«регулярное кольцо»

мат. regular ring

(в смысле Неймана) - ассоциативное кольцо (обычно с единицей), в к-ром уравнение разрешимо для любого а. Следующие свойства ассоциативного кольца R с единицей равносильны: а) R есть Р. к.; б) каждый главный левый идеал кольца R порождается идемпотентом; в) главные левые идеалы кольца Л образуют подрешетку в решетке всех его левых идеалов, являющуюся дедекиндовой решеткой с дополнениями; г) каждый главный левый идеал кольца Rимеет дополнение в структуре всех его левых идеалов; д) все левые R-модули плоские; е) имеют место правые аналоги свойств б) - д) (см. [3], [4], [5], [8], [10]).(Ввиду д) Р. к. иногда наз. а б с о л ю т н о п л о с к и м и. Коммутативное кольцо регулярно тогда и только тогда, когда инъективны все простые модули над ним (см. [5]). Любой конечно порожденный левый (правый) идеал Р. к. оказывается главным и, следовательно, выделяется прямым слагаемым. Всякий неделитель нуля в Р. к. обратим. Радикал Джекобсона Р. к. равен нулю. Кольцо матриц над Р. к. оказывается Р. к. Класс Р. к. замкнут относительно перехода к прямым произведениям и факторкольцам. Идеал Р. к. является Р. к. (возможно, без единицы). Если Р. к. нётерово или совершенно (слева или справа), то оно оказывается классически полупростым кольцом. Всякое классически полупростое кольцо регулярно.. Более того, регулярным оказывается кольцо эндоморфизмов векторного пространства над телом (даже бесконечномерного), а также факторкольцо кольца эндоморфизмов инъективного левого (правого) модуля над любым кольцом по его радикалу Джекобсона (см. [3]). В частности, всякое самоинъективное слева (справа) кольцо с нулевым радикалом Джекобсона регулярно.

Групповое кольцо группы G над Р. к. регулярно тогда и только тогда, когда любая конечно порожденная подгруппа в Gконечна и порядок каждой из таких подгрупп обратим в исходном Р. к. (см. [3]). Кольца эндоморфизмов всех свободных левых R-модулей регулярны в том и только в том случае, когда R классически полупросто [6]. Счетно порожденные односторонние идеалы Р. к. проективны [8].

Если Rесть Р. к., то конечно порожденные подмодули левого R-модуля Rⁿ n -мерных строк над R образуют дедекиндову решетку Lс дополнениями, являющуюся подрешеткой решетки всех подмодулей модуля Rⁿ. Решетка Lсодержит о д н о р о д н ы й б а з и с a₁,..., a_n, то есть эти элементы независимы (см. Де-декиндова решетка), их сумма равна наибольшему элементу из L(а именно, Rⁿ) и любые а _i, и а _j п е р с п е к т и в н ы, что означает существование для них общего дополнения. Наоборот, всякая дедекиндова решетка с дополнениями, обладающая однородным базисом, содержащим не менее четырех элементов, изоморфна решетке Lдля подходящего Р. к. R. Решетка Lизоморфна решетке главных левых идеалов кольца всех матриц над R (см. [4], [10]).

Важный частный случай Р. к.- с т р о г о р е г ул я р н о е к о л ь ц о, в к-ром, по определению, разрешимо уравнение . Равносильны следующие свойства Р. к. R: а) R строго регулярно; б) R не содержит ненулевых нильпотентных элементов; в) все идемпотенты кольца R центральны; г) каждый левый (или каждый правый) идеал кольца R является двусторонним; д) решетка главных левых (правых) идеалов кольца R дистрибутивна; е) мультипликативная полугруппа кольца R является инверсной полугруппой (см, [7], [8]).

Другой подкласс класса Р. к. образуют u-регулярные кольца, где, по определению, уравнение имеет в качестве решения обратимый элемент. В классе Р. к. u-регулярные кольца характеризуются транзитивностью перспективности в решетке конечно порожденных подмодулей суммы двух экземпляров основного кольца, а также возможностью сокращать прямую сумму на конечно порожденный проективный модуль (см. [4], [8]).

Р. к. наз. н е п р е р ы в н ы м с л е в а, если непрерывна решетка его главных левых идеалов. Непрерывное Р. к. u-регулярно и разлагается в прямую сумму строго Р. к. и самоинъективного кольца. На Р. к. может быть определена псевдоранг-функция, являющаяся аналогом меры на булевой алгебре. Она определяет псевдометрику. Пополнение Р. к. по этой метрике оказывается самоинъективным Р. к. (см. [8]).

