«Площадь»

часть поверхности, ограниченная каким-либо замкнутым контуром. Величина П. выражается числом заключающихся в ней квадратных единиц. Вычисление П. производится с помощью приемов, излагаемых в геометрии и приложения интегрального исчисления к геометрии.

А. Выражения величин П. правильных многоугольников, в которых а означает длину стороны, R — длину радиуса описанного круга, r — длину радиуса вписанного круга.

В. П. треугольника выражается различным образом: половиною произведения из основания на высоту, или половиною произведения сторон на синус угла между ними, или так:

,

где а, b, с суть длины сторон, р — длина полупериметра, равная половине a + b + с. Если взять одну из вершин за начало координат и означить через х₁, у₁, координаты другой вершины, через x₂, у₂координаты третьей, то величина П. может быть выражена половиною разности (х₁у₂— x₂у₁).

П. всякого четырехугольника равняется сумме П. двух треугольников, на которые он может быть разбит одною из диагоналей.

П. трапеции равняется половине произведения высоты ее на сумму параллельных сторон.

С. П. круга радиуса R равна πR². П. сектора равна половине произведения радиуса круга на длину дуги. П. плоского кольца, заключающегося между кругами радиусов R и r, выражается так: π(R²—r²). П. части параболы у²= 2рх от вершины до сечения, перпендикулярного к оси при абсциссе x выражается так:²/₃xy = (¹/₃y³)/p.

П. эллипса, длины полуосей которого а и b, равняется πab.

П. циклоиды, описанной точкою на катящейся окружности радиуса R, равна 3πR².

D. Поверхность шара 4πR². Сферического двусторонника на шаре радиуса R и с углами величины A при вершинах: 2AR²(угол измеряется отношением длины дуги к радиусу). Сферического треугольника на шаре того же радиуса с углами А, B, C при вершинах: (A + B + C — π)R².

Боковая поверхность кругового цилиндра высоты h, причем радиус круга основания есть R, равна 2πRh. Полная поверхность цилиндра равна 2πR(R + h).

Полная поверхность прямого кругового конуса высоты h, радиус основания R, равна

Величина поверхности кругового кольца, если r есть радиус круга меридионального сечения, a R — радиус круга, образуемого центрами сечений, выражается формулою: 4π²Rr.

По правилу Гюльдена, величина поверхности вращения, образуемой линией длины l, находящейся в плоскости меридионального сечения, равняется 2πr₀l, если r₀есть расстояние центра тяжести этой линии от оси вращения.

Величины полных поверхностей эллипсоидов. Эллипсоида вращения планетарного (полуось экваториальная а, полуось вращения с; c<>a)

,

где логарифм натуральный.

Эллипсоида вращения удлиненного (полуось экваториальная b, полуось вращения a; а >b)

.

Эллипсоида о трех неравных главных полуосях (а >b >с)

F(λ,k) и E(λ,k) суть эллиптические интегралы первого и второго вида:

которые могут быть вычислены по таблицам Лежандра, а также по таблицам, приводимым в других сочинениях, например, у Bertrand: "Calcul integral".

Д. Б.

I

Пло́щадь

одна из основных величин, связанных с геометрическими фигурами. В простейших случаях измеряется числом заполняющих плоскую фигуру единичных квадратов, т. е. квадратов со стороной, равной единице длины.

Вычисление П. было уже в древности одной из важнейших задач практической геометрии (разбивка земельных участков). За несколько столетий до нашей эры греческие учёные располагали точными правилами вычисления П., которые в «Началах» Евклида (См. Начала Евклида) облечены в форму теорем. При этом П. многоугольников определялись теми же приёмами разложения и дополнения фигур, какие сохранились в школьном преподавании. Для вычисления П. фигур с криволинейным контуром применялся предельный переход в форме Исчерпывания метода.

Теория П. плоских фигур, ограниченных простыми (т. е. не пересекающими себя) контурами, может быть построена следующим образом. Рассматриваются всевозможные многоугольники, вписанные в фигуру F, и всевозможные многоугольники, описанные вокруг фигуры F.(Вычисление П. многоугольника сводится к вычислению П. равновеликого ему квадрата, который может быть получен посредством надлежащих прямолинейных разрезов и перекладывания полученных частей.) Пусть {S_i} — числовое множество П. вписанных в фигуру многоугольников, a {S_d} — числовое множество П. описанных вокруг фигуры многоугольников. Множество {S_i} ограничено сверху (площадью любого описанного многоугольника), а множество {S_d} ограничено снизу (например, числом нуль). Наименьшее из чисел , ограничивающее сверху множество {S_i}, называется нижней площадью фигуры F, а наибольшее из чисел {S_d}, называется верхней площадью фигуры F. Если верхняя П. фигуры совпадает с её нижней П., то число S = S_d—S_i площадей которых была бы меньше ε.

