«Уравнение»

Соединение данных чисел при помощи знаков различных действий наз. алгебраическим выражением. Напр.

(2×7 + 1)/3.

Если выполнить указанные действия, то в результате получим 5. Чтобы не повторять этой фразы каждый раз, пользуются обозначением

(2×7 + 1)/3 = 5.

Этим же знаком = пользуются, чтобы выразить, что два алгебраических выражения дадут тот же результат, если будут выполнены действия, указанные знаками. Напр.

3×5 = 21 — 6.

Соединение двух алгебраических выражений знаком = наз. равенством, а знак = назыв. знаком равенства.

Алгебраическое выражение, кроме данных чисел, может содержать буквы, которым можно придавать различные частные значения. Напр. x + 3. Если вместо x подставить 2, то получим 5. В этом случае говорят, что х + 3 = 5 при x = 2. Величины, которые могут принимать различные значения, наз. переменными величинами, для обозначения их принято пользоваться последними буквами латинского алфавита.

Соединение знаком равенства выражений, содержащих переменные величины, назыв. уравнением. Напр. x + 3 = 5.

Это У. удовлетворяется при x = 2; значение x = 1 уравнению не удовлетворяет, так как 1 + 3 = 4, а не = 5.

Если бы оказалось, что У. удовлетворяется при произвольных значениях переменных, то оно наз. тождеством. Напр.

2x + 3у + 10 — 3 = 2x + 3у + 7.

Решить У. значит найти значения переменных, ему удовлетворяющих. Говорят, что У. невозможно, если оно не удовлетворяется никакими значениями переменных. Напр., У.

2x + 1 = 2x + 3 невозможно.

Алгебраическим У. п-ой степени с одною переменною x наз. У. вида

p₀xⁿ+ p₁x^n-1+ p₂x^n-2+... + P_n-1x + p_n= 0

где p₀, p₁, p₂... p_nданные числа и р₀не равно нулю.

У. 2-й степени наз. квадратным, 3-й степени — кубическим. Решение У. первой и второй степени рассматривается в начальной алгебре; решений же У. высших степеней относится к высшей алгебре.

Д. С.

в математике, аналитическая запись задачи о разыскании значений аргументов, при которых значения двух данных функций равны. Аргументы, от которых зависят эти функции, называются обычно неизвестными, а значения неизвестных, при которых значения функций равны, – решениями (корнями); о таких значениях неизвестных говорят, что они удовлетворяют данному У. Например, 3x –6 =0 является У. с одним неизвестным, а х = 2 есть его решение; x² + y²=25 является У. с двумя неизвестными, а х =3, y= 4 есть одно из его решений. Совокупность решений данного У. зависит от области Мзначений, допускаемых для неизвестных. У. может не иметь решений в М, тогда оно называется неразрешимым в области М.Если У. разрешимо, то оно может иметь одно или несколько, или даже бесконечное множество решений. Например, У. x⁴–4 =0 неразрешимо в области рациональных чисел, но имеет два решения:

x₁=√2, x₂= –√2 в области действительных чисел и четыре решения: x₁=√2, x₂= –√2, x₃= i₄= – в области комплексных чисел. У. sinx = 0 имеет бесконечное множество решений: x_k= kπ (k =0, ± 1, ± 2,...) в области действительных чисел. Если У. имеет решениями все числа области М, то оно называется тождеством в области М. Например, У. х =является тождеством в области неотрицательных чисел и не является тождеством в области действительных чисел.

Совокупность У., для которых требуется найти значения неизвестных, удовлетворяющие одновременно всем этим У., называется системой У.; значения неизвестных, удовлетворяющих одновременно всем У. системы, – решениями системы. Например, х +2y =5, 2x + у – z= 1является системой двух У. с тремя неизвестными; одним из решений этой системы является х =1, у =2, z =3.

Две системы У. (или два У.) называются равносильными, если каждое решение одной системы (одного У.) является решением др. системы (другого У.), и наоборот, причём обе системы (оба У.) рассматриваются в одной и той же области (см. Равносильные уравнения). Например, У. х– 4 = 0 и 2x– 8 = 0 равносильны, т.к. решением обоих У. является лишь х = 4. Всякая система У. равносильна системе вида f_k (x₁, x₂,..., х_п)= 0, где k = 1, 2,...Процесс разыскания решений У. заключается обычно в замене У. равносильным. В некоторых случаях приходится заменять данное У. другим, для которого совокупность решений шире, чем у данного У. Решения нового У., не являющиеся решениями данного У., называются посторонними решениями (см. Посторонний корень).

