«Дифференциальное исчисление»

Исчисление бесконечно малых, включающее так называемое Д. исчисление, а также ему обратное интегральное, принадлежит к числу наиболее плодотворных открытий человеческого ума и составило эпоху в истории точных наук. Ближайшим поводом к изобретению Д. исчисления послужили задачи о проведении касательной прямой к кривым линиям, а также задачи на maxima и minima, которыми занимались с усердием математики XVI и XVII ст. Причины же появления нового исчисления лежат глубже в существе дела, и это исчисление рано или поздно должно было в той или другой форме появиться. Уже в способе исчерпываний древних греческих математиков надо видеть зачатки новых идей; Архимед, решая разные задачи на квадратуру криволинейных фигур, спрямление дуг, вычисление объемов тел, ограниченных кривыми поверхностями, предвосхитил идеи современного интегрального исчисления. Честь изобретения нового исчисления принадлежит двум выдающимся умам XVII ст.: знаменитому английскому натурфилософу и математику Исааку Ньютону (1649-1727) и философу Лейбницу (1646-1716). История изобретения Д. исчисления в высшей степени поучительна, ибо показывает, как большие научные открытия подготовляются целым рядом предшествующих работ. В самом деле, уже у Кеплера (1615), Кавальери (1635) и в особенности у Фермата мы встречаемся с замечанием по поводу задач на maxima и minima, состоящим в том, что вблизи наибольшего или наименьшего своего значения переменная величина изменяется лишь весьма мало. Последнее замечание, высказанное несколько в ином виде, дало Фермату способ решения задач на maxima и minima, близкий к способу Д. исчисления. С другой стороны, и для задачи проведения касательных к кривым были указаны разнообразные приемы. Роберваль дал механический метод, состоявший в рассмотрении заданной кривой как траектории в движении точки, причем направление движения в каждой точке траектории принималось за направление искомой касательной и строилось разложением движения точки на составляющие движения и построением скоростей этих последних. Декарт (см.), творец аналитической геометрии, дал известное решение задачи о касательной к кривым линиям, называемым рулетами (см.); кроме того, он, показав, как определять кривую линию уравнением между координатами (см. Аналитическая геометрия), дал аналитический прием для нахождения уравнения искомой касательной. Соображения почти тожественные с методой Декарта употребляли для решения задачи о касательных Фермат и Барров (учитель Ньютона). У Фермата и в особенности у Баррова рассуждения почти тожественны с употребляющимися в Д. исчислении.

Мы приводим вышесказанное никак не с целью умаления значения заслуг Ньютона и Лейбница, но для оправдания права на одновременное независимое изобретение обоих философов. Идеи нового исчисления уже настолько созрели и, так сказать, носились в умах, что вполне естественно, что Ньютон и Лейбниц могли сделать открытие совершенно независимо, не переговариваясь и не заимствуя друг у друга. Спор из-за чести открытия Д. исчисления, возникший между английскими и континентальными учеными, однако, настолько любопытен, что необходимо упомянуть о нем. Дело было так: Лейбниц опубликовал Д. исчисление в 1684 г. (раньше Ньютона) в мемуаре под заглавием: "Nova methodus pro maximis et minimis itemque tangentibus, quae nec fractas nec irrationales quantitates moratur et singulare pro illis calculi genus". В этой работе заключались первые начала Д. исчисления. Начала интегрального исчисления Лейбниц изложил в 1686 г. в мемуаре: "De Geometria recondita et Analysi indivisibilium atque infinitorum". Через два года после того, как Лейбниц обнародовал свои труды, Ньютон выпустил первое издание своих математических начал натуральной философии "Philosophiae naturalis principia mathematica". В этом бессмертном сочинении он объяснил посредством наблюдений и вычислений главные явления природы и преимущественно движения небесных тел. В своих "Principia" Ньютон всюду применяет особый способ, названный им способом флюксий. Этот способ, совпадая по существу с Д. исчислением Лейбница, отличается от последнего только законоположением, что мы увидим далее. Всякому, кто хоть немного познакомится с "Principia" Ньютона, станет очевидно, что способ флюксий не мог быть изобретен и получены такие обширные его применения в короткое время двух лет, прошедших от появления лейбницевской работы. Первостепенные немецкие и английские математики, соединяя с первенством этого важного открытия понятие о народной славе, защищали права родного им геометра. Зачинщиком спора был женевский математик Fatio de Duillier, поселившийся в Лондоне. Подстрекаемый англичанами, с одной стороны, а может быть, и личной неприязнью к Лейбницу, он в письме к Гюйгенсу от 18/28 декабря 1697 г. назвал Ньютона первым изобретателем Д. исчисления и намекнул на то, что Лейбниц заимствовал свой способ из переписки с Ньютоном. Фацио повторил содержание письма в напечатанном сочинении о кривой наискорейшего ската и о теле наименьшего сопротивления. На это оскорбление Лейбниц отвечал с умеренностью, что отнюдь не желает вступать в спор о первенстве с Ньютоном, к которому исполнен глубокого уважения, и надеется, что Ньютон не одобрит поступка Фацио. Нападки Фацио были забыты на несколько лет. Новый случай подал повод к возобновлению спора. В 1704 г. были изданы два сочинения Ньютона: "De quadratura curvarum" и "Enumeratio linearum tertii ordinis". Разбор этих сочинений, помещенный в Лейпцигских Актах и, как думают, с согласия Лейбница, был не совсем благоприятен для Ньютона. Английские математики оскорбились этим отзывом. Один из них, Кейль, в "Philosophical Transactions" за 1708 г. поместил статью, в которой назвал Ньютона первым изобретателем способа флюксий и присовокупил, что Лейбниц переменил только название способа и его знакоположение. Лейбниц, видя, что Кейль явно обвиняет его в присвоении чужого открытия, отнесся письмом к Гансу Слону (Hans Sloane), секретарю Лондонского королевского общества, требуя, чтобы автор этой статьи гласно отрекся от слов своих. На это Кейль отвечал письмом к Слону, что не может отказаться от своего мнения, и прибавил, что Ньютон сообщил о своем способе столько намеков Лейбницу, что даже ум посредственный мог бы разгадать тайну. Это письмо было сообщено Лейбницу, который после того обратился к Королевскому обществу с настоятельной просьбой прекратить необдуманные нападки человека, который желает очернить его доброе имя. Королевское общество нарядило комиссию для рассмотрения спорного дела. Комиссия представила свое мнение, основанное на разных документах, которые и были напечатаны в первый раз в 1712 г. под заглавием: "Commercium epistolicum de Analysi promota" и потом с большими добавлениями в 1722 г.

Донесение комиссии Королевскому обществу, как и следовало ожидать, было благоприятно для Ньютона, причем Ньютон был назван первым изобретателем Д. исчисления, и было заявлено, кроме того, что во всем сказанном Кейлем не заключается ничего оскорбительного для Лейбница. Донесение это раздражило Лейбница, и спор продолжался. Разные безымянные сочинения были изданы на континенте, в которых нападали скорее на Ньютона, чем защищали Лейбница. Английские математики отвечали на них. — Лейбниц, желая, как он выразился, пощупать пульс у англичан, предложил им через других математиков задачу о траекториях. Вопрос состоял в определении кривой линии, пересекающей ряд данных кривых одного и того же рода под углом или постоянным, или изменяющемся по известному закону. Ньютон, к которому собственно относился вызов, немедленно предложил способ для приведения этого вопроса к дифференциальному уравнению. В это время умер Лейбниц (1716). Иван Бернулли, вступаясь за дело знаменитого германского геометра, прочитал решение Ньютона и объявил, что оно вовсе не удовлетворительно, потому что главное затруднение состоит в интегрировании дифференциального уравнения, чего не сделал Ньютон (см. Траектории). — С этого времени, насколько известно, Ньютон, с одной стороны, обеспеченный своей громкой славой, а с другой — по преклонности лет, не принимал уже никакого участия в распре; но некоторые приверженцы и ученики его не покинули поприща прений. Наиболее отличившийся на нем был известный Тейлор. Принимая в соображение все обстоятельства дела, в настоящее время можно с уверенностью признавать первым изобретателем Д. исчисления Ньютона, или, вернее, считать Д. исчисление произведением школы английских математиков. Воздавая должное Ньютону, нет никакого основания, с другой стороны, обвинять Лейбница в плагиате. В науке вообще и в математике в частности часто одного намека на существование некоторого результата в известной области достаточно для того, чтобы выдающийся ум нашел этот результат без дальнейших указаний. Так, очевидно, и было дело с Лейбницем, тем более, что в 1673 г. Лейбниц посетил Лондон и беседовал с английскими математиками, а кроме того, и Ньютон намекал на способ флюксий в своих письмах.

Новое исчисление, вводя в рассмотрение бесконечно малые величины, разбивая их на порядки и предписывая в своих правилах часто отбрасывать бесконечно малые высшего порядка при сравнении с бесконечно малыми низшего порядка, уже при появлении своем нашло многочисленных противников: голландец Ниейвентит (Nieuwentit), аббат Кателан, Деттлеф Клювье, англичанин Беркли (Berkeley), наиболее выдающиеся из числа противников, своими нападками показали только, что они не поняли существа нового учения. Не касаясь поэтому более подробно нападок этих лиц, тем не менее нужно заметить, что введение в математику понятия о бесконечно малых казалось также и выдающимся математикам нежелательным и уничтожающим в математике строгость доказательств древнегреческих геометров. Между прочим, знаменитый франц. математик Лагранж в своем сочинении: "Theorie des fonctions analytiques" (1797) изложил Д. исчисление, не вводя понятия о бесконечно малой величине. В Англии новое исчисление служило предметом занятий ряда талантливых учеников и последователей Ньютона, из которых всеобщую известность получили: Тейлор (Taylor), изложивший Д. исчисление в своем труде: "Methodus incrementorum" (1717), в котором встречаем в первый раз его знаменитую формулу, о которой будет сказано ниже; Моавр и Маклорен, написавший: "Traité des fluxions", представляющее первое из более строгих изложений способа флюксий. Новое исчисление, дав толчок к новым математическим изысканиям, открыло богатое поле для деятельности ряда поколений выдающихся математиков. На континенте образуются к этому времени две школы математиков: швейцарская и французская, которые обе примкнули к идеям Лейбница. К швейцарской школе принадлежат: знаменитая семья выдающихся математиков Бернулли, а также один из величайших математиков всех времен — Эйлер, которого Петербургская акад. наук имела счастье считать своим членом в продолжение более 30 лет. Во главе же франц. школы стояли Даламбер, Лагранж, Клеро и Лаплас. Оставляя перечисление способов изложения Д. исчисления до конца настоящей статьи, перейдем теперь к изложению Д. исчисления в том виде, как оно излагается в настоящее время.

В элементарной математике каждой из букв, вводимой в вычисление, приписывается одно вполне определенное значение. В Д. исчислении мы встречаемся с понятием другого рода.

Определение I. Если в некотором вопросе задан ряд бесконечного числа чисел

u₀, u₁, u₂,... u_n...

вполне вопросом определенный, то, если обозначать какое-нибудь из этих чисел, не указывая, какое именно, одной буквой U (без знака), то буква U выразит так называемую переменную величину. Каждое из чисел заданного ряда называется частным значением переменной U.

Черт. 1.

Каждое частное значение, будучи некоторым вполне определенным числом, будет то, что принято называть величиной постоянной, хотя постоянную величину лучше определять, как переменную, имеющую равные между собой частные значения.

Примеры: 1) Опишем из начала координат (см. Геометрию и Координаты) круг радиусом, равным единице, и возьмем на окружности этого круга какую-нибудь точку М, не указывая, какую именно; опустим из точки M перпендикуляр МР на ось x-ов; соединяя точку M с началом координат, получим прямоугольный треугольник OMP, из кот. замечаем, что

ОМ²= ОР²+ РМ²

или

1 = OP²+ PM²

ибо ОМ = 1. Но ОР есть абсцисса х точки M, а РМ ее ордината у. Получим уравнение (*)

х²+ у²= 1

связывающее координаты х и у точки M круга. В последнем уравнении (*) х есть одна из абсцисс точек круга, не указывая, которая именно, и следовательно, она есть переменная величина, частным значением которой может быть любое из чисел, лежащих в границах от — 1 до + 1, ибо точка P на оси x-ов, соответствующая точке M круга, может приходиться только между точками А и А₁, соответствующими значениям + 1 или — 1.

2) В теории чисел доказывается следующая теорема: Всякое простое целое число, которое от деления на 4 дает в остатке единицу, может быть представлено в виде суммы квадратов двух целых чисел. Напр., 5 = 1²+ 2², 13 = 2²+ 3², 17 = 1²+ 4², 29 = 2²+ 5²и т. д. Если назовем какое-нибудь из простых чисел сказанного вида, не указывая, которое именно, одной буквой х, то приведенное свойство может быть записано равенством:

x = а²+ b²

где а и b некоторые целые числа, и буква х выразит переменную величину, частными значениями которой будут числа 5, 13, 17, 29 и т. д.

Определение II. Абсцисса х точки круга в первом примере, как переменная величина, имеющая частными значениями все числа в границах от — 1 до + 1, дала пример переменной непрерывной. Переменная же величина х во втором примере имеет частные значения, идущие скачками, и потому оказывается переменной прерывной.

Определение III. Если можно указать такое постоянное число а, что среди частных значений переменной х могут быть указаны отличающиеся сколь угодно мало (не совпадая, впрочем) от этого числа, то число о называется пределом переменной.