Аналитически П. плоской фигуры может быть вычислена с помощью интегралов. Пусть фигура F —т. н. криволинейная трапеция (рис. 1) — ограничена графиком заданной на сегменте [a, b] непрерывной и неотрицательной функции f(x), отрезками прямых х=а и х=b и отрезком оси Oxмежду точками (а, 0) и (b, 0). П. такой фигуры может быть выражена интегралом

П. фигуры, ограниченной замкнутым контуром, который встречается с параллелью к оси Оу не более чем в двух точках, может быть вычислена как разность П. двух фигур, подобных криволинейной трапеции. П. фигуры может быть выражена в виде двойного интеграла:

где интегрирование распространяется на часть плоскости, занятой фигурой.

Теория П. фигур, расположенных на кривой поверхности, может быть определена следующим образом. Пусть F —односвязная фигура на гладкой поверхности, ограниченная кусочно гладким контуром. Фигура F разбивается кусочно гладкими кривыми на конечное число частей Ф_i, каждая из которых однозначно проектируется на касательную плоскость, проходящую через точку M_i, принадлежащую части Ф_i, (рис. 2). Предел сумм площадей этих проекций (если он существует), взятых по всем элементам разбиения, при условиях, что максимум диаметров этих элементов стремится к нулю и что он не зависит от выбора точек M_i, называется площадью фигуры F. Фигура на поверхности, для которой этот предел существует, называется квадрируемой. Квадрируемыми являются кусочно гладкие ограниченные полные двусторонние поверхности. П. всей поверхности слагается из П. составляющих её частей.

Аналитически П. фигуры F на поверхности, заданной уравнением z = f(x, у), где функция f однозначна и имеет непрерывные частные производные, может быть выражена следующим образом

Здесь G — замкнутая область, являющаяся проекцией фигуры F на плоскость Оху, ds — элемент площади на поверхности.

Об обобщении понятия П. см. Мера множеств (См. Мера множества).

Лит.: Фихтенгольц Г. М., Курс дифференциального и интегрального исчисления, 7 изд., т. 2, М., 1969; Кудрявцев Л. Д., Математический анализ, т. 1—2, М., 1970; Ильин В. А., Позняк Э. Г., Основы математического анализа, 3 изд., ч. 1—2, М., 1971—73.

Рис. 1 к ст. Площадь.

Рис. 2 к ст. Площадь.

Пло́щадь

открытое, архитектурно организованное, обрамленное какими-либо зданиями, сооружениями или зелёными насаждениями пространство, входящее в систему других городских пространств. Предшественниками городских П. были парадные дворы дворцовых и храмовых комплексов Крита, Египта, Вавилонии, Ассирии. Их прямоугольный план и периметрическую застройку унаследовали древнегреческие агоры (См. Агора) и древнеримские Форумы. Столь же замкнутый характер (при почти всегда нерегулярном плане) имели П. европейских городов 12—14 вв.; главные П. были торговые П. В эпоху Возрождения создавались обычно П. с очертаниями в виде правильной геометрической фигуры (прямоугольник, трапеция); большое значение приобрели П. для гражданских собраний со зданием городского управления и лоджией (См. Лоджия)для заседаний патрициата. Барокко вводит в практику градостроительства круглые, многоугольные и сложных очертаний П.

Большую общественную и градостроительную роль играли кремлёвские, торговые, соборные П. в русских средневековых городах. В 18 в. получили широкое распространение П. с открытой пространственной композицией. Выдающиеся образцы П. различного назначения были созданы архитекторами русского классицизма в последней трети 18 — 1-й трети 19 вв.

В современном градостроительстве городские П. делятся на два типа: транспортные и пешеходные. Транспортные П. выполняют функции узлов движения городского транспорта; П. с большой интенсивностью движения иногда сооружают в нескольких ярусах (на поверхности земли, подземные, надземные) для развязки движения транспорта в разных уровнях. Транспортные П. часто имеют конкретное специализированное назначение: например, вокзальные П. (на которых должны быть разделены потоки пассажиров, направляющихся на посадку и прибывающих), П. с обширными стоянками автомобилей перед крупными заводами, стадионами, зрелищными и выставочными сооружениями (на таких П. должны быть разделены потоки людей, направляющихся на работу или в зрелищные учреждения, и потоки людей, возвращающихся обратно). П., предназначенные преимущественно для движения пешеходов, также могут иметь специализированное назначение: главные П. — парадный и представительный центр города, театральные, торговые, мемориальные (в честь больших исторических событий, выдающихся государственных деятелей, учёных, мастеров искусства). Такие П., в композицию которых зачастую включаются произведения монументальной скульптуры и живописи, иногда являются выдающимися архитектурными ансамблями и в значительной мере определяют облик населённых мест. Главные П. или системы главных П., являющиеся ядром центра города, обычно имеют большие размеры и наиболее впечатляющую, монументальную застройку (например, здания общегосударственных и городских учреждений); здесь проводятся парады, праздничные демонстрации, митинги, народные гуляния. В современном градостроительстве вблизи парадных, главных П., на которых размещены здания, привлекающие значительное число работающих, зрителей, посетителей и пр., размещают специальные транспортные П. для временной стоянки автомобилей. П. различного назначения могут иметь озеленение в центральной части (преимущественно партерное; см. Партер) или по периметру, либо смешанное. В садово-парковых П. партерная часть обычно сочетается с деревьями и кустарниками, кронам которых стрижкой придают определённую геометрическую форму, или с естественными куртинами зелёных массивов, обрамляющих П. См. также статьи Градостроительство, Дворцовая площадь, Искусств площадь, Красная площадь, Марсово поле, Островского площадь.