Например, возводя в квадрат У. x- 3 = 4, решение которого х= 7 является посторонним для исходного У. Поэтому, если при решении У. делались действия, могущие привести к появлению посторонних решений (например, возведение У. в квадрат), то все полученные решения преобразованного У. проверяют подстановкой в исходное У.

Наиболее изучены У., для которых функции f_k являются многочленами от переменных x₁, x₂,..., х_п, –алгебраические У. Например, алгебраическое У. с одним неизвестным имеет вид:

a₀xⁿ+ a₁x^n-1+... + a_n = 0(a₀ ≠ 0); (*)

число n называется степенью У. Решение алгебраич. У. было одной из важнейших задач алгебры в 16–17 вв., когда были получены формулы и методы решения алгебраических У. 3-й и 4-й степеней (см. Алгебра, Кардано формула) (правила решения алгебраических У. 1-й и 2-й степеней были известны ещё в глубокой древности). Для корней У. 5-й и высших степеней общей формулы не существует, поскольку эти У., вообще говоря, не могут быть решены в радикалах (Н. Абель, 1824). Вопрос о разрешимости алгебраических У. в радикалах привёл (около 1830) Э. Галуа к общей теории алгебраических У. (см. Галуа теория).

Каждое алгебраическое У. всегда имеет хотя бы одно решение, действительное или комплексное. Это составляет содержание т. н. основной теоремы алгебры, строгое доказательство которой впервые было дано К. Гауссом в 1799. Если α – решение У. (*), то многочлен a₀xⁿ+ a₁x^n-1+... + a_nделится на х –α.Если он делится на (х –α) ^k, но не делится на (х –α) ^k+1, то решение α имеет кратность k. Число всех решений У. (*), если каждое считать столько раз, какова его кратность, равно n.

Если f(x)–трансцендентная функция (См. Трансцендентные функции), то У. f(x)= 0 называются трансцендентным (см., например, Кеплера уравнение), причём в зависимости от вида f(x) оно называется тригонометрическим У., логарифмическим У., показательным У. Рассматриваются также иррациональные У., то есть У., содержащие неизвестное под знаком радикала. При практическом решении У. обычно применяются различные приближённые методы решения У.

Среди систем У. простейшими являются системы линейных У., то есть У., в которых f_k суть многочлены первых степеней относительно x₁, x₂,..., х_п (см. Линейное уравнение).

Решение системы У. (не обязательно линейных) сводится, вообще говоря, к решению одного У. при помощи т. н. исключения неизвестных (см. также Результант).

В аналитической геометрии одно У. с двумя неизвестными интерпретируется при помощи кривой на плоскости, координаты всех точек которой удовлетворяют данному У. Одно У. с тремя неизвестными интерпретируется при помощи поверхности в трёхмерном пространстве. При этой интерпретации решение системы У. совпадает с задачей о разыскании точек пересечения линий, поверхностей и т.д. У. с большим числом неизвестных интерпретируются при помощи многообразий в n-мерных пространствах.

В теории чисел рассматриваются неопределенные У., то есть У. с несколькими неизвестными, для которых ищутся целые или же рациональные решения (см. Диофантовы уравнения). Например, целые решения У. x²+ y²= z²вид х = m²-n², у =2 mn, z = m²+ n²где m и n –целые числа.

С наиболее общей точки зрения, У. является записью задачи о разыскании таких элементов некоторого множества А,что F(a)= Ф(а), где F и Ф – заданные отображения (См. Отображение) множества А в множество В. Если множества А и В являются множествами чисел, то возникают У. рассмотренного выше вида. Если А и В – множества точек в многомерных пространствах, то получаются системы У., если же A и В – множества функций, то в зависимости от характера отображения могут получаться также Дифференциальные уравнения, Интегральные уравнения и др. виды У. Наряду с вопросами нахождения решения У. в общей теории У. различного вида изучаются вопросы существования и единственности решения, непрерывной зависимости его от тех или иных данных и т.д.

Термин «У.» употребляется (в отличном от указанного выше смысле) и в др. естественных науках, см., например, Уравнение времени (в астрономии), Уравнение состояния (в физике), Уравнения химические, Максвелла уравнения в электродинамике, Кинетическое уравнение Больцмана в теории газов.

1. уравне́ние;
2. уравне́ния;
3. уравне́ния;
4. уравне́ний;
5. уравне́нию;
6. уравне́ниям;
7. уравне́ние;
8. уравне́ния;
9. уравне́нием;
10. уравне́ниями;
11. уравне́нии;
12. уравне́ниях.

УРАВНЕ́НИЕ, -я, ср.