Возьмем переменную х, определяемую рядом чисел

5 + 1/1, 5 + 1/2, 5 + 1/3,..., 5 + 1/n,... ;

число 5 есть предел этой переменной х. Если возьмем некоторое целое число n, не указывая, которое именно, то переменная х выразится

х = 5 + 1/n.

Если номер n соответственного частного значения переменной в заданном ряду будем увеличивать, то дробь 1/n будет убывать и х будет отличаться все меньше и меньше от числа 5. Какое бы большое n мы ни взяли, соответственное частное значение 5 + 1/n, будучи близко к числу 5, все-таки не совпадет с ним. Итак, среди частных значений переменной не существует совпадающих с числом 5. Покажем теперь, что можно указать такой номер n частного значения 5 + 1/n, чтобы это частное значение отличалось от 5 меньше наперед произвольно заданного малого числа ε. Для этой цели нужно положить

х — 5 = (5 + 1/n) — 5 = 1/n ( ε;

тогда получим: n ) 1/ε. Всякое частное значение, номер которого больше 1/ε, отличается от числа 5 меньше чем на ε. Итак, сколь бы малое число ε мы ни задали, всегда можно указать бесчисленное множество частных значений х, отличающихся от числа 5 менее чем на ε. Отсюда мы заключаем, что число 5 есть предел переменной х. В определении сказано, что число а не должно совпадать ни с одним частным значением х, ибо в противном случае число а было бы не пределом переменной, а ее частном значением. Для обозначения предела принято особое знакоположение:

а = пред.(х), или а = lim(х).

Понятие о пределе встречается уже с первых шагов изучения математики. Так, напр., когда мы пишем: 0,3333... = 1/3, то этим равенством мы выражаем, что 1/3 есть предел переменной х, частные значения которой суть: 0,3; 0,33; 0,333; 0,3333 и т. д., и под символом 0,3333... подразумевается не что иное, как сказанный предел. А так как этот предел действительно равен 1/3, то и пишут 0,(3) = 1/3. В этих двух примерах пределами были числа, соизмеримые 5 и 1/3. Но часто пределами переменной бывают числа несоизмеримые, и тогда эти пределы не могут быть указаны непосредственно; обычно делают обратное, т. е. определяют несоизмеримые числа как пределы переменных, частные значения которых соизмеримы. Например переменная х, определяемая рядом

имеет, как известно из теории непрерывных дробей, своим пределом несоизмеримое число √2 (корень из 2); а потому это несоизмеримое число √2 можно определять, как предел заданной переменной. Определение несоизмеримого числа, как предела переменной, имеющей частные значения соизмеримые, дает возможность вычислять несоизмеримое число с любой степенью точности. Вычислить несоизмеримое число с точностью до дроби 1/р значит указать такое частное значение переменной, которое бы отличалось от заданного несоизмеримого числа, как предела, менее чем на дробь 1/р. Укажем еще на классический пример определения несоизмеримых чисел, как пределов переменных; в геометрии определяется число π, выражающее площадь круга при радиусе, равном единице, как предел переменной величины, частные значения которой суть: площади вписанных равносторонних: треугольника, четырехугольника, пятиугольника и т. д. Данное нами определение предела весьма краткое, а потому не совсем строгое. Настоящее определение предела будет такое: если дана переменная величина, то нужно перенумеровать ее частные значения

u₀, u₁, u₂,... u_n,...

если мы теперь докажем, что при произвольном значении целого числа т разность u_{n — m}— u_nпри достаточно большом n может быть сделана меньше ε и останется меньше этого числа при всех n бóльших, где ε некоторое произвольно малое заданное число, то можно утверждать, что переменная и стремится к некоторому пределу.

Определение IV. Если среди частных значений переменной величины существуют меньшие всякого произвольно наперед заданного малого числа ε (не обращающиеся, впрочем, в ноль), то такая переменная называется бесконечно малой. Возьмем, например, переменную, определяемую рядом

1/1, 1/2, 1/3, 1/4,... 1/n,...

Если укажем теперь номер n частного значения такой, что n ) 1/ε, где ε малое заданное произвольно число, то соответствующее частное значение будет меньше ε, чего и требовалось достигнуть. Переменная х в данном случае, согласно нашему определению, может быть названа бесконечно малой. Ясно, что бесконечно малую величину можно определить, как имеющую пределом ноль, что можно записать так

пред.(х) = 0.

Определение V. Если среди частных значений переменной величины существуют большие всякого наперед произвольно заданного большого числа, то такая переменная называется бесконечно большой. Например, если мы через х обозначим какое-нибудь из целых простых чисел, не указывая, которое именно, то переменная х будет бесконечно большая, ибо в арифметике доказывается, что простых чисел бесконечное множество, и следовательно, существуют сколь угодно большие простые числа. Бесконечно большие величины суть числа, не имеющие предела; но условно говорят иногда, что бесконечно большая величина имеет пределом бесконечность, так что пишут:

пред.(х) = ∞.

Впрочем, последнее равенство надо понимать как условное обозначение того, что переменная величина х бесконечно большая. Переменные, имеющие пределы, отличные от ноля и бесконечности, а также числа постоянные называются величинами конечными. Не надо смешивать условные термины "бесконечно малая величина" и "бесконечно большая величина" с физическим понятием "очень большая величина" и "очень малая величина". Так, напр., расстояние между небесными светилами мы называем очень большими величинами, тогда как размеры микроорганизмов — очень малыми. Термины же Д. исчисления "бесконечно большая величина" и "бесконечно малая величина" могут быть прилагаемы только к величинам переменным, причем тут идет дело не столько о численной величине переменной, сколько о том, что условия вопроса не мешают переменной иметь сколь угодно большие или малые частные значения.

Одна и та же переменная величина, судя по условиям вопроса, может быть рассматриваема как бесконечно большая или бесконечно малая. Так, напр., расстояние между двумя точками на плоскости может быть рассматриваемо, как величина бесконечно малая, если условия вопроса не мешают точкам сближаться между собой, и как бесконечно большая, если условия вопроса не мешают точкам удаляться друг от друга. Расстояние точки, лежащей внутри некоторого определенного круга, до центра может быть названо величиной бесконечно малой, но не есть величина бесконечно большая, ибо не может быть больше радиуса. Расстояние между центрами двух твердых неупругих материальных шаров есть величина бесконечно большая, если условия вопроса не мешают этим двум шарам удаляться друг от друга, и ни в каком случае не будет величиной бесконечно малой, ибо оно не может быть сделано менее суммы радиусов.

Рассмотрение величин конечных и бесконечно больших может быть сведено к рассмотрению бесконечно малых. В самом деле, если в какой-нибудь вопрос входит величина х, имеющая пределом а, то мы можем ввести новую переменную

у = х — а;

тогда:

пред.(у) = пред.(х) — а = а — а = 0

так что у — переменная бесконечно малая. Подобным же образом можно, вместо рассмотрения бесконечно большой величины х, ввести в рассмотрение величину бесконечно малую: у = 1/х. Отсюда является важность изучения свойств величин бесконечно малых.

Бесконечно малые величины разделяются по порядкам малости, причем, конечно, порядки бесконечно малых величин указываются не абсолютно, а относительно. Если заданы две бесконечно малые величины α и β, то мы можем относительно них утверждать только одно из трех: или их порядки одинаковы, или порядок α выше порядка β, или же, наконец, порядок α ниже порядка β. Чтобы узнать, который из указанных случаев имеет место, берут отношение бесконечно малой величины β/α; это отношение есть переменная величина, которая, при уменьшении α и β до нуля, может стремиться к пределу, равному некоторому числу а, или же дробь β/ α величина бесконечно малая, и следовательно, пред.(β/α) = 0, или же, наконец, пред.(β/α) = ∞. В первом случае порядки величин α и β одинаковы; во втором β бесконечно мала в сравнении с α, и следовательно, ее порядок выше; в третьем же случае порядок β ниже порядка α. Напр., возьмем две величины: α и sinα, где α бесконечно малая дуга. Рассмотрим пред.(sinα/α). Из геометрии известно, что дуга меньшая 90° всегда больше своего sinus'a и меньше tangens'a, а потому

sinα ( α ( tangα.

Разделяя на три части последнего неравенства равенство

sinα = sinα = sinα

получим:

sinα//sinα ) sinα/α ) sinα /tangα

или

1 ) sinα/α ) cosα.

Итак, дробь sinα/α, при всяких α, меньших 90°, заключается по численной своей величине между 1 и cosα, но последняя величина, по мере приближения α к 0, стремится к 1, следовательно, дробь sinα/α, заключающаяся между 1 и переменной величиной, имеющей пределом 1, имеет пределом также единицу. Отсюда мы заключаем, что две бесконечно малые величины α и sinα одного и того же порядка малости.

Если задано несколько переменных величин α, β, γ,..., тогда одну из них, напр. α, принимают за главную и указывают порядки малости других из данных бесконечно малых величин по сравнению с этой последней, причем порядок величины β будет равен числу n, если

пред.(β/αⁿ) = k

где k — некоторое конечное число, отличное от ноля. Общий вид величины n-ого порядка есть αⁿ(k + ε), где α — главная бесконечно малая величина, а ε — другая, тоже бесконечно малая величина.

О функциях. Если две переменные величины х и у заданы так, что каждому частному значению одной из них, напр. х, будет соответствовать одно или несколько определенных значений другой, т. е. у, и наоборот, то говорят, что эти переменные зависят друг от друга, причем одну из них называют зависимой переменной, или функцией от другой, которую называют независимой переменной; напр., если через х обозначим радиус некоторого шара, не указывая, какого именно, а через у его объем, то получится как раз случай двух переменных х и у, из которых одну можно считать функцией другой, ибо длиной радиуса определяется объем шара, и обратно. Всякая формула, заключающая какую-нибудь перем. вел. х, есть функция этой последней, например . В последней формуле показаны те действия, которые надо произвести над переменной независимой х, чтобы получить соответствующее значение функции (более подробные сведения см. в статье о Функциях). Для обозначения функции принято особое знакоположение: если у есть функция от х, то это записывается таким образом у = f(х). Если в рассмотрение приходится вводить несколько пункций, то эти пункции обозначается или равными буками, как, напр.: F(х), φ(х), ψ(х), Φ(х), Π(х), ω(х),..., или же разными значками: f₁(х), f₂(х),.... Если функция представлена в виде некоторой формулы, заключающей независимую переменную, то функцию называют явной, если же для получения функции надо решать уравнение, то функция называется неявной, например:

у²+ ух + х³= 0.

Последнее уравнение через решение относительно у дает выражение у в виде явной функции от х. Функцию мы называем однозначной, если каждому значению независимого переменного соответствует одно значение функции, напр. х², ах + b, sinx, и наоборот, функция называется многозначной, если каждому значению независ. перем. соответствуют несколько значений функции, например √х.

Итак, возьмем какую-нибудь функцию y = f(х). Пусть х₀будет некоторое частное значение независ. перем., которое назовем начальным. Кроме того, пусть будет х₁, другое частное значение, которое будем называть приращенным. Разность х₁— х₀будет так называемое приращение переменной х. Это приращение будем обозначать Δх₀. Отсюда мы видим, что приращенное значение

х₁= х₀+ Δх₀.

Подставляя в выражение нашей функции вместо х значение х₀, получим соответственное значение функции y₀, равное f(х₀) которое будет начальным значением функции. Приращенное значение y₁= f(х₁) получится, если мы y₀дадим приращение Δy₀, равное y₁— y₀; так что

y₁= y₀+ Δy₀.

Определение. Функция у = f(х) в сопредельности с частным значением х₀независ. перем. называется функцией непрерывной, если бесконечно малому приращению Δх₀независ. перем. соответствует также бесконечно малое приращение Δy₀функции.

Черт. 2.

Графически изменение величины непрерывной функции в зависимости от изменения независ. перем. обычно может быть изображено некоторой непрерывной кривой линией, расположенной в плоскости, причем значения незав. перем. х₀, х₁,... откладываются по оси абсцисс, а соответствующие значения функции y₀, y₁... по ординатам. Хотя можно составить примеры функций, непрерывных в смысле, указанном в определении, которые бы не имели геометрического представления в виде непрерывной кривой линии, но обычно в Д. исчислении ограничиваются рассмотрением функций, непрерывных в указанном выше смысле.

Итак, займемся рассмотрением непрерывных функций. Δх₀и Δy₀суть бесконечно малые величины. Оказывается, что обычно порядки малости этих приращений одинаковы; так что , где k некоторое конечное число, вообще говоря, отличное от нуля и равное некоторой функции от х₀, которая называется производной и нахождение которой по заданной функции f(x) составляет главный предмет Д. исчисления.

Ньютон называл независимую переменную величиной равномерно текущей (quantitas pariter fluens), функцию у — текущей (fluens), a производную — флюксией, или течением (fluxio). (Происхождение этого названия увидим далее, когда скажем об определении скоростей в неравномерном движении). Возьмем, например, функцию у = x³.

Тогда:

Δy₀= y₁— y₀= f(х₁) — f(х₀) = f(х + Δх₀) — f(х₀) = (х₀+ Δх₀)³— х₀³= х₀³+ 3х₀²Δх₀+ 3х₀(Δх₀)²+ (Δх₀)³— х₀³= 3х₀²Δх₀+ 3х₀(Δх₀)²+ (Δх₀)³.