Лит.: Брикман А. Э., Площадь и монумент как проблема художественной формы, М., 1935; Бунин А. В., История градостроительного искусства, т. 1, М., 1953; Баранов Н. В., Композиция центра города, [М., 1964]; Основы советского градостроительства, т. 2, 4, М., 1967—69.

Н. В. Баранов.

Площадь св. Петра в Риме. 1657—63. Архитектор Л. Бернини. План.

Ансамбль площади Островского и улицы зодчего Росси в Ленинграде. 1816—34. Архитектор К. И. Росси. План.

Н. де Шатийон. Королевская площадь (ныне площадь Вогезов) в Париже. 1606—2 (фрагмент из плана Тюрго. 1734—39). Обстроена зданиями с одинаковыми фасадами. В центре монумент Людовика XIII.

Планы площадей в городах Западной Европы в 16—19 вв. 1. Пьяцца делла Синьория во Флоренции: а — Палаццо делла Синьория (начато в 1298); б — улица Уффици (1560—1585); в — Лоджия деи Ланци (около 1376—80); г — статуя «Давид» (1501—04); д — фонтан Нептуна (1575). 2. Пьяцца Сан—Марко и Пьяццетта в Венеции: а — собор Сан—Марко (829—832, перестроен в 1073—95); б — Дворец дожей (строился с 9 в.); в — Старая библиотека Сан—Марко (1536—54, окончена в 1583); г — кампанила (888—1517); д — Старые Прокурации (1480 и 1511—14); е — Новые Прокурации (1584—1611 и 1640); ж — колонны из гранитных монолитов, привезённых в 1127 из Египта. 3. Пьяцца Санта—Мария делла Паче в Риме. Середина 17 в. Архитектор Пьетро да Кортона (1 — церковь Санта—Мария делла Паче, 1480-е гг.).

Планы площадей в городах Западной Европы в 16—19 вв. 4. Пьяцца дель Пополо в Риме: 1—1 — улица Виа дель Корсо (восходит к античному периоду); 2—2 — улица Виа дель Бабуино (проложена в 1534—49); 3—3 — улица Виа ди Рипетта (пробита в 1513—21); 4 — обелиск (1589); 5 — церковь Санта-Мария деи Мираколи (1662); 6 — церковь Санта—Мария ин Монте Санто (1662); 7 — рампы (1816—20); 8 — терраса Пинчо (1816—20). 5. Королевская площадь (ныне площадь Биржи) в Бордо. 1728. Архитекторы Ж. Габриель и Ж. А. Габриель (1 — набережная; 2 — монумент Людовика XV)

1. пло́щадь;
2. пло́щади;
3. пло́щади;
4. площаде́й;
5. пло́щади;
6. площадя́м;
7. пло́щадь;
8. пло́щади;
9. пло́щадью;
10. площадя́ми;
11. пло́щади;
12. площадя́х.

жен. ровное место. Европейская Россия одна площадь, особенно южная. Гора будто срезана, вершина площадью. Лес на площади растет, на плоскости, а не в горах. Площадь в городах или селеньях, незастроенный простор, шире улиц, майдан. Площадь торговая, базарная, сенная, дровяная, конная. Памятник Петру на Исакиевской площади. Площадь в лесу, чисть, прогалина. Площадь в горах, плоскогорье. Площадь в острове, лесная, охот. сплошной лес.

| Площадь, орл. сплошной кустарник или заросли, кустовой сплошняк. Дьяк у места, что кот у теста; а как дьяк на площади, так Господи пощади! о торговой казни. Доходы с площади, с лавок и с весов, а встарь и с возов, и с товаров. Топтать площадь, шататься без дела.

| геом. ограниченная чертами плоскость или поверхность. Площадь треугольника равна основанью, помноженному на половину высоты. Площадка, площадочка, умалит. Собачья площадка, в Москве, где торговали собаками.

| Возвышенное, плоское и ровное место. Лобное место, лобная площадка, в Москве, откуда читались народу грамоты и указы. Площадка на лестнице, у подъезда.

| ·стар. плошка, латка, ендова.

| архан. плашка, огниво, кресало, кресево;

| пенз. название красной вишни, в отличие от черной, называемой владимирскою (Наумов). Площадной, площадковый, площадочный, ко площади, площадке относящийся. Площадные лавочки, торгаши. Площадной шут, балаганный, грубый, пошлый.

| Вообще, все пошлое, непристойное, что говорится площадными торговками, в черном народе. Площадная брань. Площадные шутки, остроты. Площадная речь, что виноватого надо сечь. Площадной дьячок, подьячий, - писчик, ·стар. приказные служители, стоявшие на площадях, для писанья челобитень, частных сделок, писем; народный писец. Речи ее почти всегда площадноваты. Площадчатый, из площадок составленный. Площаддник, площадница, площадной, пошлый и грубый человек. Площить что, пластить, плющить, раскатывать в лист или в тесьму. Плющить бить. Площиться, страд. Площенье ср. действие по гл. Площильный стан, или площильня жен. Площильщик и волочильщик, кто тянет проволоку и площит ее. Площица жен. плоскуша, тельная вошь, которая впивается.

