«открытое отображение»

open mapping

- отображение одного топологич. пространства в другое, при к-ром образ каждого открытого множества открыт.

Проектирование топологич. произведении на сомножители - О, о. Открытость отображения можно толковать как вид непрерывности обратного к нему многозначного отображения. Взаимно однозначное непрерывное О. о. на - гомеоморфизм. В общей топологии О. О. применяются при классификации пространств. Важен вопрос о поведении топологич. инвариантов при не прерывных О. о. Все пространства с первой аксиомой счетности и только они являются образами метрич. пространств при непрерывных 0. о. Метризуемое пространство, являющееся образом полного метрич. пространства при непрерывном О. о., метризуемо полной метрикой. Если паракомпакт является образом полного метрич. пространства при непрерывном О. о., то он метризуем. Счетнократное непрерывное О. о. компактов не повышает размерности. Но трехмерный куб можно непрерывно и открыто отобразить на куб любой большей размерности. Каждый бикомпакт является образом некоего одномерного бикомпакта при непрерывном О. о. с нульмерными прообразами точек.

Самостоятельное значение имеют непрерывные О. о., при к-рых прообразы всех точек бикомпактны,- т. н. открытые бикомпактные отображения. Пространства с равномерной базой и только они являются образами метрич. пространств при бикомпактных О. о. Важны замкнутые непрерывные О. о. Таковы все непрерывные О. о. бикомпактов в хаусдор-фовы пространства. Непрерывные замкнутые О. о. сохраняют метризуемость. О. о. с дискретными прообразами точек играют существенную роль в теории функций одного комплексного переменного: таковы все голоморфные в области функции. Теорема об открытости голоморфных функций играет центральную роль при доказательстве принципа максимума модуля, при доказательстве фундаментальной теоремы о существовании корня у произвольного непостоянного многочлена над полем комплексных чисел.

Лит.:[1] Куратовский К., Топология, [пер. с англ.], т. 1-2, М., 1966-69; [2] Келдыш Л. В., в кн.: Тр. 3 Всесоюзного математического съезда, т. 3, М., 1958, с. 368-72; [3] Стоилов С., Теория функций комплексного переменного, пер. с рум., т. 1, М., 1962. А. В. Архангельский.

теорема об открытом отображений: линейный непрерывный оператор А, отображающий банахово пространство Xна все банахово пространство У, является открытым отображением, т. е. A(G).открыто в Yдля любого G, открытого в X; доказана С. Банахом (S. Banach). В частности, непрерывный линейный оператор А, отображающий взаимно однозначно банахово пространство Xна банахово пространство Y, является гомеоморфизмом, т. <е. А ^-1- также линейный непрерывный оператор (теорема Банаха о гомеоморфизме).

Условиям теоремы об О. о. удовлетворяет, например, всякий ненулевой линейный непрерывный функционал, определенный на вещественном (комплексном) банаховом пространстве Xсо значениями в R (в С).

Теорема об О. о. допускает следующее обобщение: непрерывный линейный оператор, отображающий совершенно полное тонологич. векторное пространство Xна бочечное пространство Y, есть открытое отображение. К теореме об О. о. примыкает теорема о замкнутом графике (см. Замкнутый график, теорема о замкнутом графике).

Лит.:[1] Иосида К., Функциональный анализ, пер. с англ., М., 1967; [2] Робертсон А. <П., Робортсон В. Дж., Топологические векторные пространства, пер. с англ., М., 1967. В. И. Соболев.