Отсюда

Δy₀/Δх₀= 3х₀²+ 3х₀Δх₀+ (Δх₀)²

откуда заключаем, что

Итак, мы видим, что для функции х³производная есть функция 3х². Ньютон обозначал производную от функции у символом у. В настоящее время наиболее распространено обозначение Лагранжа: f'(x), или у' для обозначения производной от функции f(x). Кроме того, употребительно обозначение Аброгаста: y' = Dy. Лейбниц в своем изложении вводит новое понятие, равносильное производной функции, а именно, понятие о так называемом дифференциале функции. Мы уже сказали, что для данной непрерывной функции у = f(x): . Если некоторая переменная Δy/Δх имеет пределом f'(x), то она отличается от своего предела на некоторую бесконечно малую величину ε, следовательно Δy/Δх = f'(x) + ε или Δy = f'(x).Δх + ε.Δх.

Итак, мы видим, что приращение функции состоит из двух частей: так сказать, главной, f'(x). Δх, порядок которой равен единице, если принять за главную Δх, и ε.Δх, которая бесконечно мала в сравнении с первой, ибо ее порядок выше первого. Лейбниц назвал первую часть f'(x).Δх дифференциалом функции и для обозначения ее употребил символ: df(x), сохранившийся до настоящего времени, вследствие чего и само новое исчисление получило название дифференциального, а операция нахождения производной — дифференцирования. Найти дифференциал функции все равно, что найти производную, ибо, когда производная найдена, то дифференциал функции получается через простое умножение на приращение Δх независимой переменной, которое есть число совершенно произвольное. Независимая переменная х есть частный случай функции от самой себя, функции, понятно, самой простой: f(x) = x.

Δf(x) = Δх; (Δf(x)/Δх = 1,

следовательно

Отсюда мы замечаем, что dx=df(x)=f'(x).Δх=1.Δх=Δх. Итак, мы видим, что дифференциал независимой переменной равносилен приращению этой независимой переменной и есть поэтому величина совершенно произвольная и не зависящая ни от каких переменных, входящих в рассмотрение. Далее мы замечаем, что дифференциал функции равен производной функции, умноженной на дифференц. независимой переменной:

df(x) = f'(x).dx.

Итак, дифференциал функции не совпадает с приращением функции, а составляет лишь главную часть его и отличается от него на бесконечно малую высшего порядка.

Черт. 3.

Покажем теперь геометрические значения функции, производной и дифференциала. Касательная в точке M₀к кривой линии S есть такая прямая M₀T, с которой стремится совпасть секущая M₀M₁, проведенная через точку M₀и бесконечно близкую к ней точку M₁, по мере приближения точки M₁к точке M₀вдоль по кривой S. Возьмем в плоскости координат кривую S, определяемую уравнением: y = f(x).

Пусть х₀= ОР₀, y₀= P₀M₀, х₁= ОР₁, у₁= Р₁М₁.

Тогда M₀N = P₀P₁= x₁— х₀= Δх₀= dx

NM₁= P₁M₁— P₁N = P₁M₁— P₀M₀= y₁— y₀= Δy₀

Δy₀/Δх₀= (M₁N)/(M₀N) = tang(M₁M₀N).

По мере уменьшения Δх₀до ноля точка P₁приближается к точке Р₀, прямая P₁M₁— к прямой P₀M, точка M₁вдоль по кривой S — к точке M₀, секущая M₀M₁стремится обратиться в касательную М₀J к кривой S в точке M₀.

Черт. 4.

Угол M₁M₀N, который образует секущая с осью x-ов, стремится обратиться в α — угол, образуемый касательной М₀J с осью x-ов, и следовательно

Итак, значение производной для значения независимого переменного х₀, соответствующего точке M₀на кривой, есть не что иное, как тангенс угла, составляемого касательной в этой точке с осью x-ов. Остается показать геометрическое значение дифференциала функции. Из чертежа замечаем, что

df(x) = NJ

ибо из ΔM₀JN получаем:

NJ = M₀N.tangα = dx.f'(х).

Прежде чем приступить к изложению правил дифференцирования функций, т. е. правил для нахождения производных, или, что одно и то же, дифференциалов функций, необходимо сказать два слова о нэперовских логарифмах. Рассмотрим переменную (1 + 1/n)ⁿ. Покажем, что при беспредельном увеличении целого числа n эта переменная стремится к некоторому пределу, заключающемуся между числами 2 и 3. В самом деле

(1 + 1/n)ⁿ= 1 + n.(1/n) + [n(n — 1)]/[1.2](1/n)²+... + (n[n — 1]... [n — (n — 1)])/(1.2.3... n)(1/n)ⁿ

(см. Двучлен). Это можно переписать так:

Так как 1/n, 2/n,.... (n — 1)/n меньше 1, то все члены больше ноля, и след., (1 + 1/n)ⁿпри всяком n целом и положительном больше 2.

Кроме того, легко показать, что (1 + 1/n)ⁿдля всякого n целого и положительного меньше 3, ибо

(1 + 1/n)ⁿ( 1 + 1 + 1/(1.2) + 1/(1.2.3) +... + 1/(1.2.3.... n)

и следовательно

(1 + 1/n)ⁿ( 1 + 1 + 1/2 + 1/2²+.... + 1/2^{n -1}

или

(1 + 1/n)ⁿ( 1 + 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 +.... 1/2^{n — 1}+ 1/2ⁿ+...

и следовательно

(1 + 1/n)ⁿ( 3.

Кроме того, нетрудно убедиться, что при возрастании n переменная (1 + 1/n)ⁿвозрастает, откуда ясно, что эта переменная стремится к некоторому пределу. Этот предел есть некоторое число, несоизмеримое с единицей, которое обозначается обычно буквой е. Оно равно 2,71828182845904523536028.... Это число е есть основание нэперовой системы логарифмов, или так называемых натуральных логарифмов. Нетрудно также показать, что при увеличении n выражение (1 + 1/n)ⁿстремится к пределу е и в том случае, когда n проходит все значения как целые, так и дробные, даже число n можно считать отрицательным, но только возрастающим беспредельно по абсолютной величине. Так что, обозначая 1/n через ε, получаем

Покажем теперь, как находить производные основных функций:

а + х, а — х, ах, х^а, А^х, Igx, sinx, cosx.

Пусть h = х.α. Тогда

где β = (1 + α)^а— 1. Отсюда имеем 1 + β = (1 + α)^а.

Логарифмируя обе части, получаем: β.(1/β)Log(1 + β) = а.α.(1/α)Log(1 + α) или β.Log(1+β)^1/β=а.α.Log(1 + α)^1/α.

Отсюда β/α = а[Log(1 + α)^1/α]/[Log(1 + β)^1/β], но пред.(1 + α)^1/α= пред.(1 + β)^1/β= e; следовательно пред. (β/α) = ΰ(Loge/Loge) = а, следовательно, окончательно пред.Δ(х^а)/Δх = а. х^{а — 1}. Здесь число а какое угодно, положительное, отрицательное, целое, дробное, рациональное или иррациональное.

Здесь мы будем предполагать А числом положительным.

пред.(ΔА^х)/Δх = пред.(А^{(х + h)}— А^х)/h = пред.[А^х(А^h— 1)]/h = А^х.пред.(А^h— 1)/h.

Обозначим бесконечно малую величину А^h— 1 через β. Тогда из равенства: А^h— 1 = β имеем А^h=1+β. Очевидно, что β будет стремиться к нулю одновременно с h. Логарифмируя, получаем: h.LogA = Log(1 + β), что можем переписать так: 1/β.h.LogA = Log(1 + β)^1/β.

Следовательно

здесь логарифмы берутся при каком-нибудь основании к. Во всем дальнейшем будем нэперовские логарифмы, взятые при основании е, обозначать символом lg; тогда пред.(ΔА^х)/Δх = А^хlgA. Формула еще более упростится, если положим А = е. Тогда имеем: пред.(Δe^х)/Δх = e^х.

Положим (h/x) = α, причем, конечно, при h бесконечно малом α также бесконечно мало. Тогда имеем: h = α.x, и следовательно: пред.[Δ(Logx)/Δх]=пред.[Log(1 + α)]/(α.x)] = (1/x)Log(1 + α)^1/α= (1/x)Loge

Для нэперовых логарифмов получается формула:

пред.(Δ(lgx)/Δх) = 1/x.

Итак, мы получаем следующую табличку производных и дифференциалов:

Приведенная табличка для Д. исчисления играет ту же роль, как таблица умножения для целых чисел. Зная производные указанных выше простейших функций, можно получить производную какой угодно сложной функции, составленной из приведенных простых. Для этой цели будут служить правила, к перечислению которых и переходим.

1) Производная постоянного числа тожественно равна нулю.

f(x) = с, Δf(x) = f(x + Δx) — f(x) = с — с = 0;

пред.Δf(x)/Δx = пред.0/Δx = 0.

2) Правило для дифференцирования суммы. Требуется найти производную функции

f(x) = u + v

где

u = φ(υ), v = ψ(υ).

Δf(x) = φ(υ + Δx) + ψ(υ + Δx) — [φ(υ) + ψ(υ)] = φ(υ + Δx) — φ(υ) + ψ(υ + Δx) — ψ(υ) = Δφ(υ) + Δψ(υ).

пред.Δf(x)/Δx = пред.[Δφ(υ) + Δψ(υ)]/Δx = пред.Δφ(υ)/Δx + пред.Δψ(υ)/Δx.

Подводя к пределу, имеем:

f'(x) = φ'(х) + ψ'(х)

т. е. производная суммы равна сумме производных. Понятно, что производная разности равна разности производных; так что будет

(u + v)' = u' + v', (и — v)' = u' — v'.

Как следствие получим:

(u + v — w — r + s)' = и' + v' — w' — r' + s'.

3) Дифференцирование произведения.

f(x) = и.v; Δf(x) = (и + Δи)(v + Δv) — и.v.

Δf(x)/Δx = (и.v + v.Δи + и.Δv + Δи.Δv — и.v)/Δx = v.(Δи/Δx) + и.(Δv/Δx) + Δx.(Δи/Δx)(Δv/Δx).

Будем подводить Δx к нулю; тогда получим:

f'(x) = (и.v)' = v. и' + u. v'.

Эта формула обобщается на случай нескольких переменных:

(u.vw)' = [и(vw)]' = и(vw)' + (vw).и' = u.v.w' + и.w.v' + v.w.и'.

4) Дифференцирование дроби.

f(x) = и/v; Δf(x) = (и + Δи)/(v + Δv) — и/v = [(и + Δи)v — (v + Δv)и]/[v(v + Δv)] = [и.v + v.Δи — и.v — u.Δv]/[v(v + Δv)] = [v.Δи — u.Δv]/[v(v + Δv)]; Δf(x)/Δx = [v.(Δи/Δx) — и.(Δv/Δx)]/[v(v + Δv)].

В пределе будет

(и/v) = (v. и' — u. v')/v².

Итак, получаем следующую табличку:

1) d(c) = 0;

2) d(u±v) = du ± dv;

3) d(u.v) = u.dv + v.du;

4) d(u.v.w. r) = du.v.w.r + и.dv.w.r + u.v.dw.r + u.v.w.dr;

5) d(u/v) = (v.du — u.dv)/v².

Применим сказанное к примерам.

tangx = u/v, где и = sinx, v = cosx.

(tangx)' = [cosx(sinx)' — sinx(cosx)']/cos²x = (cos²x + sin²x)/cos²x = 1/cos²x.

Подобным же образом найдем:

(cotgx)' = — (1/sin²x);

(secx)' = (1/cosx)' = [cosx(1)' — 1(cosx)']/cos²x = sinx/cos²x;

(cosecx)' = cosx/sin²x.

Дифференцирование функций от функций. Возьмем функцию f(u), где u = φ(υ). Тогда получается ф-ция f[φ(υ)], или, как говорят, функция от функции. Например:

cos(e^х) = cosu, где u = e^х.

Такие ф-ции называются также сложными. Итак, требуется найти производную у' от ф-ции y = f(u), где u = φ(υ).

Искомая производная

у' = пред.Δy/Δх

что можно написать так:

у' = пред.(Δy/Δu).(Δu/Δх) = пред.(Δy/Δu).пред.(Δu/Δх)

но

пред.(Δy/Δu) = f'(u)

а

пред.(Δu/Δх) = φ'(х)

т. е. вообще

у'_х= f'(u).φ'(υ) = f'(u).u'.... (*).

Если и независимая переменная, то и' = 1, так что будет у'_х= f'(х). Если и некоторая ф-ция, то формула (*) выражает правило дифференцирования сложной функции. Умножая обе части равенства (*) на dx, получим

у'_х.dx = f'(u).u'.dx;

но

у'_х.dx = dy

a

и'.dx = du;

следовательно

dy = f'(u).du.

Формула дифференцирования сложной ф-ции, написанная в таком виде, не отличается от формулы для дифференциала ф-ции f(u) в том случае, когда и независимая переменная. Разница только та, что du, при и = независимой переменной совпадает с произвольным приращением, а если и ф-ция, то du есть ее дифференциал. Например:

d[cos(x³)] = — sin(x³)d(х³) = — sin(x³).3x².dx.

Подобным же образом рассматриваются ф-ции от ф-ций более сложного вида. Напр., пусть требуется дифференцировать у = f(u), где и = φ(v), a v = ψ(υ). Тогда

и = φ[ψ(υ)]

a

f(u) = f(φ[ψ(υ)]).

По сказанному выше

у' = f(u)u'

но

u' = φ'(v).v';

следовательно:

у' = f'(u).φ'(v).v'.

Например:

у = lg[sin(x²)].

Здесь можно написать:

у = lgu, и = sinv, v = x².