ПЛО́ЩАДЬ, -и, мн. -и, -ей, жен.

1. Величина чего-н. в длину и ширину, измеряемая в квадратных единицах. П. треугольника. П. участка.

2. Незастроенное большое и ровное место (в городе, селе), от к-рого обычно расходятся в разные стороны улицы. Красная п. в Москве.

3. Пространство, помещение, предназначенное для какой-н. цели. Посевная п. Полезная п. в доме.

4. То же, что жилая площадь (разг.).

| прил. площадной, -ая, -ое (к 1 и 2 знач.).

-и, род. мн. -е́й, ж.

1.

Большое незастроенное место в пределах города или села.

Красная площадь в Москве. Привокзальная площадь.

□

И он по площади пустой Бежит и слышит за собой — Как будто грома грохотанье. Пушкин, Медный всадник.

Из дальних кварталов, с дальних площадей и улиц несется возрастающий вой прибывающей толпы. Блок, Король на площади.

2. мат.

Часть плоскости, ограниченная замкнутой ломаной или кривой линией.

Площадь круга. Площадь ромба.

3.

Пространство земли, предназначенное для чего-л. или занимаемое чем-л.

Посевные площади.

□

Эти заводы — числом десять — занимают собой площадь в шестьсот тысяч десятин. Мамин-Сибиряк, Сестры.

[Астров (показывая на картограмме):] Темно- и светло-зеленая краска означает леса; половина всей площади занята лесом. Чехов, Дядя Ваня.

4.

Помещение, предназначенное для какой-л. цели и обычно измеряемое в квадратных метрах поверхности пола.

Жилая площадь.

□

В течение своей двадцатилетней жизни Литературно-художественный кружок несколько раз менял свое помещение, чтобы расширить площадь. Телешов, Записки писателя.

|| разг.

Помещение для жилья.

Он был намерен переселиться на юг и охотно поменялся бы площадью. Павленко, Осенняя заря.

ПЛО́ЩАДЬ, площади, пред. о площади и (устар.) на площади, мн. и площадей, жен. (книжн.).

1. Часть плоскости, ограниченная ломаной или кривой линией (геом.). Площадь прямоугольника. Площадь криволинейной фигуры.

2. только ед. Пространство, поверхность, естественно ограниченная или специально выделенная, отделенная для какой-нибудь цели. Количество эксплоатируемой, полезной площади.

|| Помещение, обычно измеряемое в квадратных метрах поверхности пола. Жилая площадь. Площадь дома.

|| Пространство земли, занимаемое чем-нибудь. Площадь посева. Культурная площадь (см. культурный). Расширение посевной площади. Лесная площадь.

3. Большое, ровное и незаостренное место в пределах города или села. Базарная площадь. Красная площадь в Москве. «Внизу народ на площади кипел.» Пушкин. «Там Минин и Пожарский торжественно стоят на площади.» Некрасов.

ж.

1.

Часть земной поверхности, пространство, естественно ограниченное или специально выделенное для какой-либо цели.

отт. Водное пространство.

отт. Большое, ровное место, пространство.

2.

Ровное незастроенное пространство общественного назначения, обычно архитектурно организованное (в городе, поселке и т.п.), от которого в разные стороны расходятся улицы.

3.

то же, что жилплощадь

4.

Часть плоскости, заключенной внутри многоугольника или какой-либо другой плоской замкнутой фигуры.

отт. Размер чего-либо, выражаемый в квадратных единицах.

ПЛОЩАДЬ - одна из количественных характеристик плоских геометрических фигур и поверхностей. Площадь прямоугольника равна произведению длин двух смежных сторон. Площадь ступенчатой фигуры (т. е. такой, которую можно разбить на нескольких примыкающих друг к другу прямоугольников) равна сумме площади составляющих ее прямоугольников. Площадь любой плоской фигуры определяется как общий предел вписанных в нее или описанных около нее ступенчатых фигур. Для неплоских фигур (поверхностей) площадь определяют путем приближения их фигурами, состоящими из частей плоскости.

ПЛОЩАДЬ - открытое, обрамленное какими-либо зданиями или зелеными насаждениями пространство, входящее в систему других городских пространств; нередко играет важную градостроительную роль. Среди наиболее известных площадей - Красная пл. в Москве, Дворцовая пл. в Санкт-Петербурге, пл. де Голля (б. пл. Звезды) в Париже.

ПЛОЩАДЬ, мера части поверхности, занимаемой фигурой. Единицей измерения служит площадь единичного квадрата. Измерение площади приближенно осуществляется заполнением фигуры единичными квадратами.

