образом, П. демонстрирует вспомогательный характер исходного лагранжиана. Физич. смысл придается лишь лагранжиану перенормированному. Его параметры, т. е. перенормированные массы, константы связи и т. д., к-рые конечны, можно идентифицировать с наблюдаемыми величинами.

Лагранжева формулировка теории возмущений возможна лишь для теорий, в к-рых число контрчленов, отличающихся по своей операторной структуре, конечно. Такие теории делятся на два класса - супернормируемые и перенормируемые. В супернормируемых теориях коэффициенты при контрчленах являются конечными рядами по константам связи, а в перенормируемых - эти ряды бесконечны. В этих теориях операторная структура контрчленов, как правило, та же, что и отдельных членов исходного лагранжиана. Их объединение и приводит к П. затравочных констант.

В классич. варианте П. есть R-операция Боголюбова - Парасюка (устранение расходимостей из каждой диаграммы, возникающей, напр., в разложении S-матрицы) и сводится к переопределению коэффициентной функции этой диаграммы следующим образом. Пусть Mg - оператор, сопоставляющий коэффициентной функции диаграммы gначальный отрезок ее разложения в ряд Маклорена по импульсам. Тогда коэффициентная функция перенормированной диаграммы Г запишется как

где - совокупность всех расходящихся поддиаграмм диаграммы Г, а символ означает, во-первых, отбрасывание в получающемся из при раскрытии скобок выражении всех членов, содержащих произведения , отвечающие паре поддиаграмм, для к-рых не выполняется ни одно из условий , , и, во-вторых, упорядочивание операторов таким образом, что стоит правее , если .

Ограничения, накладываемые на процедуру П., не фиксируют ее полностью. Остающийся произвол имеет двоякий характер. Во-первых, требование конечности перенормированных выражений определяет лишь не-к-рое минимальное число "вычитаний" в каждой расходящейся поддиаграмме, т. е. минимальное число выделяемых членов ряда Маклорена. П. будет по-прежнему приводить к конечным результатам, если число вычитаний увеличивать, соблюдая нек-рые условия согласования для вычитаний в различных поддиаграммах перенормируемой диаграммы. Во-вторых, вместо отрезка ряда Маклорена можно вычитать выражение, отличающееся от него многочленом по импульсам той же степени с конечными коэффициентами.

Указанный произвол приводит к эквивалентности различных процедур П., отличающихся по своей формулировке от R-операции. Их конкретный выбор обычно диктуется рассматриваемой задачей. Так, для теорий с калибровочной инвариантностью, была предложена П., получившая название размерной. Она базируется на регуляризации, использующей в качестве параметра отклонение размерности пространства-времени, в к-ром производятся вычисления, от физич. значения. Устранение расходимостей производится путем отбрасывания выражений, сингулярных по этому отклонению.

В других задачах пользуются аналитич. П. В ее основе лежит регуляризация, состоящая в замене пропагатора частицы, имеющего вид типа на . Продолжение в комплексную область по параметрам l. осуществляет регуляризацию теории, а ультрафиолетовые расходимости выделяются как полюса по нек-рым линейным комбинациям этих параметров. Согласованное отбрасывание таких полюсов устраняет все расходимости.

В приложениях используются и другие схемы П. (см. [3]).

Лит.:[1] Веthе Н. A., "Phys. Rev.", 1947, v. 72, p. 339- 341; [2] Боголюбов Н. Н., Парасюк О. С., "Докл. АН СССР", 1955, в. 100, № 1, с. 25; № 3, с. 429; [3] Завьялов О. И., Перенормированные диаграммы Фейнмана, М., 1979. С. А. Аникин.

матем., физ.

перенормува́ння, (неоконч. д. - ещё) перенормо́вування

- перенормировка заряда

матем., физ.

перенормува́ння, (неоконч. д. - ещё) перенормо́вування

- перенормировка заряда