Следовательно:

у' = (lgu)'.(sinv)'.(x²)' = (1/u).cosv.2х = [1/sin(x²)].cos(х²).2х.

Дифференцирование функций обратных. Мы видели уже, что если две переменные х и у находятся в зависимости, так что одну из них, напр. у, можно рассматривать как ф-цию f(x) от другой, то и обратно, другую переменную х можно рассматривать как ф-цию от первой у. Получаем так называемую обратную ф-цию. Будем ее обозначать так:

x = f_{— 1}(y)

так что ф-ции, указываемые характеристиками f и f_{— 1}будем называть обратными. Так, напр., если

у = sinx, то х = arcsiny.

Итак, пусть у нас две переменные х и у находятся в указанной зависимости. Пусть приращению одной Δх соответствует приращение Δу другой, и обратно, приращению Δу будет соответствовать приращение Δх первой.

f'(x) = пред.(Δу/Δх)

а

f'_{— 1}(у) = пред.(Δх/Δу).

Две переменные Δу/Δх и Δх/Δу суть величины обратные, так что каждая из них получается от деления единицы на другую; пределы их будут величины также обратные. Следовательно

f'_{— 1}(у) = 1/f'(x)

т. е. производная ф-ции обратной равна единице, деленной на производную ф-ции прямой, причем производные от ф-ций берутся каждая по своему аргументу.

Применим это правило к нахождению некоторых обратных тригонометрических или круговых функций.

Пусть у = arcsinx. Следовательно, х = siny. Здесь

f(x) = arcsinx; f_{— 1}(у) = siny.

Применяя изложенное выше правило, находим

(arcsinx)'_x= 1/(siny)'_y= 1/cosy

но siny = x, следовательно

cosy = ±√(1 — x²)

так что окончательно

(arcsinx)'_x= 1/[±√(1 — x²)].

При корне квадратном надо выбирать знак +, ибо y = arcsinx есть дуга, взятая в границах между — 90° и + 90° и имеет cosy положительный (см. Функции); следовательно

(arcsinx)'_x= 1/√(1 — x²).

Так как

arcsinx + arccosx = π/2

то, дифференцируя это тожество, получим:

(arcsinx)' + (arccosx)' = 0

откуда

(arccosx)' = — 1/√(1 — x²).

Возьмем еще пример.

y = arctangx;

следовател.

х = tangy; (arctangx)'_x= 1/(tangy)'_y= cos²y;

но если

tangy = x

то

cosy = 1/√(1 — tg²x) = 1/[±√(1 — tg²x)]

и следовательно

(arctgx)'_x= 1/(1 + x²).

Так как

arctangx + arccotgrx = π/2

то, следовательно

(arccotgx)' = — 1/(1 + x²).

В заключение покажем, как дифференцировать выражение у = и^v, где и и v функции от x.

Берем логарифмы; получаем: lgy = vlgu.

Дифференцируем

(1/y).у' = v'lgu + v (lgu)' = v'lgu + v(1/u)u'.

Следовательно

у' = y (v'lgu + v(1/u)u') = и^v.lgu. v' + v.и^{v — 1}.u'.

Указанных правил вполне достаточно для дифференцирования каких угодно функций, как угодно составленных из простейших, которые вводятся в рассмотрение в алгебре и в тригонометрии. Мы видим, что в результате дифференцирования подобных функций новых функций не получается, а некоторые даже упрощаются. Так, напр., трансцендентная функция lgx при дифференцировании обращается в простую алгебраическую 1/x. Когда приведенные правила для дифференцирования функций были разобраны, уже Ньютону и Лейбницу представилась необходимость в рассмотрении вопроса обратного, а именно: по данной производной найти так наз. первообразную функцию, или, по терминологии Ньютона, по заданной флюксии найти величину текущую. Эта задача составила предмет так наз. интегрального исчисления (см.) и представила уже на первых порах затруднения весьма существенные. Оказывается, что уже для некоторых весьма простых функций первообразные функций весьма сложны. Так, напр., для весьма простой алгебраической функций 1/(1 + x²) первообразная функция есть функция трансцендентная arctangx. Так что немногие виды функций имеют первообразные функции, выраженные через известные в так наз. конечном виде. Большинство же функций имеет первообразными особые новые виды функций, бесчисленного числа различных видов которых служит источником интегральное исчисление, и главнейшие виды которых, по мере их практического значения, служат предметом внимательного изучения.

Признаки возрастания и убывания функций. Теорема Ролля. Maxima и minima. Если для значений нез. пер. х, лежащих в некоторых границах, производная положительная, то функция при возрастании х возрастает, и наоборот, если производная отрицательна для некоторых значений х, то для этих значений х при возрастании х функция убывает. Отсюда вытекает, как следствие, основная теорема Д. исчисления.

Теорема Ролля. Если для значений нез. пер. х, лежащих в двух границах, функция и производная конечны и непрерывны, и если для двух значений нез. пер. а и b функция f обращается в 0, так что f(a) = 0 и f(b) = 0, причем, напр., b ) а, то производная f'(x) должна обращаться в ноль для некоторого значения ξ нез. пер. х, лежащего между числами а и b (а ( ξ ( b).

В самом деле, положим, что существует обратное, а именно, что между значениями а и b производная f'(x) не обращается в ноль. Тогда, вследствие того, что эта производная, по нашему предположению, конечна и непрерывна, она не должна изменять знака, т. е. будет для всего промежутка от а до b или положительна, или отрицательна. Но оба предположения противоречат условию, ибо, если производная все время положительна, то сама функция, начиная от значения, равного нолю при х = а, будет возрастающая во все время увеличения х от а до b и, следовательно, для х = b примет некоторое положительное значение, не равное нолю, что противоречит предположению. Подобным же образом невозможно предположение, чтобы производная все время была отрицательна. Следовательно, если функция f(х), начиная со значения, равного нолю при х = а, при увеличении х возрастает, то для того, чтобы обратиться в ноль еще раз для значения х = b, функция должна перестать возрастать и после некоторого значения ξ, лежащего в пределах между а и b, должна начать убывать.

При этом значении ξ нез. пер. получается наибольшее значение функции по отношению к соседним, или, как говорят, при х = ξ функция имеет maximum. Подобным же образом, если непрерывная конечная функция f(х) обращается в ноль при значении х = а и затем при возрастании х убывает, то для того, чтобы еще раз обратиться в ноль при х = b, функция должна перестать убывать и после некоторого значения x = ξ начать возрастать. В этом случае при x = ξ получается так наз. minimum функции.

Итак, мы видим, что maxima и minima функции характеризуются тем, что при переходе нез. пер. через соответственные им значения, функция из возрастающей делается убывающей или обратно и, следовательно, производная меняет свой знак. Если, согласно нашему предположению, производная для значений нез. пер., близких к рассматриваемому значению ξ, конечна и непрерывна, то перемена знака производной не может произойти иначе, как при переходе этой производной через ноль.

Итак, мы видим, что maxima и minima имеют место для тех значений нез. пер., которые обращают в ноль первую производную. Напр., если возьмем функцию sinx, то замечаем, что maxima этой функции имеют место при

х = π/2, 5π/2,... (2k + 1/2)π

minima же при

х = (2k + 3/2)π.

Одним словом, для значений, обращающих в 0 производную, т. е. cosx.

Для нахождения maxima и minima функции f(х) надо, след., приравнять f'(х) нолю; тогда получится уравнение f'(х) = 0. Если производная непрерывна для всех значений х, то частные значения х, соответствующие наибольшим или наименьшим значениям функции, надо искать между корнями этого уравнения. Пусть корни этого уравнения будут а₁, а₂,... а_n, где этих корней может быть как конечное число, напр. в случае функций алгебраических, так и бесчисленное множество, как, напр., в случае функций трансцендентных (напр. sinx). Каждый из этих корней надо подвергнуть рассмотрению, а именно, имеется ли для х, равного этому корню, maximum функции, или minimum, или нет ни того, ни другого.

Задача. Требуется забором данной длины обнести наибольшую площадь, имеющую вид прямоугольника.

Пусть искомые стороны прямоугольника будут х и у.

Черт. 5.

Обозначим периметр прямоугольника, т. е. данную длину забора, через 2а. Тогда

2х + 2у = 2а или х + у = а, откуда у = а — х.

Искомая площадь, которую нужно сделать наибольшей = х.у = х(а — х) = f(х).

Производная от функции f'(х) будет такая: f'(х) = а — 2х.

Maximum площади, если только он возможен, будет при f'(х) = 0, т. е. при х = а/2. Но тогда и у = а/2. След., из всех прямоугольников данного периметра квадрат есть наибольший по площади. Подобным же образом доказывается, что для всех фигур, как прямолинейных, так и криволинейных, данного периметра наибольшая по площади круг.

Формула Тейлора. Эта знаменитая формула резюмирует в себе все Д. исчисление и все его приложения. Предварительно надо сказать о производных и дифференциалах высших порядков. Мы видели, при рассматривании правил дифференцирования, что производной всякой функции является некоторая новая функция. Если для этой новой функции составить новую производную, то получим так называемую вторую производную начальной функции и будем обозначать ее символом f "(х). Производную от второй производной будем называть третьей производной и обозначать f "'(х) и т. д., так что, наконец, производную какого-нибудь порядка n будем обозначать символом f⁽ⁿ⁾(х). — Если умножим производную какого-нибудь порядка k на степень k дифференциала нез. пер. х, то получим так называемый дифференциал порядка k от функции, что обозначается так:

d^kf(х) = f^(k)(х).dx^k.

Так что, если у = f(х), то

dy = y'.dx, d²y = y ".dx², d³y = y ".dx³,...

Нельзя смешивать обозначения: d²y, dy², d(y²). Первым символом обозначается второй дифференциал у, вторым — квадрат дифференциала у, а третьим — дифференциал от функции у².

Чтобы показать, почему под дифференциалом порядка k подразумевается сказанное произведение производной порядка k на соответствующую степень дифференциала нез. пер., покажем, что второй дифференциал функции есть не что иное, как дифференциал, взятый от первого дифференциала. В самом деле

d(dy) = d(y'.dx)

но dx есть совершенно произвольная величина, не зависящая от нез. пер. х, и потому при дифференцировании может быть, как постоянная, вынесена из-под знака дифференциала: следовательно

d(y'dx) = dx.dy' = dx(y')'dx = y"dx²= d²y.

Третий дифференциал у есть не что иное, как дифференциал от второго дифференциала и т. д. Сказанное замечание дает возможность находить дифференциалы высших порядков от функций сложных. Пусть, напр., y = f(u), где и есть функция от нез. пер. х.

dy = f'(u).du;

d²y = d(dy) = d[f'(u)du];

но теперь du, будучи дифференциалом функции и равняясь, след., u'dx, т. е. производной функции, умноженной на дифференциал нез. пер., зависит от нез. пер., которая входит в производную и', а следов., при дифференцировании нельзя выносить его из-под знака дифференциала, следовательно

d[f'(u)du] = d[f'(u)].du + f'(u)d(du) = [f(u)]'.du. du + f'(u).d²y = f "(u).d²y + f'(u).d²y.

Получилась формула для второго дифференциала функций сложных. Если и нез. пер., то du есть величина, не зависящая от каких бы то ни было величин, входящих в вопрос и, след., при дальнейшем дифференцировании есть величина постоянная, так что

d²u = d(du) = 0

и формула для второго дифференциала функции простой, а не сложной, получается та же, что мы уже видели. Сообщив эти предварительные замечания, обращаемся теперь к выводу формулы Тейлора.

Мы видели уже, что Δf(x) = df(x) + ε. Обозначая Δx через h, имеем:

df(x) = f'(x).h.

Но

Δf(x) = f(x + h) — f(x).

Следовательно

f(x + h) — f(x) = f'(x).h + ε

откуда

f(x + h) = f(x) + hf'(x) + ε

где ε порядка высшего, чем h. — Оказывается, что последнюю формулу можно переписать в таком виде:

f(x + h) = A₀+ A₁h + A₂h²+ A₃h³+...

где

A₀= f(x), A₁= f'(x = ), ε A₂h²+ A₃h³+...

Таким образом, получается разложение приращенного значения функции f(x + h) по степеням приращения h — известная формула Тейлора. Чтобы показать значение коэффициентов A₂, A₃..., возьмем сначала целую функцию, многочлен степени п:

f(x) = а₀xⁿ+ а₁x^{n — 1}+ а₂x^{n — 2}+... + а_{n — 2}x²+ а_{n — 1}x²+ а_n.

f(x + h) = а₀(x + h)ⁿ+ а₁(x + h)^{n — 1}+ а₂(x + h)^{n — 2}+... + а_{n — 2}(x + h)²+ а_{n — 1}(x + h)²+ а_n.

Раскрывая скобки по биному Ньютона и собирая члены с различными степенями h, получим тожество

f(x + h) = A₀+ A₁h + A₂h²+... + A_{n — 1}h^{n — 1}+ A_nhⁿ

где A₀, A₁, A₂,.. некоторые функции от х.

Всякое тожество имеем право дифференцировать по любой из входящих в него букв; результат будет также тождество. Продифференцируем наше тожество по h, считая х постоянным:

f'(x + h) = A₁+ A₂2h + A₃+ 3h³+... + А_n.n.h^{n — 1}... (1)

f "(x + h) = 1.2.A₂+ 2.3.A₃h + 3.4.A₄h²+... (2)

f "'(x + h) = 1.2.3.A₃+ 2.3.4. A₄h + 3.4.5.A₅h²+... (3)

Подставляя во все тожества вместо h ноль, получаем:

f(x) = A₀, f'(x) = A₁, f "(x) = 1.2.A₂, f "'(x) = 1.2.3.A₃,..