Архитектурно организованная, незастроенная часть территории населенного пункта, органично включенная в уличную сеть.Источник: Словарь архитектурно-строительных терминов

пло́щадь ж., др.-русск. площадь, цслав. площадь πλατεῖα. Из *ploskědь: пло́ский.
•
• [Иначе см. Пизани, Этимология, М., 1956, стр. 167 и сл. – Т.]

жен. square;
area мат. тж. полезная жилая площадь ≈ actual living space жилая площадь ≈ living space;
floorspace ярмарочная площадь ≈ fairground посевная площадь ≈ area under crop;
sown area базарная площадь ≈ market-placeж.
1. (пространство;
тж. мат.) area;
~ треугольника area of a triangle;
~ сечения sectional area;
~ в кадре для текста кино lettering area;

2. (в городе и т. п.) square;
базарная ~ market-place;

3. (помещение) space/accommodation;
жилая ~ living space/accommodation;
производственная ~ productive area/space.

area,(напр. здания) floor space, square

f.area, space

площадь ж 1. (часть пространства) Fläche f c полезная площадь Nutzfläche f 2. (в городе и т. п.) Platz m 1a* базарная площадь Marktplatz m 3. мат. Fläche f; Flächeninhalt m 1 (величина поверхности)

ж

1)(часть пространства) Fläche f

полезная площадь — Nutzfläche f

2)(в городе и т.п.) Platz m (умл.)

базарная площадь — Marktplatz m

3)мат. Fläche f; Flächeninhalt m(величина поверхности)

ж.

1)place f (publique)

базарная площадь — place du marché, champ m de foire

2)(пространство, поверхность) surface f, superficie f

жилая площадь — surface habitable

посевная площадь — surface d'ensemencement, superficie d'emblavures, surface emblavée, emblavures f pl

3)surface f, aire f

площадь круга геом. — aire d'un cercle

площадь участка — surface d'un terrain

ж.

1)(в городе и т.п.) plaza f(pública)

база́рная пло́щадь — plaza del mercado, mercado m, plaza f

Кра́сная пло́щадь — Plaza Roja

2)(пространство, поверхность;тж. мат.) superficie f, área f

жила́я пло́щадь — superficie habitable

посевна́я пло́щадь — área de siembra

пло́щадь кру́га — área (superficie) del círculo

ж.

1)piazza, piazzale m

базарная площадь — (piazza del) mercato m

2)superficie, area

площадь круга мат. — superficie / area d'un circolo

посевная площадь — superficie seminata

3)(помещение)

жилая площадь — superficie / area abitabile

полезная площадь — superficie utile

ПЛОЩАДЬ, двумерное измерение плоскости, фигуры или тела (например, страницы книги), выраженное в квадратных единицах, например, см² или м². Площадь прямоугольника со сторонами а и b равняется ab; площади треугольника и других многоугольников определяются методами ТРИГОНОМЕТРИИ. Площади неправильных фигур и поверхностей определяются интегральным ИСЧИСЛЕНИЕМ.

ПЛО́ЩАДЬ -и; мн. род. -де́й, дат. -дя́м; ж.

1. Пространство земли, проектируемое или предназначенное для каких-л. целей. Пахотная п. Завод расположен на большой площади.

2. Незастроенное, обрамлённое какими-л. зданиями, зелёными насаждениями место в пределах города или села, составляющее часть городского, сельского пространства. Красная п. в Москве. Дворцовая п. в Петербурге. Театральная п. Базарная п.

3. Помещение, предназначенное для какой-л. цели и обычно измеряемое в квадратных метрах поверхности пола. Жилая п. Расширить п. Выгадать в площади при обмене. Общая жилая п.; полезная п. жилья. Платить за излишки площади. Минимальная п. на человека для постановки на городскую очередь. // Разг. Помещение для жилья. Прописать на своей площади. Менять коммуналку на бо́льшую п. Въехать на ме́ньшую п.

4. Одна из количественных характеристик плоских геометрических фигур и плоскостей. П. треугольника. П. круга. // Площадь, занимаемая чем-л. П. страницы. П. грудной клетки на рентгеновском снимке.

◁ Площа́дочка, -и; мн. род. -чек, дат. -чкам; ж. Уменьш. и ирон.

* * *

I

одна из количественных характеристик плоских геометрических фигур и поверхностей. Площадь прямоугольника равна произведению длин двух смежных сторон. Площадь ступенчатой фигуры (то есть такой, которую можно разбить на несколько примыкающих друг к другу прямоугольников) равна сумме площадей составляющих её прямоугольников. Площадь любой плоской фигуры определяется как общий предел площадей вписанных в неё или описанных около неё ступенчатых фигур. Для неплоских фигур (поверхностей) площадь определяют путём приближения их фигурами, состоящими из частей плоскости.

II

открытое, обрамлённое какими-либо зданиями или зелёными насаждениями пространство, входящее в систему других городских пространств; нередко играет важную градостроительную роль. Среди наиболее известных площадей — Красная площадь в Москве, Дворцовая площадь в Санкт-Петербурге, площадь де Голля (бывшая площадь Звезды) в Париже.