1. см. уравнять.

2. Математическое равенство с одной или несколькими неизвестными величинами (числами или функциями), верное только для определённых наборов этих величин. Квадратное у. Дифференциальное у.

3. химическое уравнение запись реакции с помощью формул и численных коэффициентов.

-я, ср.

1.

Действие по знач. глаг. уравнять и состояние по знач. глаг. уравняться.

— Первее всего — полное уравнение в правах. М. Горький, Жизнь Матвея Кожемякина.

Печать уравнения лежала на всех лицах, и часто Никита Иваныч здоровался с Карпом Спиридонычем, разумея при этом Павла Иваныча, и наоборот. Серафимович, Преступление.

2.

Математическое равенство, содержащее одну или несколько неизвестных величин и сохраняющее свою силу только при определенных значениях этих неизвестных величин.

Алгебраическое уравнение. Дифференциальное уравнение. Уравнение с одним неизвестным.

уравнение времени

астр.

УРАВНЕ́НИЕ, уравнения, ср.

1. Действие по гл. уравнять - уравнивать и состояние по гл. уравняться - уравниваться. Уравнение в правах. Уравнение времени (перевод истинного солнечного времени в среднее солнечное время, принятое в общежитии и в науке; астр.).

2. Математическое равенство, содержащее одну или несколько неизвестных величин и сохраняющее свою силу только при определенных значениях этих неизвестных величин (мат.). Уравнение с одним неизвестным, с двумя неизвестными. Квадратное уравнение.

I

1.

процесс действия по гл. уравнивать I, уравниваться I 1.

2.

Результат такого действия; уравнивание I 2..

II

Математическое равенство, содержащее одну или несколько неизвестных величин и сохраняющее свою силу только при определённых значениях этих величин.

УРАВНЕНИЕ - математическая запись задачи о разыскании значений аргументов, при которых значения двух данных функций равны. Аргументы, от которых зависят эти функции, называются неизвестными, а значения неизвестных, при которых значения функций равны, - решениями (корнями). Бывают алгебраические уравнения, напр. х2 = 2, и неалгебраические уравнения, называемые трансцендентными, напр. 2х = х. См. также Линейное уравнение, Квадратное уравнение, Кубическое уравнение.

УРАВНЕНИЕ, два выражения, соединенные знаком равенства; в эти выражения входят одна или несколько переменных, называемых неизвестными. Решить уравнение - значит найти все значения неизвестных, при которых оно обращается в тождество, или установить, что таких значений нет. В зависимости от вида выражений, входящих в уравнение, различают алгебраические, логарифмические, тригонометрические и другие уравнения.

ср.
1) (действие) equalization уравнение в правах
2) мат. equation уравнение с двумя неизвестными ≈ equation with two unknown quantities уравнение первой степени ≈ simple equation, linear equation квадратное уравнение ≈ quadratic (equation) биквадратное уравнение ≈ biquadraticс.
1. (действие) equalization, balancing;

2. мат. equation.

с

1)(действие) Gleichsetzung f; Ausgleichung f(выравнивание)

уравнение в правах — rechtliche Gleichstellung

2)мат. Gleichung f

уравнение с одним неизвестным — Gleichung mit einer Unbekannten

уравнение первой степени — Gleichung ersten Grades

квадратное уравнение — quadratische Gleichung

уравнение с 1. (действие) Gleichsetzung f; Ausgleichung f c (выравнивание) уравнение в правах rechtliche Gleich|stellung 2. мат. Gleichung f c уравнение с одним неизвестным Gleichung mit einer Unbekannten уравнение первой степени Gleichung ersten Grades квадратное уравнение quadratische Gleichung

уравнениеGleichung

с.

1)(действие) aplanissement m, nivellement m, égalisation f

уравнение в правах — égalisation en droits

2)мат. équation f

уравнение с двумя неизвестными — équation à deux inconnues

уравнение первой степени — équation du premier degré

квадратное уравнение — équation du deuxième degré

с.

1)(действие) igualación f, nivelación f

уравне́ние в права́х — igualdad en derechos

2)мат. ecuación f, igualdad f

уравне́ние с двумя́ неизве́стными — ecuación con dos incógnitas

уравне́ние пе́рвой сте́пени — ecuación de primer grado

квадра́тное уравне́ние — ecuación de segundo grado

с.