Отсюда легко получить все коэффициенты A₀, A₁, A₂,..

A₀= f(x), A₁= f'(x), A₂= [1/(1.2)]f "(x), A₃= [1/(1.2.3)]f "'(x), A₄= [1/(1.2.3.4)]f^IV(x),..

Следовательно

f(x + h) = f(x) + h.f'(x) + [h²/(1.2)]f "(x) + [h³/(1.2.3)]f "'(x) +... + [hⁿ/(1.2.3...n)]f⁽ⁿ⁾(x)

Итак, мы видим, что формула Тейлора для целой функции обращается в многочлен, расположенный по степеням приращения h. — Замечательно, что подобная формула имеет место не только для целых функций, но и для функций каких угодно, причем f(x + h) не равно прямо выражению, стоящему в правой части написанной выше формулы, а отличается на некоторую величину, которую назовем R_n, так что

f(x + h) = f(x) + h.f'(x) + [h²/(1.2)]f "(x) +... + [hⁿ/(1.2.3...n)]f(ⁿ⁾(x) + R_n.

Прибавка R_nесть так называемый дополнительный член. Лагранжу принадлежит замечание в высшей степени важное, а именно, что дополнительный член R_nможет быть представлен в виде:

R_n= (h^{n + 1}/[1.2.3....(n + 1)])f^{(n + 1)}(ξ)

где ξ есть некоторое число, лежащее между х и х + h, и след., если все производные f^{(n + 1)}(х) и следующие конечны для всех значений между х и х + h, то при возрастании п до ∞ дополнительный член стремится к нолю, и след., вычисляя сумму п + 1 первых членов разложения Тейлоровой строки, получим число, близкое к значению функции f(x + h).

Итак, мы видим, что формула Тейлора есть так называемая интерполяционная формула, где функция f(x + h) заменяется некоторой целой функцией от h с погрешностью, о пределах которой можно судить на основании замечания Лагранжа.

Приложим формулу Тейлора к функции е^x.

f(x) = е^x, f'(x) = е^x, f "(x) = е^x,... f(ⁿ⁾(x) = e^x.

Следовательно

е^{(x + h)}= е^x+ h.е^x+ [(h²/(1.2)]е^x+... + [hⁿ/(1.2.3....n)].е^x+ R_n

где

R_n= (h^{n + 1}/[1.2.3....(n + 1)]).e^ξ.

Ho

e^x+h= е^x.е^h;

кроме того, e^ξблизко к

е^x, h^{n + 1}/[1.2.3... (n + 1)]

очень мало, значит, величина R_nблизка к нулю. Разделив на е^x, получаем

е^h= 1 + h + [h²/(1.2)] + [h³/(1.2.3)] +... + [hⁿ/(1.2... n)] + [h^{n + 1}/(1.2.3... [n + 1])].e^{ξ — x}.

Формула Тейлора дает способ разложить ф-цию по возрастающим степеням нез. пер. При h = 1 из предыдущей формулы получаем:

е = 1 + 1 + 1/(1.2) + 1/(1.2.3) + 1/(1.2.3.4) + 1/(1.2.3.4.5) +...

что было выведено раньше другим путем.

Формула Тейлора может быть написана так:

Δf(x) = df + [d²f/(1.2)] + [d³f/(1.2.3)] +...

если примем в соображение, что произвольное число h можно считать за dx.

Полагая в формуле Тейлора h = х, х = 0, получаем формулу Маклорена:

f(x) = f(0) + x.f'(0) + x²/(1.2)f "(0) +...

дающую возможность разлагать функции в ряды по степеням нез. перем. Сделаем несколько примеров.

f(x) = е^x, f(0) = е⁰= 1, f'(0) = е⁰= 1,...

е^x= 1 + x + x²/(1.2) + x³/(1.2.3) + x⁴/(1.2.3.4) + x⁵/(1.2.3.4.5) +...

Подобным же образом получим разложения:

sinx = x — x³/(1.2.3) + x⁵/(1.2.3.4.5) — x⁷/(1.2.3.4.5.6.7) +...

cosx = 1 — x²/(1.2) + x⁴/(1.2.3.4) — x⁶/(1.2.3.4.5.6) +...

откуда легко получить формулу Эйлера:

е^{x√(— 1)}= cosx + √(— 1).sinx

дающую связь между нэперовыми логарифмами, с одной стороны, и тригонометрическими и круговыми функциями, с другой. Легко получить еще следующие разложения:

lg(1 + x) = x — x²/2 + x³/3 — x⁴/4 + x⁵/5 —....

(1/2)lg[(1 + x)/(1 — x)] = x + x³/3 + x⁵/5 + x⁷/7 +....

arctangx = x — x³/3 + x⁵/5 — x⁷/7 +....

Дифференцирование функций от нескольких переменных и дифференцирование функций неявных. Рассмотрение функций от нескольких переменных и дифференцирование таких функций по существу не потребует новых принципов. Нужно только ввести некоторые новые термины и определения. Пусть и = f(x, y, z,... t). Эту функцию можно рассматривать как функцию от одной независимой переменной x, если согласимся другим переменным y, z,... t задать какие-нибудь частные значения, чтобы считать их за постоянные. В этом предположении можно найти производную от функции и по х. Такую производную будем называть частной производной, взятой от функции f по х, и обозначать символом f'_х(x, y, z,... t). Подобным же образом, рассматривая букву у как переменную, а все остальные как постоянные, получим частную производную по у: f'_y(х, у, z,... t) и таким же образом другие частные производные по z,... t. Произведение частной производной f'_х(x, y, z,... t), взятой по букве х, на дифференциал независимого переменного х назовем частными дифференциалом функции, взятым по х и будем обозначать символом d_хf; подобным же образом получим частные дифференциалы по другим переменным: d_yf, d_zf,... d_tf.

Равенство

d_хf = f'_х(x, y, z,... t).dx

показывает, что частную производную по х можно рассматривать как частное от деления дифференциала, взятого по x, на dx, так что

f'_х(x, y, z,... t) = d_хf/dx.

Последний символ прежние математики писали проще: df/dx, причем в случае, когда f - функция от нескольких переменных, ясно, что последний символ обозначает частную производную, взятую по х. Для частных производных в русской литературе употребляется почти исключительно немецкое (введенное Якоби) обозначение:

äf/дх, äf/dy,... äf/ät.

Сумма частных дифференциалов функций f по всем переменным составляет то, что называют полным дифференциалом функции и обозначают df, так что

df = d_хf + d_yf + d_zf +... + d_tf = (äf/дх)dx + (äf/dy)dy + (äf/äz)dz +... + (äf/ät)dt.

Вот почему немецкие математики для частных производных употребляют особый символ, чтобы не смешивать частной производной df/dx с отношением полного дифференциала функции к дифференциалу независимого переменного dx.

Всякая частная производная функции f по одной из букв есть новая функция от тех же букв, от которой, следовательно, можем опять взять частную производную по какой-нибудь из букв. Таким образом получаются частные производные второго порядка; если от этих частных производных возьмем еще частные производные, получим частные производные третьего порядка и т. д.

Будем обозначать так: f "_xy(x, y, z,... t) — вторая частная производная, взятая сначала по х, а потом по у, f "'_xxt(x, y, z,... t) — третья частная производная, взятая два раза по х и один раз по t, и т. д.

Легко доказать, что при нахождении частных производных высших порядков все равно, в каком порядке производить дифференцирование. Напр. для того, чтобы получить вторую частную производную, взятую по х и по у, можно или сначала найти частную производную по х, а затем продифференцировать по у, или, наоборот, взять сначала частную производную по у, а затем от нее взять частную производную по х.

Если мы частную производную некоторого порядка, взятую k раз по х, l раз по у, т раз по z,... n раз по t, умножим на dx^k.dy^l.dz^m... dtⁿ, то получим соответствующий частный дифференциал, взятый k раз по x, l раз по у, т раз по z,... n раз по t, который обозначим dx^k, y^l, z^m,... tⁿf.

Так что dx^k, y^l, z^m,... tⁿf = f^{(k + l + m +... + n)}x^k, y^l, z^m,... tⁿ(x, y, z,... t)dx^k.dy^l.dz^m... dtⁿ

откуда частная производная

f^{(k + l + m +... + n)}x^k, y^l, z^m,... tⁿ(x, y, z,... t) = (dx^k, y^l, z^m,... tⁿf)/(dx^k.dy^l.dz^m... dtⁿ).

По Якобиевскому обозначению такая частная производная напишется так:

(д^{k + l + m +... + n}f)/(dx^k.dy^l.äz^m... ätⁿ).

В данном случае производная порядка k + l + m +... + n. Так, например, в случае функции двух переменных производных второго порядка и дифференциалов второго порядка четыре:

d_xxf, d_xyf, d_yxf, d_yyf, д²f/dx², д²f/dx.dy, д²f/dy.dx, д²f/dy².

На основании же сказанного замечания о независимости значения производной от порядка дифференцирования получим, что d_xyf = d_yxf и д²f/(дх.ду) = д²f/(ду.дх).

Сумма всевозможных вторых дифференциалов функции есть то, что принято называть вторым полным дифференциалом функции и обозначать через d²f.

Так, например, в случае функции двух независимых переменных имеем:

d²f = d_xxf + d_xyf + d_yxf + d_yyf, или

d²f = d_xxf + 2d_xyf + d_yyf, или

d²f = (д²f/дх²)dx²+ 2[д²f/(дх.ду)]dx.dy + (д²f/ду²)dy².

Подобным же образом сумму всевозможных частных дифференциалов третьего порядка принято называть полным дифференциалом третьего порядка и обозначать d³f и т. д.

Для нахождения полного дифференциала n-ого порядка выводится следующая символическая формула: dⁿf = [(д/дх)dx + (д/dy)dy +... + (д/ät)dt]ⁿ.f.

Чтобы получить выражение dⁿf не в символическом виде, а окончательно, необходимо возвести в степень n многочлен, стоящий в скобках, считая д, дх, dx, ду, dy,... за отдельные буквы. В конце же концов получим сумму членов вида: А(d^{k + l +... + m}/[dx^k.dy^l... ät^m])dx^k.dy^l... ät^mf,

где k + l +... + m = n, А — некоторый численный коэффициент, зависящий от k, l,... т. Потом каждый член надо будет переписать, вставив букву f в числители дроби, в таком виде:

А(d^{k + l +... + m}f/dx^k.dy^l... ät^m)dx^k.dy^l... ät^m

и считать дробь за соответственную частную производную.

Обратимся теперь к указанию правил для дифференцирования функций неявных.

Пусть, напр., дано уравнение:

f(x.y) = 0 (*).

Через решение этого уравнения относительно у мы получим у в виде некоторой функции от х:у = φ(х). Функция φ(υ), очевидно, такова, что после подстановки ее в уравнение (*) последнее обращается в тожество:

f(x.φυ) = 0 (**).

Легко убедиться, что тожество имеем право дифференцировать по любой из входящих в него букв: в результате дифференцирования получим тоже тожество. В самом деле, если Ф(х) = 0 есть тождество, то оно, очевидно, удовлетворяется при всех значениях х, а следовательно, будет также удовлетворяться равенство Ф(х + Δх) = 0. Вычитая из последнего тождества предыдущее, получим тожество: Ф(х + Δх) — Ф(х) = 0, которое можем переписать в таком виде:

[Ф(х + Δх) — Ф(х)]/Δх = 0 или, подводя к пределу: Ф'(х) = 0.

Последнее равенство есть, очевидно, тоже тождество.

Итак, будем дифференцировать тождество (**), которое будем для удобства писать в виде (*), но под у подразумевать уже функцию φ(υ). Дифференцируя это тождество, получим:

(äf/дх)dx + (äf/dy)dy = 0.

Разделяя на dx и решая относительно dy/dx = φ'(х), получим:

dy/dx = — (df/dx)/(df/dy),

где в выражениях частных производных в числителе и знаменателе под буквой у надо разуметь опять-таки функцию φ(υ). Таким образом находим производную неявной функции, дифференцируя само уравнение, а не решая его предварительно относительно у, что представляется весьма важным в тех случаях, когда уравнение решается неудобно, или можно затрудниться в его решении. Подобным же путем находятся производные от неявных функций высших порядков.

Излагая теорию дифференцирования функций, составляющую главную задачу Д. исчисления, мы попутно указывали уже и на некоторые приложения Д. исчисления; так, напр., мы указывали на приложения производных функций к решению задач на maxima и minima функций от одной независимой переменной. В Д. исчислении рассматриваются также maxima и minima функций от многих переменных, причем для нахождения maxima и minima приходится приравнивать нолю первый полный дифференциал функции. Строка Тейлора для функций одной переменной, а также и в обобщенном своем виде для случая функций от многих переменных, дает критерий для отличия случая maximum'a функции от случая ее minimum'a, а также дает возможность указать, имеет ли место maximum или minimum данной функции, обращающий в ноль первый полный дифференциал функции. Второе аналитическое приложение Д. исчисления давали формулы Тейлора и Маклорена для разложения функций в ряды, расположенные по целым степеням независимой переменной.