- численная характеристика, приписываемая плоским фигурам определенного класса (напр., многоугольникам) и обладающая следующими свойствами: 1) П. неотрицательна; 2) П. аддитивна (в случае многоугольников это означает, что если фигура составлена из фигур Ри Q, не имеющих общих внутренних точек, то пл. () = пл. Р+пл. Q;3) П. сохраняется при перемещениях; 4) П. единичного квадрата равна 1. Термин "П." употребляется также в более широком смысле как численная характеристика, сопоставляемая двумерным поверхностям в трехмерном пространстве; k-мерным поверхностям в n-мерном евклидовом или римановом пространстве; границам множеств и др. объектам, см. ниже.

Площадь плоской фигуры. Исторически П. определялась сначала на классе многоугольников (фигур, допускающих разбиение на конечное число треугольников без общих внутренних точек). Существенно, что на классе многоугольников П. со свойствами 1) - 4) существует и единственна (см. [1], [2]). Одним из следствий свойств 1) - 4) является то, что П. всей фигуры не меньше П. ее части.

В древности существование и единственность П. со свойствами 1) - 4) принимались без ясного описания класса рассматриваемых фигур; внимание сосредоточивалось на приемах вычисления П. Формула для П. прямоугольника, в том числе с иррациональными сторонами, обосновывалась исчерпывания методом. П. треугольника и произвольных многоугольников вычислялась как П. равносоставленного с ними прямоугольника. Доказано, что любые многоугольники равной П. равносоставлены (см. [2]).

Затем был выделен класс квадрируемых (измеримых по Жордану) фигур. Фигура Мна плоскости наз. квадрируемой, если для любого e>0 существуют такие многоугольные фигуры Ри Q, что и (пл. Q - пл. Р)<e. Класс квадрируемых фигур весьма богат. Он включает, в частности, все ограниченные плоские области с кусочно гладкими границами. Но есть и неквадрируемые плоские фигуры. На классе квадрируемых фигур также существует и единственна П. со свойствами 1) - 4) (см. [2]).

Исторически до рассмотрения класса квадрируемых фигур умели вычислять П. нек-рых из них - круга, кругового сектора и сегмента, различного рода лунок, криволинейных трапеций. Эти вычисления обосновывались методом исчерпывания многоугольниками. В ряде случаев для обоснования таких вычислений привлекался Кавальери принцип, состоящий в том, что если две плоские фигуры указанного типа пересекаются каждой прямой, параллельной фиксированной прямой, по отрезкам одинаковой длины, то эти фигуры имеют равную П. Средства интегрального исчисления (см., напр., [3]) дают удобные приемы для вычисления П. любых плоских областей с кусочно гладкими границами. Эти средства обосновывают также принцип Кавальери.

Стремление распространить понятие П. на более общие плоские множества с сохранением свойств 1) - 4) ведет к теории меры, к выделению класса плоских множеств, измеримых по Лебегу. Переход к еще более общим классам множеств на плоскости приводит уже к неединственным мерам со свойствами 1) - 4).

Ориентированная площадь. Если на ориентированной плоскости расположена направленная замкнутая кривая I, быть может с самопересечениями и налеганиями, то для каждой не лежащей на l точки плоскости определена целочисленная функция (положительная, отрицательная или нулевая), наз. степенью точки относительно I. Она показывает сколько раз и в какую сторону контур lобходит данную точку. Интеграл по всей плоскости от этой функции, если он существует, наз. охватываемой lориентированной П. Последняя, в отличие от обычной П., имеет знак. О простейших свойствах ориентируемой П. см. [4].

Площадь поверхности. Проще всего определяется П. многогранных поверхностей: как сумма П. плоских граней. Попытка ввести понятие П. кривых поверхностей как предела П. вписанных многогранных поверхностей (подобно тому, как длина кривой определяется как предел вписанных ломаных) встречает трудность. Даже для весьма простой кривой поверхности П. вписанных в нее многогранников со все более мелкими гранями может иметь разные пределы в зависимости от выбора последовательности многогранников. Это наглядно демонстрирует известный пример Шварца, в к-ром последовательности вписанных многогранников с разными пределами П. строятся для боковой поверхности прямого кругового цилиндра (см. [2]).

Чаще всего П. поверхности определяют для класса кусочно гладких поверхностей с кусочно гладким краем (или без края). Обычно это делают с помощью следующей конструкции. Поверхность разбивают на мелкие части с кусочно гладкими границами: в каждой части выбирают точку, в к-рой существует касательная плоскость, и ортогонально проектируют рассматриваемую часть на касательную плоскость поверхности в выбранной точке; П. полученных плоских проекций суммируют; наконец, переходят к пределу при все более мелких разбиениях (таких, что наибольший из диаметров частей разбиения стремится к нулю). На указанном классе поверхностей этот предел всегда существует, и если поверхность задана параметрически кусочно С ¹ -гладкой функцией r( и, v), где параметры и, v изменяются в области Dна плоскости ( и, v), то площадь Fвыражается двойным интегралом

(1)

где g₁₁=r²_u, g₁₂=r_ur_v g₂₂=r²_v, а r_u и r_v - частные производные по ии v. Доказательство см., напр., в [3], [5]. В частности, если поверхность есть график С ¹ -гладкой функции z=f(x, у).над областью Dна плоскости ( х, у), то

(2)

Здесь , где a - острый угол между нормалью к поверхности и осью Oz. На основе формул (1), (2) выводятся известные формулы для П. сферы и ее частей, обосновываются приемы для вычисления П. поверхностей вращения и т. п.

