«групповая алгебра»

мат. group algebra

группы G над полем K - ассоциативная алгебра над полем К, элементами к-рой являются всевозможные формальные конечные суммы вида

а операции определяются формулами:

(в правой части второй формулы сумма также конечна). Эта алгебра обозначается KG;элементы группы Gобразуют базис алгебры KG;умножение базисных элементов в Г. а. индуцируется групповым умножением. Алгебра KG изоморфна алгебре функций, определяемых на группе Gсо значениями в поле Ки принимающих лишь конечное число ненулевых значений; умножение в этой алгебре - свертка функций.

Эту же конструкцию можно рассмотреть и для случая, когда K - ассоциативное кольцо. Таким образом приходят к понятию группового кольца группы G над кольцом K; в случае, когда Ккоммутативно и с единицей, групповое кольцо наз. часто также групповой алгеброй группы над кольцом.

Г. а. были введены Г. Фробениусом (G. Frobenius) и И. Шуром [1] в связи с изучением представлений групп, поскольку рассмотрение представлений группы Gнад полем K равносильно изучению модулей над Г. a. KG. Так, теорема Машке на языке групповых алгебр формулируется следующим образом: если G - конечная группа, а K - поле, то Г. a. KG полупроста тогда н только тогда, когда порядок группы G не делится на характеристику поля K.

В начале 50-х гг. 20 в. появились исследования по Г. а. бесконечных групп в связи с применением целочисленных Г. а. в алгебраич. топологии, а также с использованием методов теории Г. а. при изучении строения группы. Этому способствовал также ряд проблем, поставленных для Г. а., наиболее известная из них: содержит ли делители нуля Г. а. группы без кручения? (проблема Капланского).

Некоторые направления исследований по групповым кольцам н алгебрам.

Радикал и полупростота.

Групповое кольцо обладает ненулевым нилыютентным идеалом тогда и только тогда, когда либо Кимеет ненулевой нилыютентный идеал, либо порядок нек-рой конечной

нормальной подгруппы из Gделится на порядок элемента из аддитивной группы кольца К. Если К - кольцо без нильидеалов и порядок любого элемента из G не делится иа порядок ни одного элемента из аддитивной группы К, то KG без нпльидеалов. Г. a. KG над полем характеристики 0 полупроста в смысле Джекобсона радикала, если Ксодержит трансцендентный элемент над полем рациональных чисел.

Вложение Г. а. в тела. Г. а. упорядоченной группы вложима в тело (теорема Мальцева - Неймана). Существует предположение, что это же верно для Г. а. всякой правоупорядоченной группы.

Связь теоретико-кольцевых свойств группового кольца КG со строением группы G и кольца К. Напр., КG первично тогда н только тогда, когда кольцо Кпервично и группа G не имеет конечных нормальных подгрупп.

Проблема изоморфизма: если групповые кольца КG и КН изоморфны как К-алгебры, то какая связь существует между строением групп G и К, в частности, когда G и Н изоморфны? Выяснилось, что однозначно определяет группу групповое кольцо периодической разрешимой группы класса 2 над кольцом целых чисел и групповое кольцо счетной абелевой р-группы над кольцом характеристики р.

Рассматривались различные обобщения понятия Г. а., напр, понятие скрещенного произведения группы и кольца, для к-рого остаются справедливыми многие свойства Г. а.

Лит.:[1] Schur I., "Sitzber. Preuss. Akad. Wiss.", 1905,8. 406-32; [2] Кэртис Ч., Райнер И., Теория представлений конечных групп и ассоциативных алгебр, пер. с англ., М., 1969; [3] Passman D. S., Infinite group rings, N. Y., 1971; [4] Современные проблемы математики, т. 2, М., 1973, с. 5-118; [5] Бовди А. А., Групповые кольца, Ужгород, 1974; см. также лит. при статье Представления групп.

А. А. Бовди.

локально бикомпактной группы - топологическая алгебра с инволюцией, образованная функциями на группе и такая, что в ней умножение определяется как свертка. Пусть банахово пространство построено с помощью левоинвариантной Хаара меры. на локально бикомпактной топологич. группе G н пусть в умножение определяется как свертка а инволюция - по формуле , где - модуль группы G. Полученная банахова алгебра с инволюцией наз. групповой алгеброй группы G и обозначается также через . Если G - конечная группа, то определение Г. а. совпадает с обычным алгебраич. определением Г. а. над полем комплексных чисел.

Понятие Г. а. позволяет применять общие методы теории банаховых алгебр в задачах теории групп и, в частности, в абстрактном гармонич. анализе. Свойства Г. а. как банаховой алгебры отражают свойства топологич. группы: так, Г. а. содержит единичный элемент тогда и только тогда, когда группа дискретна; Г. а. является прямой суммой (топологической) своих конечномерных минимальных двусторонних идеалов тогда н только тогда, когда группа бикомпактна. Исключительно важную роль играет понятие Г. а. в теории унитарных представлений группы: между непрерывными унитарными представлениями топологич. группы G и невырожденными симметричными представлениями Г. а. существует взаимно однозначное соответствие, сопоставляющее непрерывному унитарному представлению p группы G в гильбертовом пространстве Нпредставление Г. а. , определяемое формулой

Г. а. локально бикомпактных групп обладают рядом общих свойств. Именно, любая Г. а. содержит аппроксимативную единицу (см. Банахова алгебра), образованную семейством характеристпч. функций окрестностей единичного элемента, упорядоченных по включению (ь сторону убывания); поэтому для Г. а. можно установить соответствие между положительными функционалами на Г. а. н ее симметричными представлениями. Любая Г. а. является полупростой алгеброй и имеет симметричное точное представление. В частности, представление Г. а., определяемое регулярным представлением группы, является точным. Замкнутые левые идеалы суть замкнутые векторные подпространства , инвариантные относительно левого сдвига.

Иногда групповой алгеброй наз. банахова алгебра с инволюцией, полученная из Г. а. присоединением единицы. Существует ряд других алгебр с инволюцией, к-рые иногда наз. групповыми алгебрами. К их числу относятся, в частности: алгебра мер относительно свертки; алгебры относительно обычного умножения, напр, алгебра существенно ограниченных измеримых по мере Хаара функций, алгебра комплексных линейных комбинаций непрерывных положительно определенных функций. Множество и совокупность непрерывных финитных функций образуют алгебру и относительно свертки, и относительно обычного умножения. Имеет место следующая таблица, в к-рой стрелки означают включения:

Лит.:[1] Наймарк М. А., Нормированное кольца 2 изд., М.. 1968; [2] Guichardet A., Analyse harmonique commutative, P., 1968. А. И. Штерн.