Далее производные прилагаются к нахождению предельных значений выражений неопределенного вида. Напр., sinx/х при х = 0 имеет вид 0/0, между тем, как мы видели уже, что при уменьшении х до ноля эта дробь имеет пределом единицу. Д. исчислением дается следующее правило для раскрытия неопределенности вида 0/0:

Если дано отношение φ(υ)/ψ(υ) двух функций: ψ(υ) и φ(υ), которые обе обращаются в ноль при некотором частном значении х = а, то надо написать отношение их производных: φ'(х)/ψ'(х). Если последнее отношение стремится к некоторому пределу, то к этому же пределу стремится и данное отношение φ(υ)/ψ(υ) при приближении х к а.

Прилагая сказанное к случаю sinx/х, получаем: (sinx)'/(х)' = cosx/1. Последнее выражение, при уменьшении х до 0, стремится к единице; следовательно: (sinx/x)_x=0= 1.

Подобное же правило существует для раскрытия неопределенности вида ∞/∞. К неопределенности этого вида приводятся неопределенности вида: 0.∞, ∞⁰.0⁰, 1^∞. К числу неопределенностей вида 1^∞принадлежит рассмотренный уже нами

Геометрические приложения Д. исчисления. Все геометрические приложения Д. исчисления основаны на задаче о касательных; поэтому мы не будем на ней останавливаться. Заметим кстати, что раз известны координаты х, у точки касания, угол α, который касательная составляет с осью x-ов и тангенс которого равен производной у', то напишется легко и уравнение касательной:

η — σ = у(ξ — x)

где x, у, у' числа вполне определенные для каждой точки на заданной кривой, а ξ и η — текущие координаты в уравнении прямой линии, в данном случае — нашей касательной. Понятно, что, зная уравнение касательной, по правилам аналитической геометрии напишем уравнение перпендикуляра к этой касательной в точке касания, или так называемой нормали кривой в данной точке касания касательной. Зная же уравнения касательной и нормали, найдем их длины, причем под длиной касательной подразумевается отрезок касательной от точки касания до точки встречи с осью x-ов; то же для нормали. Расстояние от точки встречи касательной с осью х-ов до основания ординаты точки касания есть так назыв. подкасательная.

Черт. 6.

Подобным же образом вводится в рассмотрение поднормаль. Все это, раз уже написано уравнение касательной, представляется простыми задачами аналитической и обыкновенной геометрии.

Под длиной s дуги между двумя точками подразумевают предел, к которому стремится периметр вписанного в эту дугу многоугольника по мере увеличения числа его сторон. Дифференциал дуги выражается по формуле:

ds = ±√(dx²+ dy²).

Обращаемся теперь к следующему весьма важному геометрическому приложению Д. исчисления, а именно к изучению кривизны кривых линий на плоскости. Кривизна линии есть понятие первоначальное.

Черт. 7.

Условились измерять ее следующим образом. Возьмем дугу ММ' и проведем в концах этой дуги две касательные к кривой линии. Угол, который образуют между собой эти касательные, есть то, что называют кривизной дуги.

Если разделим этот угол γ на длину дуги ММ', то получим число, которое называется средней кривизной дуги ММ'. Если теперь будем приближать точку М' вдоль по кривой к точке М, то касательная в точке М' будет стремиться совпасть с касательной в точке М: угол между касательными имеет пределом ноль, точно так же стремится обратиться в ноль и дуга ММ'. Отношение стремится к некоторому пределу, который есть то, что называют кривизной кривой линии в точке М (подробности см. в статье Кривизна). Если на нормали точки М в сторону, куда обращена вогнутость кривой линии, отложим отрезок, равный 1/k, где k кривизна линии в точке М, то получим точку N, так назыв. центр кривизны. Расстояние MN = 1/k называется радиусом кривизны. Геометрическое место центров кривизны для разных точек заданной кривой есть особенная новая линия, называемая эволютой заданной. Заданная кривая по отношению к ее эволюте называется ее разверткой, или эвольвентой.

Приложение Д. исчисления к геометрии трех измерений основано на том замечании, что поверхность в пространстве определяется уравнением между тремя координатами:

f(х, y, z) = 0.

Кривая же линия в пространстве рассматривается как пересечение двух поверхностей и, следовательно, задается двумя уравнениями:

f₁(x, y, z) = 0, f₂(x, y, z) = 0.

Через решение этих двух уравнений относительно у и z получаем:

y = F₁(x), z = F₂(x).

Если мы выберем за х некоторую совершенно произвольную функцию некоторого независимого переменного t, так что x = φ(t), то, подставляя эту функцию φ(t) в выражения для у и z, получим:

y = F₁[φ(t)] = ψ(t), z = F₂[φ(t)] = ω(t).

Итак, мы видим, что координаты точки, лежащей на кривой в пространстве, могут быть выражены как функции от одного и того же независимого переменного t, и следовательно, кривая в пространстве может быть выражена тремя уравнениями:

х = φ(t), у = ψ(t), z = ω(t)

причем так как функция φ(t) совершенно произвольна, то определять кривую при помощи подобных функций можно бесчисленным число способов. Всякому значению t₀независимого переменного соответствуют вполне определенные значения функций φ, ψ, ω и, следовательно, вполне определенная точка M₀на рассматриваемой кривой. Обозначим координаты точки M₀через х₀, y₀, z₀; тогда уравнения касательной, проведенной в точке M₀к кривой, запишутся так:

(ξ — υ₀)/dx = (η — y₀)/dy = (ζ — z₀)/dz

что можно написать еще так:

[ξ — φ(t₀)]/φ'(t₀) = [η — ψ(t₀)]/ψ'(t₀) = [ζ — ω(t₀)]/ω'(t₀)

Плоскость, перпендикулярная к касательной и проведенная через точку касания, называется нормальной плоскостью. Ее уравнение есть

(ξ — υ₀)dx + (η — y₀)dy + (ζ — z₀)dz = 0.

Дифференциал дуги кривой линии в пространстве выражается по формуле:

ds = ±√(dx²+ dy²+ dz²).

Понятие о кривизне плоских кривых обобщается и на кривые в пространстве, причем под так называемой первой кривизной подразумевают предел отношения угла между касательными в концах дуги к длине самой дуги при уменьшении этой длины до нуля. Обозначая этот предел через k, называют величину 1/k радиусом первой кривизны.

Если через касательную в точке М к кривой двоякой кривизны проведем плоскость, которая встречала бы кривую еще в точке M', бесконечно близкой к точке М, то такая плоскость будет стремиться совпасть, по мере приближения точки M' к М, с так называемой соприкасающейся плоскостью. Уравнение этой плоскости есть:

A(ξ — υ₀) + B(η — y₀) + С(ζ — z₀) = 0

где

A/[ψ'(t₀).ω "(t₀) — ω'(t₀).ψ "(t₀)] = B/[ω'(t₀).φ "(t₀) — φ'(t₀).ω "(t₀)] = C/[φ'(t₀).ψ "(t₀) — ψ'(t₀).φ "(t₀)].

(подробнее см. Соприкасающаяся плоскость).

В пересечении соприкасающейся плоскости с нормальной плоскостью получается т. наз. главная нормаль кривой двоякой кривизны. Соприкасающиеся плоскости в двух точках М и М' кривой образуют между собой угол ω; если мы этот угол разделим на длину дуги ММ', то получим дробь, которая по мере уменьшения длины дуги стремится к пределу, называемому второй кривизной кривой линии. Если вторая кривизна равна нулю, то кривая плоская и соприкасающаяся плоскость во всех точках совпадает с плоскостью, в которой лежит кривая.

Переходя к рассмотрению поверхностей, мы замечаем, что если через некоторую точку M₀поверхности

f(х, y, z) = 0

координаты которой х₀, y₀, z₀удовлетворяют уравнению

f(х₀, y₀, z₀) = 0

проведем всевозможные кривые на поверхности, то касательные ко всем этим кривым лежат в одной плоскости, наз. касательной плоскостью поверхности. Уравнение этой плоскости имеет вид:

(ξ — υ₀)(äf/дх) + (η — y₀)(äf/dy) + (ζ — z₀)(äf/äz) = 0.

Перпендикуляр, проведенный через точку M₀к этой плоскости, есть так называемая нормаль поверхности.

Кривизна поверхности изучается по рассмотрению кривизны различных сечений поверхности различными плоскостями (подробнее см. Кривизна).

Приложения Д. исчисления к механике. Мы уже сказали, что кривая линия в пространстве может быть определена тремя уравнениями:

х = φ(t), у = ψ(t), z = ω(t).

Для механики важен тот случай, когда мы за независимую переменную t принимаем время, отсчитываемое от некоторого момента t₀, при помощи приборов, служащих для определения времени.

Задача определения криволинейного движения точки приводится к нахождению трех функций φ, ψ, ω, входящих в уравнения этой траектории. Когда эти функции найдены, тогда мы найдем положение точки в пространстве в момент t₀, подставляя значение t₀в функции φ, ψ, ω; получаются значения х, y, z.

Под скоростью в точке M₀подразумевается значение производной дуги по времени для момента t₀. Этим и объясняется, почему Ньютон называл производную флюксией (течением, скоростью). Под направлением скорости подразумевается одно из направлений касательной, проведенной в данной точке (подробнее см. Скорость).

Изменения скорости под влиянием сил — или так называемые ускорения — рассматриваются при помощи вторичного дифференцирования по времени и выражаются по величине и направлению через вторые производные по времени: от координат, а также от дуги.

Указанный способ определять скорости и ускорения приводит к тому, что все задачи механики могут быть положены на так называемые дифференциальные уравнения (см.).

Изложив сущность и главнейшие приложения Д. исчисления, мы должны заметить, что изложение Ньютона и следовавших за ним английских математиков не вводило в рассмотрение дифференциалы. Флюксии Ньютона были не что иное, как производные. Сказанное направление отражается и на английских учебниках последнего времени, где дифференциалам отдается весьма ограниченная роль. Наоборот, в изложении Лейбница все дело основано на дифференциалах, причем под дифференциалом функции Лейбниц подразумевал приращение функции, но при этом добавлял, что с дифференциалами надо производить выкладки так, чтобы отбрасывать бесконечные малые высшего порядка и оставлять только главные части приращения, что согласуется с современным названием дифференциала, как главной части приращения и послужило поводом к нападкам на способ дифференциальный как на способ неточный, между тем как указанное отбрасывание бесконечно малых высшего порядка не вредит точности, ибо в Д. исчислении обычно вводят не сами дифференциалы, а их отношения, а в интегральном исчислении — их суммы. Что же касается рассмотрения пределов отношений и сумм бесконечно малых, то эти пределы не меняются при отбрасывании бесконечно малых высших порядков, что мы уже видели и еще раз увидим в статье Интегральное исчисление, а потому лангранжево изложение Д. исчисления без введения бесконечно малых, при всем его интересе, в настоящее время имеет только историческое значение, ибо теперь нет уже нападок на неточность способа бесконечно малых.

Уже у д'Аламбера мы встречаемся с изложением способа Д. исчисления почти в современном виде (в Энциклопедии под словом: Differentiel). Его изложение встречается затем в сочинениях Кузена и маркиза де Л'опиталя.

Для желающих ознакомиться с историей способов изложения Д. исчисления можно посоветовать обратиться к интересному сочинению: Carnot, "Réflexions sur la méthaphysique du calcul infinitésimal", a также Рахманова: "Опыт о различных теориях Д. исчисления и о сравнении их" (СПб., 1812). Наиболее известные курсы Д. исчисления следующие: Euler, "Institutiones calculi differentialis" (2 т., 1755); Grüfon, "Supplement zu Eulers Differentialrechnung" (Берлин, 1798); Le marquis L'Hôpital, "Analyse des infiniment petits" (Авиньон, 1768); Cousin, "Traité de calcul différentiel et de calcul intégral" (Paris, 1796); Lacroix, "Traité du calcul diff. et du calcul intégral" (3 т., П., 1810-1819); его же, "Traité élémentaire de calcul diff. et intégr." (6-е изд., revue et augmenté de notes par M. M. Hermite et Serret, П., 1861-62); Гурьев, "Д. и инт. исчисление, собранное на франц. яз. г. Кузеном и приумноженное С. Гурьевым" (СПб., 1801); Cauchy, "Leçons sur le calcul infinitésimal" (Paris, 1823); его же, "Leçons sur les applications de calcul infinitésimal à la géométrie" (2 т., П., 1826); Коши, "Д. и инт. исчисление", пер. Буняковского (1831); Duhamel, "Cours d'Analyse de l'Econe polytechnique" (Пар., 1840); L'abbé Moigno, "Leçons de calcul diff. et de calcul intégral" (Пар., 1840-44); Зернов, "Д. исчисление с приложением к геометрии" (М., 1842); О. Schlömilch, Handbuch der Differencial und Integralrechnung" (1846-48); Беренс "Курс Д. исчисления" (СПб., 1849); Laurent, "Traité de calcul différentiel" (П., 1853), Duhamel, "Elements de calcul infinitésimal" (2 т., П., 1860-61); Sturm, "Cours d'analyse de l'Ecole polytechnique" (2 т., П., 1857-59); Дингер, "Д. и интегр. исчисление", перев. Лаглинского и Эшлимана (СПб., 1861); Freycinet, "De l'analyse infinitésimal" (Пар., 1860); Савич, "Начальные основания Д. и инт. исчисления" (СПб., 1861); О. Schlömilch, "Compendium der höheren Analysis" (Брауншв., 1866), Bertrand, "Traité de calcul diff. et de calcul intégral". (Пар., 1864). Из многочисленных новейших курсов Д. исчисления упомянем о следующих, изданных на русском яз.: Хандриков, "Курс анализа" (Киев); Рощин, "Курс Д. и инт. исчисления" (СПб.), Деларю, "Курс Д. исчисления".