Р. к. являются частным случаем p-р е г у л я р н ы х к о л е ц, в к-рых, по определению, для каждого элемента анайдутся элемент хи натуральное число птакие, что

Как двусторонний аналог Р. к. можно рассматривать б и р е г у л я р н ы е к о л ь ц а, в к-рых, по определению, каждый главный двусторонний идеал порождается центральным идемпотентом. Каждый двусторонний идеал бирегулярного кольца является пересечением его максимальных двусторонних идеалов. Всякое бирегулярное кольцо с единицей изоморфно кольцу глобальных сечений с бикомпактными носителями пучка простых колец с единицей над бикомпактным вполне несвязным хаусдорфовым топологич. пространством, п всякое такое кольцо глобальных сечений бирегулярно (см. [2]). В коммутативном случае классы бирегулярных, строго Р. к. и Р. к. совпадают, и простые кольца в последней теореме заменяются полями.

Близки к Р. к. б э р о в с к и е к о л ь ц а, определяемые тем условием, что каждый левый (или, что при наличии единицы равносильно, каждый правый) аннулятор порождается идемпотентом. Примерами бэ-ровских колец служат кольцо эндоморфизмов векторного пространства над телом и кольцо ограниченных операторов гильбертова пространства. Бэровское кольцо наз. а б е л е в ы м, если все его идемпотенты центральны, и к о н е ч н ы м (п о Д е д е к и н д у), если xy=l влечет за собой ух=1. Идемпотент ебэровского кольца Rназ. а б е л е в ы м (к о н е ч н ы м), если кольцо еRе абелево (конечно по Дедекинду). Различаются следующие типы бэровских колец: - конечные кольца, содержащие абелев идемпотент, не принадлежащий никакому собственному прямому слагаемому; - бесконечные по Дедекинду (т. е. не содержащие ненулевых конечных центральных идемпотентов) кольца, содержащие абелев идемпотент, не принадлежащий никакому собственному прямому слагаемому; (или ) - конечные по Дедекинду кольца без ненулевых абелевых идемпотентов, содержащие конечный идемпотент, не принадлежащий никакому собственному прямому слагаемому; - бесконечные по Дедекинду кольца с условием, указанным в ; - кольца без ненулевых конечных идемпотентов. Каждое бэровское кольцо единственным способом разлагается в прямую сумму колец перечисленных типов (см. [9]).

Р. к. были введены для координатизации непрерывных геометрий, бирегулярные - в связи с исследованием функциональных представлений колец, бэровские (и риккатовы) - при исследовании колец операторов.

Рассматривались неассоциативные Р. к. См. также

*-регулярное кольцо, риккартово кольцо.

Лит.:[1] Б у р б а к и Н., Коммутативная алгебра, пер. с франц., М., 1971; [2] Д а у н с Д ж., Г о ф м а н К., "Математика", 1968, т. 12, № 4, с. 3--24; [3]Л а м б е к Н., Кольца и модули, пер. с англ., М., 1971; [41 С к о р н я к о в Л. А., Дедекиндовы структуры с дополнениями и регулярные кольца, М., 1961; [5] Ф е й с К., Алгебра: кольца, модули и категории, пер. с англ., т. 1-2, М., 1977-79; [6] Цукерман Г. М., "Сиб. матем. ж.", 1966, т. 7, № 5, с. 1161-67; [7] Ш а й н Б. М., "Изв. ВУЗов. Математика", 1966, № 2, с. 111-22; [8] G о о d е а r 1 К. R., Von Neumann regular rings, L.- [a. o.], 1979; [9] К а р l a n s k y] I., Rings of operators, N. Y.- Amst., 1968; [10] N e u m a n n J., Continuous geometry, Princeton, 1960.

Л. А. Скорняков.

*-РЕГУЛЯРНОЕ КОЛЬЦО - регулярное кольцо, допускающее инволюционный антиавтоморфизм такой, что влечет за собой a=0. Идемпотент еил *-Р. к. наз. п р о е к ц и е й, если . Каждый левый (правый) идеал *-Р. к. порождается однозначно определенной проекцией. Поэтому можно говорить о решетке проекций *-Р. к. Если эта решетка полна, то она является непрерывной геометрией. Дедекиндова решетка с дополнениями, обладающая однородным базисом a₁,..., а _n, где (см. Регулярное кольцо), является решеткой с ортодополнениями тогда и только тогда, когда она изоморфна решетке проекций нек-рого *-Р. к.