Для двумерных кусочно гладких поверхностей в римановых многообразиях [6] формула (1) служит определением П., при этом роль g₁₁, g₁₂, g₂₂ играют составляющие метрич. тензора самой поверхности.

Существенно, что уже в случае двумерной поверхности П. приписывается не множеству точек, а отображению двумерного многообразия в пространство и тем отличается от меры. k-м ерная площадь. Для кусочно гладкого погружения k-мерного многообразия (с краем или без края) в n-мерное евклидово пространство, , П. определяют с помощью конструкции, вполне аналогичной описанной выше для кусочно гладких поверхностей. Разница состоит в том, что проектирование ведется на k-мерные касательные плоскости и суммируются k-мерные объемы проекций. Если в области можно ввести координаты и ¹,..., u^k, то площадь F погружения (D, f|_D]выражается интегралом

(3) где g_ij - скалярные произведения . Если k=n-1 и D - область на координатной гиперплоскости (x₁,..., x_n-1), а /допускает явное задание х _n=z(x₁,..., x_n-1), то формула (3) принимает вид

(4)

Если отображение f гладкое, то g_ij- коэффициенты метрич. тензора, индуцированного погружением, и из (3) следует, что П., определяемая внешней конструкцией, принадлежит внутренней геометрии погруженного многообразия. Иногда равенство (3) принимают за определение П., напр, в случае погружения не в Rⁿ, а в риманово многообразие.

На классе кусочно гладких погруженных многообразий П.: а) неотрицательна; б) равна 1 на k-мерном единичном кубе в ; в) не меняется при ортогональных преобразованиях; г) аддитивна; д) полунепрерывна, т. е. при равномерной сходимости ; е) если есть нерастягивающее отображение, то ; ж) если {Р _i} - набор из попарно ортогональных k-мерных плоскостей и Р _i- проектирование на P_i, то

(5)

Дальнейшие обобщения. Теория площадей. Распространение функции Fна более общие объекты с сохранением хотя бы части их свойств а) - ж) может осуществляться разными путями и вести к разным результатам. Изучение таких обобщений составляет предмет теории П. Обзор соотношений разных понятий П. см. в [10].

Граница между теорией П. и теорией меры довольно условна. По традиции к теории П. относят в первую очередь изучение П. непрерывных отображений, где учитывается кратность и меньшую роль играет сохранение аддитивности. О k-мерных мерах в n-мерном пространстве см., напр., Хаусдорфа мера, Фавара мера.

Ту или иную П. можно вводить на основе аппроксимативного, интегрально геометрического, функционального подхода, либо - аксиоматически. Ниже приведены наиболее распространенные понятия.

Площадь по Лебегу (см. [7], [9]) определяется равенством

(6)

где М - конечно триангулируемое k-мерное многообразие; - всевозможные кусочно линейные отображения; есть k-мерная П. соответствующей полиэдральной поверхности. П. по Лебегу одинакова для эквивалентных по Фреше отображений и потому является характеристикой Фреше поверхности. В случае k=2 условие влечет ряд полезных свойств поверхности (напр., возможность введения изотермич. параметров); в этом случае П. по Лебегу оказалась удобным инструментом, достаточным для решения Плато задачи и более общих двумерных задач вариационного исчисления. При k>2 исследование вариационных задач в классе непрерывных отображений столкнулось с трудностями (в проблеме компактности), что заставило обратиться к поиску других объектов (потоки и вариобразия) и связанных с ними характеристик типа П. Использование П. по Лебегу ограничивается также сложностью, с к-рой устанавливаются ее связи с другими понятиями П. и нек-рые ее свойства (напр., правое из неравенств (5)). Следует отметить две особенности L(M, f): во-первых, при L(M, f)=0 может оказаться, что объем V(f(M))>0; во-вторых, даже при k=2 для разбиения Мна M₁ и M₂ с общей границей в виде кривой может оказаться

(7)

Изучался вопрос о том, в какой мере соблюдение нек-рых из свойств а) - ж) с заменой аддитивности на полуаддитивность, т. е. допущением неравенства типа (7), приводит к П. по Лебегу. Вопросы этого типа исследованы (1983) не до конца (см. [7]).

Интегрально геометрические площади [9]. Пусть N( М,j, у).есть какая-либо функция кратности для отображений в точке , напр. . Тогда для можно образовать интегрально геометрическую П.

(8)

где G(n, k) - Грассмана многообразие k -мерных подпространств , v - нормированная Хаара мера на G(n, k), p_s - ортогональное проектирование на . Для разных функций кратности П. (8) могут различаться. Весьма специальный выбор N( М,j, у).приводит для триангулируемых М к совпадению (8) с П. по Лебегу при k=2, а также при k>0 в случае равенства нулю меры Хаусдорфа H_k+1(f(М)) (см. [9]). Для случая k=2 различные интегрально геометрические П. вводились еще Пеано, Гецем, Банахом (см. [7]).