Д. Граве.

раздел математики, в котором изучаются производные и дифференциалы функций и их применения к исследованию функций. Оформление Д. и. в самостоятельную математическую дисциплину связано с именами И. Ньютона и Г. Лейбница (вторая половина 17 в.). Они сформулировали основные положения Д. и. и чётко указали на взаимно обратный характер операций дифференцирования и интегрирования. С этого времени Д. и. развивается в тесной связи с интегральным исчислением (См. Интегральное исчисление), вместе с которым оно составляет основную часть математического анализа (или анализа бесконечно малых). Создание дифференциального и интегрального исчислений открыло новую эпоху в развитии математики. Оно повлекло за собой появление ряда математических дисциплин: теории рядов, теории дифференциальных уравнений, дифференциальной геометрии и вариационного исчисления. Методы математического анализа нашли применение во всех разделах математики. Неизмеримо расширилась область приложений математики к вопросам естествознания и техники. «Лишь дифференциальное исчисление дает естествознанию возможность изображать математически не только состояния, но и процессы: движение» (Энгельс Ф., см. Маркс К. и Энгельс Ф., Соч., 2 изд., т. 20, с. 587).

Д. и. зиждется на следующих важнейших понятиях математики, определение и исследование которых составляют предмет введения в математический анализ: действительные числа (См. Действительное число) (числовая прямая), Функция, Предел, Непрерывность. Все эти понятия выкристаллизовались и получили современное содержание в ходе развития и обоснования дифференциального и интегрального исчислений. Основная идея Д. и. состоит в изучении функций в малом. Точнее: Д. и. даёт аппарат для исследования функций, поведение которых в достаточно малой окрестности каждой точки близко к поведению линейной функции или многочлена. Таким аппаратом служат центральные понятия Д. и.: производная и дифференциал. Понятие производной возникло из большого числа задач естествознания и математики, приводящихся к вычислению пределов одного и того же типа. Важнейшие из них — определение скорости прямолинейного движения точки и построение касательной к кривой. Понятие дифференциала является математическим выражением близости функции к линейной в малой окрестности исследуемой точки. В отличие от производной, оно легко переносится на отображения одного евклидова пространства в другое и на отображения произвольных линейных нормированных пространств и является одним из основных понятий современного нелинейного функционального анализа (См. Функциональный анализ).

Производная. Пусть требуется определить скорость прямолинейно движущейся материальной точки. Если движение равномерно, то пройденный точкой путь пропорционален времени движения; скорость такого движения можно определить как путь, пройденный за единицу времени, или как отношение пути, пройденного за некоторый промежуток времени, к длительности этого промежутка. Если же движение неравномерно, то пути, пройденные точкой в одинаковые по длительности промежутки времени, будут, вообще говоря, различными. Пример неравномерного движения даёт тело, свободно падающее в пустоте. Закон движения такого тела выражается формулой s = gt²/2, где s — пройденный путь с начала падения (в метрах), t — время падения (в секундах), g — постоянная величина, ускорение свободного падения, g 9,81 м/сек². За первую секунду падения тело пройдёт около 4,9 м, за вторую — около 14,7 м, а за десятую — около 93,2 м, т. е. падение происходит неравномерно. Поэтому приведённое выше определение скорости здесь неприемлемо. В этом случае рассматривается средняя скорость движения за некоторый промежуток времени после (или до) фиксированного момента t; она определяется как отношение длины пути, пройденного за этот промежуток времени, к его длительности. Эта средняя скорость зависит не только от момента t, но и от выбора промежутка времени. В нашем примере средняя скорость падения за промежуток времени от t до t + Δt равна

Это выражение при неограниченном уменьшении промежутка времени Δt приближается к величине gt, которую называют скоростью движения в момент времени t. Таким образом, скорость движения в какой-либо момент времени определяется как предел средней скорости, когда промежуток времени неограниченно уменьшается.

В общем случае эти вычисления надо проводить для любого момента времени t, промежутка времени от t до t + Δt и закона движения, выражаемого формулой s = f(t). Тогда средняя скорость движения за промежуток времени от t до t + Δt даётся формулой Δs/Δt, где Δs = f(t + Δt) — f(t), а скорость движения в момент времени t равна

Основное преимущество скорости в данный момент времени, или мгновенной скорости, перед средней скоростью состоит в том, что она, как и закон движения, является функцией времени t, а не функцией интервала (t, t + Δt). С другой стороны, мгновенная скорость представляет собой некоторую абстракцию, поскольку непосредственному измерению поддаётся средняя, а не мгновенная скорость.

К выражению типа (*) приводит и задача (см.рис.) построения касательной (См. Касательная) к плоской кривой в некоторой её точке М. Пусть кривая Г есть график функции у = f(x). Положение касательной будет определено, если будет найден её угловой коэффициент, т. е. тангенс угла α, образованного касательной с осью Ox. Обозначим через x₀ абсциссу точки М, а через x₁ = x₀ + Δх — абсциссу точки M₁. Угловой коэффициент секущей MM₁ равен

где Δy = M₁N = f(x₀ + Δx) — f(x₀) — приращение функции на отрезке [x₀, x₁]. Определяя касательную в точке М как предельное положение секущей MM₁, когда x₁ стремится к x₀, получаем

Отвлекаясь от механического или геометрического содержания приведённых задач и выделяя общий для них приём решения, приходят к понятию производной. Производной функции у = f(x) в точке х называется предел (если он существует) отношения приращения функции к приращению аргумента, когда последнее стремится к нулю, так что

С помощью производной определяется, кроме уже рассмотренных, ряд важных понятий естествознания. Например, сила тока определяется как предел

где Δq — положительный электрический заряд, переносимый через сечение цепи за время Δt; скорость химической реакции определяется как предел

где ΔQ — изменение количества вещества за время Δt; вообще, производная по времени есть мера скорости процесса, применимая к самым разнообразным физическим величинам.

Производную функции y = f(x) обозначают f'(x), у', dy/dx, df/dx или Df (х). Если функция y = f(x) имеет в точке х₀ производную, то она определена как в самой точке x₀, так и в некоторой окрестности этой точки и непрерывна в точке x₀. Обратное заключение было бы, однако, неверным. Например, непрерывная в каждой точке функция

графиком которой служат биссектрисы первого и второго координатных углов, при х = 0 не имеет производной, т.к. отношение Δу/Δх не имеет предела при Δx → 0: если Δх > 0, это отношение равно +1, а если Δx Непрерывная функция).

Операцию нахождения производной называют дифференцированием. На классе функций, имеющих производную, эта операция линейна.

Таблица формул и правил дифференцирования

(C)´ = 0; (xⁿ)´ = nx^n-1;

(a^х)´ = a^x ln a и (e^x)´ = e^x;

(log_ax)´ = 1/x ln a и (ln x)´ = 1/x;

(sin x)´ = cos x; (cos x)´ = – sin x;

(tg x)´ = 1/cos² x; (ctg x)´ = – 1/sin² x;

(arc tg x)´ = 1/(1 + x²).

[f(x) ± g(x)]´ = f´(x) ± g´(x);

[Cf(x)]´ = Cf´(x);

[f(x) g(x)]´ = f´´(x) g(x) + f(x) g´(x);

если y = f(u) и u = φ(x), т. е. y = f[φ(x)], то dy/dx = (dy/du)․(du/dx) = f' (u)φ'(x).

Здесь С, n и a — постоянные, a > 0. Эта таблица, в частности, показывает, что производная от всякой элементарной функции (См. Элементарные функции) есть снова элементарная функция.

Если производная f'(x), в свою очередь, имеет производную, то её называют второй производной функции у = f(x) и обозначают

у", f"(x), d²y/dx², d²f/dx² или D²f(x).

Для прямолинейно движущейся точки вторая производная характеризует её ускорение.

Аналогично определяются и производные более высокого (целого) порядка. Производная порядка n обозначается

yⁿ, fⁿ (x), dⁿy/dxⁿ, dⁿf/dxⁿ или Dⁿf(x).

Дифференциал. Функция у = f(x), область определения которой содержит некоторую окрестность точки х₀, называется дифференцируемой в точке x₀, если её приращение

Δy = f(x₀ + Δx) - f(x₀)

можно записать в форме

Δу = АΔх + αΔх,

где А = А(x₀), α = α(х, x₀) → 0 при х → x₀. В этом и только в этом случае выражение AΔx называется дифференциалом функции f(x) в точке x₀ и обозначается dy или df(x₀). Геометрически дифференциал (при фиксированном значении x₀ и меняющемся приращении Δx) изображает приращение ординаты касательной, т. е. отрезок NT (см.рис.). Дифференциал dy представляет собой функцию как от точки х₀, так и от приращения Δх. Говорят, что дифференциал есть главная линейная часть приращения функции, понимая под этим, что, при фиксированном х₀, dy есть линейная функция от Δх и разность Δy - dy есть бесконечно малая относительно Δx. Для функции f(x) ≡ х имеем dx = Δх, т. е. дифференциал независимого переменного совпадает с его приращением. Поэтому обычно пишут dy = Adx. Имеется тесная связь между дифференциалом функции и её производной. Для того чтобы функция от одного переменного y = f(x) имела в точке x₀ дифференциал, необходимо и достаточно, чтобы она имела в этой точке (конечную) производную f'(x₀), и справедливо равенство dy = f'(x₀) dx. Наглядный смысл этого предложения состоит в том, что касательная к кривой y = f(x) в точке с абсциссой x₀ как предельное положение секущей является также такой прямой, которая в бесконечно малой окрестности точки x₀ примыкает к кривой более тесно, чем любая другая прямая. Таким образом, всегда А(х₀) = f'(x₀); запись dy/dx можно понимать не только как обозначение для производной f'(x₀), но и как отношение дифференциалов зависимого и независимого переменных. В силу равенства dy = f'(x₀) dx правила нахождения дифференциалов непосредственно вытекают из соответствующих правил нахождения производных.

Рассматриваются также дифференциалы высших порядков. На практике с помощью дифференциалов часто производят приближённые вычисления значений функции, а также оценивают погрешности вычислений. Пусть, например, надо вычислить значение функции f(x) в точке х, если известны f(x₀) и f'(x₀). Заменяя приращение функции её дифференциалом, получают приближённое равенство

f(x₁) f(x₀) + df(x₀) = f(x₀) + f'(x₀) (x₁ - x₀).

Погрешность этого равенства приближённо равна половине второго дифференциала функции, т. е.

1/2 d²f = 1/2 f"(x₀)(x₁ – x₀)².

Приложения. В Д. и. устанавливаются связи между свойствами функции и её производных (или дифференциалов), выражаемые основными теоремами Д. и. К их числу относятся Ролля теорема, формула Лагранжа f(a) — f(b) = f'(c)(b — а), где a <>с <>b (подробнее см. Конечных приращений формула), и Тейлора формула.

Эти предложения позволяют методами Д. и. провести подробное исследование поведения функций, обладающих достаточной гладкостью (т. е. имеющих производные достаточно высокого порядка). Таким путём удаётся исследовать степень гладкости, Выпуклость и вогнутость, возрастание и убывание функций (См. Возрастание и убывание функции), их Экстремумы, найти их асимптоты (См. Асимптота), точки перегиба (см. Перегиба точка), вычислить кривизну (См. Кривизна) кривой, выяснить характер её особых точек (См. Особая точка) и т.д. Например, условие f'(x) > 0 влечёт за собой (строгое) возрастание функции у = f(x), а условие f"(x) > 0 — её (строгую) выпуклость. Все точки экстремума дифференцируемой функции, принадлежащие внутренности её области определения, находятся среди корней уравнения f'(x) = 0.

Исследование функций при помощи производных составляет основное приложение Д. и. Кроме того, Д. и. позволяет вычислять различного рода пределы функций, в частности пределы вида 0/0 и ∞/∞ (см. Неопределённое выражение (См. Неопределённые выражения), Лопиталя правило). Д. и. особенно удобно для исследования элементарных функций, т.к. в этом случае их производные выписываются в явной форме.

Д. и. функций многих переменных.Методы Д. и. применяются для изучения функций нескольких переменных. Для функции двух независимых переменных z = f (х, у) частной производной по х называется производная этой функции по х при постоянном у. Эта частная производная обозначается z'_x, f'_x (x, y), ∂z/∂х или ∂f(x, y)/∂x, так что

Аналогично определяется и обозначается частная производная z по у. Величина

Δz = f(x + Δx, y + Δy) - f(x, y)

называется полным приращением функции z = f(x, y). Если его можно представить в виде

Δz = AΔx + ВΔу + α,

где α — бесконечно малая более высокого порядка, чем расстояние между точками (х, у) и (х + Δх, у + Δу), то говорят, что функция z = f(x, y) дифференцируема. Слагаемые АΔх + ВΔу образуют полный дифференциал dz функции z = f(x, y), причём А = z'_x, B = z'_y. Вместо Δx и Δy обычно пишут dx и dy, так что

Геометрически дифференцируемость функции двух переменных означает существование у её графика касательной плоскости, а дифференциал представляет собой приращение аппликаты касательной плоскости, когда независимые переменные получают приращения dx и dy. Для функции двух переменных понятие дифференциала является значительно более важным и естественным, чем понятие частных производных. В отличие от функций одного переменного, для функций двух переменных существование обеих частных производных первого порядка ещё не гарантирует дифференцируемости функции. Однако, если частные производные кроме того ещё непрерывны, то функция дифференцируема.