1)(действие) equiparazione f, eguagliamento m

уравнение в правах — pareggiamento nei diritti

2)мат. equazione f

уравнение первой степени / с двумя неизвестными — equazione di primo grado / a due incognite

УРАВНЕНИЕ, математическое утверждение, справедливое для некоторого подмножества всех возможных значений переменной величины. Например, уравнение вида х²=8-2х верно только для определенных значений х (х=2 и х=-4). Эти две величины являются РЕШЕНИЯМИ данного уравнения. В этом смысле противоположностью уравнению является тождество - утверждение, справедливое для любых значений х, например, (х+2)²=х²+4х+4. Уравнения подразделяют по разным принципам классификации, например, по высшей содержащейся в нем степени. В приведенном примере такой степенью является 2. Различают также линейные уравнения, КВАДРАТНЫЕ, кубические и т. д., согласно наличию в них 1-й, 2-й, 3-й и т. д. степени. См. также СИСТЕМА УРАВНЕНИЙ.

УРАВНЕ́НИЕ -я; ср.

1. к Уравня́ть и Уравня́ться. У. опор. У. окладов. У. прав.

2. Математическое равенство, содержащее одну или несколько неизвестных величин и сохраняющее свою силу только при определённых значениях этих неизвестных величин. Алгебраическое, дифференциальное у. У. с одним неизвестным.

◊ Уравне́ние времени. Астрон. Разность между средним и истинным солнечным временем, с помощью которой можно найти среднее местное время.

* * *

математическая запись задачи о разыскании значений аргументов, при которых значения двух данных функций равны. Аргументы, от которых зависят эти функции, называются неизвестными, а значения неизвестных, при которых значения функций равны, — решениями (корнями). Бывают алгебраические уравнения, например х² = 2, и неалгебраические уравнения, назвающиеся трансцендентными, например 2x = х. См. также Линейное уравнение, Квадратное уравнение, Кубическое уравнение.

* * *

УРАВНЕ́НИЕ, математическая запись задачи о разыскании значений аргументов, при которых значения двух данных функций равны. Аргументы, от которых зависят эти функции, называются неизвестными, а значения неизвестных, при которых значения функций равны, — решениями (корнями). Бывают алгебраические уравнения, напр. х² = 2, и неалгебраические уравнения, называемые трансцендентными, напр. 2^х = х. См. также Линейное уравнение(см. ЛИНЕЙНОЕ УРАВНЕНИЕ), Квадратное уравнение(см. КВАДРАТНОЕ УРАВНЕНИЕ), Кубическое уравнение(см. КУБИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ).

- аналитическая запись задачи о разыскании значений аргументов, при к-рых значения двух данных функций равны. Аргументы, от к-рых зависят эти функции, наз. обычно неизвестными, а значения неизвестных, при к-рых значения функций равны,- решениями, или корнями, У.; о таких значениях неизвестных говорят, что они удовлетворяют данному У.

Совокупность решений данного У. зависит от области Мзначений, допускаемых для неизвестных. У. может не иметь решений в М, тогда оно наз. неразрешимым в области М. Если У. разрешимо, то оно может иметь одно или несколько, или даже бесконечное множество решений. Напр., У. х ⁴-4 = 0 неразрешимо в области рациональных чисел, но имеет два решения: в области действительных чисел и четыре решения: - в области комплексных чисел.

У. sin x = 0 имеет бесконечное множество решений: в области действительных чисел.

Если У. имеет решениями все числа области М, то оно наз. тождеством в области М.

Совокупность У., для к-рых требуется найти значения неизвестных, удовлетворяющие одновременно всем этим У., наз. системой У.; совокупность значений неизвестных, удовлетворяющих одновременно всем У. системы, наз. решением системы. Две системы У. (или два У.) наз. равносильными, если каждое решение одной системы (одного У.) является решением другой системы (другого У.), и наоборот, причем обе системы (оба У.) рассматриваются в одной и той же области.

Процесс разыскания решений У. заключается обычно н замене У. равносильным. В нек-рых случаях приходится заменять данное У. другим, для к-poro совокупность корней шире, чем у данного У. Поэтому, если при решении У. делались действия, могущие привести к появлению посторонних корней, то все полученные корни преобразованного У. проверяют подстановкой в исходное У.

Наиболее полно изучены алгебраические уравнения;их решение было одной из важнейших задач алгебры в 16-17 вв. Если f(x) - трансцендентная функция, то У. f(x)=0 наз. трансцендентным, причем в зависимости от вида f(x)оно наз. тригонометрическим У., логарифмическим У., показательным У.

При практич. решении У. обычно применяются различные приближенные методы (см., напр., Линейная алгебра;численные методы).

Среди систем У. простейшими являются системы линейных уравнений. Решение системы У. (не обязательно линейных) сводится, вообще говоря, к решению одного У. при помощи т. н. исключения неизвестных (см. Исключения теория).