Площадь границы множества. В связи с доказательством неравенства Брунна - Минковского и классического изопериметрич. неравенства была введена П . по Минковскому. Она приписывается множеству , но характеризует П. его границы и определяется равенством

(9)

где В - единичный шар в , а V - объем. Для множеств Ас кусочно гладкой границей и для выпуклых Ав (9) существует обычный предел, совпадающий с (n-1)-мерной П. границы. Определение (9) сохраняет смысл для множеств в конечномерных нормированных пространствах, где даже для выпуклых Азначение П. (9) может отличаться от меры Хаусдорфа Н _п-1( дА). Другой полезной характеристикой, аналогичной П., к-рая сопоставляется множеству, но характеризует в основном его границу, является периметр измеримого множества. Он является частным случаем понятия массы потока.

Внутренняя площадь. Если Мметризовано и - локально изометрич. отображение, то возникает вопрос о соотношении между L(M, f) и мерой Хаусдорфа H_k(M). Когда М - двумерное многообразие ограниченной кривизны, то L(M, f)=Н ₂ (М). Вообще же непрерывное индуцирует на компонентах связности , обобщенную метрику r, отличающуюся возможностью . Конструкция k-мерной меры Хаусдорфа, примененная к r, дает характеристику, к-рую можно принять за внутреннюю П. погружения. Для липшицевых f она совпадает с L(M, f) (см. [11]).

Массы потоков и вариобразий. Интегрирование k-форм по k-мерному кусочно гладко вложенному в ориентированному многообразию М приводит к потоку - линейному функционалу на k-формах j в . Здесь n - единичный касательный к М k -вектор. Линейный функционал Т _M в существенном характеризует М. Кроме того, определен (на этот раз и при неориентированном М).нелинейный функционал - вариобразие

. Интегральные нормы (массы) ||T_M|| и||V_M|| совпадают с П., то есть с F(M). Включение класса кусочно гладких подмногообразий пространства в более общие классы потоков и вариобразий играет в вариационном исчислении такую же роль, как обобщенные решения в теории уравнений в частных производных.

Среди всех потоков и вариобразий выделяют широкие классы целочисленных потоков и вариобразий. Последние сохраняют многие геометрич. свойства подмногообразий. Напр., целочисленный поток есть поток, допускающий представление , где n_i - целые числа, a M_i суть С ¹ -гладкие подмногообразия, при условии, что конечна масса (k-1)-мерного потока dT, определяемого равенством dT(j)=Т(dj). Массы целочисленных потоков и вариобразий можно рассматривать как обобщения понятия П. поверхности. И здесь есть связь с П. по Лебегу. Пусть кусочно гладкие отображения равномерно сходятся и . Тогда соответствующие вариобразия слабо сходятся к нек-рому целочисленному вариобразию V_f, причем||V_f||=L( М, f). Тем самым каждому естественно сопоставляется вариобразие V_f с массой L(M, f); на языке потоков об этом см. в [13].

Лит.:[1] Лебег А., Об измерении величин, пер. с франц., 2 изд., М., 1960; [2] Энциклопедия элементарной математики, т. 5, М., 1966; [3] Ильин В. А., Позняк Э. Г., Основы математического анализа, 3 изд., ч. 1, М., 1971; [4] Лопшиц А. М., Вычисление площадей ориентированных фигур, М., 11)56; [5] IIогорелов А. В., Дифференциальная геометрия, 5 изд., М., 1969; [6] Рашевский П. К., Риманова геометрия и тензорный анализ, 3 изд., М., 1967; [7] Сеsаri L., Surface area, Princeton, 1956; [8] Federer H., Geometric measure theory, В.- Hdlb.- N. Y., 1969; [9] Federer H., "Bull. Amer. Math. Soc.", 1952, v. 58, № 3, p. 306-78; [10] Бураго Ю. Д., Залгаллер В. А., Геометрические неравенства, Л., 1980; [11] Busemann H., "Ann. Math. 2 ser.", 1947, v. 48, p. 234-67; [12] Almgren F. J., The theory of yarifolds, Princeton, 1965; [13] Federer H.,"Trans. Amor. Math. Soc.", 1961 v. 98, № 2, p. 204-33.

Ю. Д. Бурого, В. А. Залгаллер, Л. Д. Кудрявцев.

ПЛОЩАДЬ — (1) одна из основных математических величин, количественно характеризующих геометрические фигуры на плоскости (см.) или на поверхности (см.). Является важной величиной в научных исследованиях, при технических расчётах машин, механизмов, сооружений, электрических устройств, в строительстве, быту и т. д. Различают П. полезные, производственные, жилые, крыла, киля, стабилизатора, руля, паруса, сечения, приёмной антенны, рассеяния электромагнитной энергии и др. Во всех системах основных и производных единиц за единицу площади принимают площадь квадрата, сторона которого равна единице длины (см.). Площадь S квадрата со стороной а равна