Аналогично определяются частные производные высших порядков. Частные производные ∂²f/∂х² и ∂²f/∂у², в которых дифференцирование ведётся по одному переменному, называют чистыми, а частные производные ∂²f/∂x∂y и ∂²f/∂у∂х— смешанными. Если смешанные частные производные непрерывны, то они между собой равны. Все эти определения и обозначения переносятся на случай большего числа переменных.

Историческая справка. Отдельные задачи об определении касательных к кривым и о нахождении максимальных и минимальных значений переменных величин были решены ещё математиками Древней Греции. Например, были найдены способы построения касательных к коническим сечениям и некоторым другим кривым. Однако разработанные античными математиками методы были применимы лишь в весьма частных случаях и далеки от идей Д. и.

Эпохой создания Д. и. как самостоятельного раздела математики следует считать то время, когда было понято, что указанные специальные задачи вместе с рядом других (в особенности с задачей определения мгновенной скорости) решаются при помощи одного и того же математического аппарата — при помощи производных и дифференциалов. Это понимание было достигнуто И. Ньютоном и Г. Лейбницем.

Около 1666 И. Ньютон разработал метод флюксий (см. Флюксий исчисление). Основные задачи Ньютон формулировал в терминах механики: 1) определение скорости движения по известной зависимости пути от времени; 2) определение пройденного за данное время пути по известной скорости. Непрерывную переменную Ньютон называл флюентой (текущей), её скорость — флюксией. Т. о., у Ньютона главными понятиями были производная (флюксия) и неопределённый интеграл как первообразная (флюента). Он стремился обосновать метод флюксий с помощью теории пределов, хотя последняя была им лишь намечена.

В середине 70-х гг. 17 в. Г. Лейбниц разработал очень удобный алгоритм Д. и. Основными понятиями у Лейбница явились дифференциал как бесконечно малое приращение переменного и определённый интеграл как сумма бесконечно большого числа дифференциалов. Лейбницу принадлежат обозначения дифференциала dx и интеграла ∫ydx, ряд правил дифференцирования, удобная и гибкая символика и, наконец, сам термин «дифференциальное исчисление». Дальнейшее развитие Д. и. шло сначала по пути, намеченному Лейбницем; большую роль на этом этапе сыграли работы братьев Я. и И. Бернулли, Б. Тейлора и др.

Следующим этапом в развитии Д. и. были работы Л. Эйлера и Ж. Лагранжа (18 в.). Эйлер впервые стал излагать его как аналитическую дисциплину, независимо от геометрии и механики. Он вновь выдвинул к качестве основного понятия Д. и. производную. Лагранж пытался строить Д. и. алгебраически, пользуясь разложением функций в степенные ряды; ему, в частности, принадлежит введение термина «производная» и обозначения у' или f'(x). В начале 19 в. была удовлетворительно решена задача обоснования Д. и. на основе теории пределов. Это было выполнено главным образом благодаря работам О. Коши, Б. Больцано и К. Гаусса. Более глубокий анализ исходных понятий Д. и. был связан с развитием теории множеств и теории функций действительного переменного в конце 19 — начале 20 вв.

Лит.: История. Вилейтнер Г., История математики от Декарта до середины 19 столетия, пер. с нем., 2 изд., М., 1966; Стройк Д. Я., Краткий очерк истории математики, пер. с нем., 2 изд., М., 1969; Cantor М., Vorlesungen über Geschichte der Mathematik, 2 Aufl., Bd 3—4, Lpz. — В., 1901—24.

Работы основоположников и классиков Д. и. Ньютон И., Математические работы, пер. с латин., М. — Л., 1937; Лейбниц Г., Избранные отрывки из математических сочинений, пер. с латин., «Успехи математических наук», 1948, т. 3, в. 1; Л'Опиталь Г. Ф. де, Анализ бесконечно малых, пер. с франц., М. — Л., 1935; Эйлер Л., Введение в анализ бесконечных, пер. с латин., 2 изд., т. 1, М., 1961; его же, Дифференциальное исчисление, пер. с латин., М. — Л., 1949; Коши О. Л., Краткое изложение уроков о дифференциальном и интегральном исчислении, пер. с франц., СПБ, 1831; его же, Алгебраический анализ, пер. с франц., Лейпциг, 1864.

Учебники и учебные пособия по Д. и.Хинчин А. Я., Краткий курс математического анализа, 3 изд., М., 1957; его же, Восемь лекций по математическому анализу, 3 изд., М. — Л., 1948; Смирнов В. И., Курс высшей математики, 22 изд., т. 1, М., 1967; Фихтенгольц Г. М., Курс дифференциального и интегрального исчисления, 7 изд., т. 1, М., 1969; Ла Валле-Пуссен Ш. Ж. де, Курс анализа бесконечно малых, пер. с франц., т. 1, Л. — М., 1933; Курант Р., Курс дифференциального и интегрального исчисления, пер. с нем. и англ., 4 изд., т. 1, М., 1967; Банах С., Дифференциальное и интегральное исчисление, пер. с польск., 2 изд., М., 1966; Рудин У., Основы математического анализа, пер. с англ., М., 1966.

Под редакцией С. Б. Стечкина.

Рис. к ст. Дифференциальное исчисление.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ исчисление - раздел математики, в котором изучаются производные, дифференциалы и их применения к исследованию свойств функций. Производной функции y = f(х) называется предел отношения приращения ?y = y1 - y0 функции к приращению ?x = x1 - x0 аргумента при ?x, стремящемся к нулю (если этот предел существует). производная обозначается f?(x) или y?; таким образом, Дифференциалом функции y = f(x) называется выражение dy = y?dx, где dx = ?x - приращение аргумента x. Очевидно, что y? = dy/dx. Отношение dy/dx часто употребляют как знак производной. Вычисление производных и дифференциалов называют дифференцированием. Если производная f?(x) имеет, в свою очередь, производную, то ее называют 2-й производной функции f(x) и обозначают f??(x), и т. д. Основные понятия дифференциального исчисления могут быть распространены на случай функций нескольких переменных. Если z = f(x,y) - функция двух переменных x и y, то, зафиксировав для y какое-либо значение, можно дифференцировать z по x; полученная производная dz/dx = f?x называется частной производной z по x. Аналогично определяются частная производная dz/dy = f?y, частные производные высших порядков, частные и полные дифференциалы. Для приложений дифференциального исчисления к геометрии важно, что т. н. угловой коэффициент касательной, т. е. тангенс угла ? (см. рис.) между осью Ox и касательной к кривой y = f(x) в точке M(x0, y0), равен значению производной при x = x0, т. е. f?(x0). В механике скорость прямолинейно движущейся точки можно истолковать как производную пути по времени. Дифференциальное исчисление (как и интегральное исчисление) имеет многочисленные применения.

мат. differential calculus

differential calculus, calculus

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ, см. ИСЧИСЛЕНИЕ.

дифференциа́льное исчисле́ние

раздел математики, в котором изучаются производные, дифференциалы и их применения к исследованию свойств функций. Производной функции у = f(х) называется предел отношения приращения Δу = у₁ – у₀ функции к приращению Δх = x₁ – х₀ аргумента при Δх, стремящемся к нулю (если этот предел существует).Производная обозначается f\'(х) или у\'; т.о., . Дифференциалом функции у = f(х) называется выражение dy = у´dx, где dx = Δх — приращение аргумента х. Очевидно, что у\' = dy/dx. Отношение dy/dx часто употребляют как знак производной. Вычисление производных и дифференциалов называют дифференцированием. Если производная f\'(х) имеет, в свою очередь, производную, то её называют второй производной функции f(x) и обозначают f"(х), и т. д. Основные понятия дифференциального исчисления могут быть распространены на случай функций нескольких переменных. Если z = f(х, у) — функция двух переменных х и у, то, зафиксировав для у какое-либо значение, можно дифференцировать z по х; полученная производная называется частной производной z по х. Аналогично определяются частная производная , частные производные высших порядков, частные и полные дифференциалы. Для приложений дифференциального исчисления к геометрии важно, что так называемый угловой коэффициент касательной, то есть тангенс угла α (см. рис.) между осью Ох и касательной к кривой у = f(х) в точке М(х₀, у₀), равен значению производной при х = х₀, то есть f\'(х₀). В механике скорость прямолинейно движущейся точки можно истолковать как производную пути по времени. Дифференциальное исчисление (как и интегральное исчисление) имеет многочисленные применения.

* * *

ДИФФЕРЕНЦИА́ЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕ́НИЕ, раздел математики, в котором изучаются производные, дифференциалы и их применения к исследованию свойств функций.

Производной функции y = f(х) называется предел отношения приращения Dy = y₁ — y₀ функции к приращению Dx = x₁ – x₀ аргумента при Dx, стремящемся к нулю (если этот предел существует). Дифференциалом функции y = f(x) называется выражение dy = yўdx, где dx = Dx — приращение аргумента x. Очевидно, что yў = dy/dx. Отношение dy/dx часто употребляют как знак производной. Вычисление производных и дифференциалов называют дифференцированием. Если производная fў(x) имеет, в свою очередь, производную, то ее называют 2-й производной функции f(x) и обозначают fўў(x), и т. д. Основные понятия дифференциального исчисления могут быть распространены на случай функций нескольких переменных. Если z = f(x,y) — функция двух переменных x и y, то, зафиксировав для y какое-либо значение, можно дифференцировать z по x; полученная производная dz/dx = fў_x называется частной производной z по x. Аналогично определяются частная производная dz/dy = fў_y, частные производные высших порядков, частные и полные дифференциалы.

Для приложений дифференциального исчисления к геометрии важно, что т. н. угловой коэффициент касательной, т. е. тангенс угла a между осью Ox и касательной к кривой y = f(x) в точке M(x₀, y₀), равен значению производной при x = x₀, т. е. fў(x₀). В механике скорость прямолинейно движущейся точки можно истолковать как производную пути по времени. Дифференциальное исчисление (как и интегральное исчисление(см. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ)) имеет многочисленные применения.

на аналитических пространствах - обобщение классич. исчисления дифференциальных форм и дифференциальных операторов на случай аналитич. ространств. Об исчислении дифференциальных форм на комплексных многообразиях см. Дифференциальная форма. Пусть - аналитич. ространство над полем k,D.- диагональ в XxX, J - пучок идеалов, определяющий D и порожденный всеми ростками вида p₁^*f-p₂^*f, где f - произвольный росток из p_i:

Xx Х->Х - проекция на i-й сомножитель.

Аналитич. пучок p₁(J/J²)=Qx наз. пучком аналитических дифференциальных форм первой степени на X. Если f - росток аналитич. функции на X, то росток p₁^*f-p₂^*f, принадлежит J и определяет элемент df пучка W¹_X, p₁(J/J²), называемый дифференциалом ростка f. Тем самым определяется гомоморфизм пучков векторных пространств d :. Если Х=kⁿ, то W¹_X - свобод-

ный пучок, порожденный dx_x,..., dx _п, где х ₁,..., х _п- координаты в kⁿ. Если X- аналитич. одпространство в kⁿ, определяемое пучком идеалов J, то

С каждым аналитич. отображением f: X->Y можно связать пучок относительных дифференциалов W¹_X. Это - аналитич. учок W¹_X/Y, индуцирующий W¹_Xs на каждом слое отображения f; он определяется из точной последовательности

Пучок наз. пучком ростков аналитических векторных полей на X. Если X- многообразие, то и Q_X - локально свободные пучки, естественно изоморфные пучкам ростков аналитич. сечений кокасательного и касательного расслоений над Xсоответственно.

Аналитич. пучки наз. пучками аналитических внешних дифференциальных форм степени рна X (при k= С их наз. также голоморфными формами). Для всякого определяется гомоморфизм пучков векторных пространств dp: совпадающий при р=0 с введенным выше и удовлетворяющий условию d^p+1d^P= 0. Комплекс пучков (W*_X, d)наз. комплексом де Рама пространства X. Если X- многообразие и k=С или R, то комплекс де Рама является точным комплексом пучков. Если X многообразие Штейна или вещественное аналитич. многообразие, то когомологии комплекса сечений Г(W^*_X), часто также называемого комплексом де Рама, изоморфны Н ^Р( Х, к).

Если Xимеет особые точки, то комплекс де Рама не обязан быть точным. В случае, когда к = С, достаточным условием точности комплекса де Рама в точке хО Х является наличие у хкомплексно аналитически стягиваемой окрестности. Гипергомологии комплекса Г(W^*_X) при k=С содержат когомологии пространства Xс коэффициентами в С в качестве прямого слагаемого и совпадают с ними, если Xгладко. Сечения пучка Q_X наз. аналитическими (а при k=С также голоморфными) векторными полями на X. Поле определяет для любого открытого дифференцирование алгебры ацалитич. функций действующее по формуле = Z(dj). Если к=С или R, то Zзадает локальную однопараметрич. группу expt Zавтоморфизмов пространства X. Если при этом Xкомпактно, то группа expt Zопределима глобально.

Пространство Г(Х, Q_X), снабженное скобкой Ли, является алгеброй Ли над к. Если X- компактное комплексное пространство, то Г( Х,Q_X)- алгебра Ли группы Aut X.

Дифференциальные операторы на аналитич. ространстве (X,Q_X). определяются аналогично дифференциальным операторам модуля. Если F, G- аналитич. учки на Х, толинейным дифференциальным оператором порядка <l, действующим из Fв G, наз. гомоморфизм пучков векторных пространств продолжающийся до аналитич. омоморфизма Если Xгладко, a Fи Gлокально свободны, то это определение приводит к обычному понятию дифференциального оператора на векторном расслоении [3], [4].