В теории чисел рассматриваются т. н. неопределенные У., изучение решений к-рых составляет предмет теории диофантовых уравнений.

В общем случае У. является записью задачи о разыскании таких элементов анек-рого множества А, что F(а)=Ф(а), где Fи Ф - заданные отображения множества Аво множество В. Если Аи В - множества чисел, то возникают У. рассмотренного выше вида. Если Аи В - множества точек в многомерных пространствах, то получаются системы У. Если Аи В- множества функций, то в зависимости от характера отображения могут получаться дифференциальные уравнения обыкновенные, дифференциальные уравнения с частными производными, интегральные уравнения и др. виды У.

По материалам одноименной статьи из БСЭ-3.

матем. запись задачи о разыскании значений аргументов, при к-рых значения двух данных функций равны. Аргументы, от к-рых зависят эти ф-ции, наз. неизвестными, а значения неизвестных, при к-рых значения ф-ций равны, - решениями (корнями) У.

УРАВНЕНИЕ — (1) математическая запись задачи о разыскании таких значений аргументов (см. (2)), при которых значения двух данных функций (см.) равны. Аргументы, от которых зависят эти функции, называют неизвестными, а значения неизвестных, при которых значения функций равны, — решениями (корнями); (2) У. состояния идеального газа — соотношение, связывающее давление р, объём V, абсолютную (термодинамическую) температуру Т и массу m идеального газа (см.) в состоянии теплового равновесия. Для данной массы идеального газа отношение произведения давления р на объём V к абсолютной температуре Т есть величина постоянная:

В др. формулировке У. состояния идеального газа имеет вид

где М — молярная масса газа (масса вещества в одном моле), a R — молярная газовая постоянная (см. (5)), зависящая от природы газа. В таком виде соотношение называется уравнением Клапейрона— Менделеева. Из него следуют газовые законы (см.): Авогадро (см.), Бойля-Мариотта (см.), Гей-Люссака (см.), Шарля (см.) и др. Реальные газы обнаруживают отступления от этого уравнения при температурах, меньших критической и сравнимых с ней, и при высоких давлениях. Из реальных газов к свойствам идеального газа приближаются водород, гелий и др.; (3) У. состояния реального газа уравнение, описывающее свойства реальных газов, которые в большей или меньшей степени отклоняются от законов идеального газа (см. уравнение состояния идеального газа-2). В уравнение
необходимо внести две поправки — на силы притяжения между молекулами и на объём самих молекул. В данном случае давление р следует увеличить на величину так называемого внутреннего давления, которое возникает вследствие межмолекулярного взаимодействия и пропорционально квадрату плотности газа. Объём V следует уменьшить на величину собственного объёма молекул — того минимального объёма, который могут занимать молекулы данной массы т газа. Собственный объём молекул приблизительно в 4 раза больше их реального объёма. У. состояния идеального газа называют также уравнением Ван-дер-Ваальса:

где а: и b — константы, зависящие от природы газа; уравнение Ван-дер-Ваальса является приближённым и количественно описывает состояние (свойства) реальных газов только при низких давлениях и высоких температурах; (4) У. химическое — запись хим. реакции (см. (2)) с помощью хим. формул (символов) и числовых коэффициентов в соответствии с законом сохранения массы веществ (см.). Формулы исходных веществ пишут в левой части У., а полученных — в правой; количество атомов каждого хим. элемента в левой и правой частях должно быть одинаково. Напр. реакцию образования воды из водорода и кислорода изображают так:

У химическое позволяют производить необходимые расчёты, связанные с данной реакцией; (5) У. Шрёдингера построенное млн. дифференциальное волновое У. второго порядка в частных производных — основное уравнение квантовой механики (см. (2)), характеризующим плотность вероятности нахождения электрона в данной единице объёма атома, а также изменение состояния системы во времени и пространстве. В свободном пространстве млн. во внешнем поле решение У. Шрёдингера переходит в функцию, описывающую волновой процесс с длиной волны де Бройля (см. (2)). Во внешнем поле длина волны изменяется от точки к точке. Стационарное состояние электрона в атоме водорода согласно У. Шрёдингера означает, что получилась стоячая волна (см. (6)). Для этого в области движения электрона должно уложиться целое число волн де Бройля. Это У. играет в описании атомных процессов такую же роль, как и законы Ньютона в классической механике (см.). При его решении получаются все квантовые числа (см.), определяющие возможные дискретные значения физ. величин системы, атома, атомного ядра и молекулы.