«Лобачевский»

Николай Иванович — великий русский геометр, творец науки, называемой по его имени геометриею Лобачевского; род. 22 октября 1793 г., воспитывался в казанской гимназии и университете по математическому факультету. В 1811 г. Л. получил степень магистра и приступил к преподаванию в казанском унив. небесной механики и теории чисел. В 1816 г. Л. получил кафедру чистой математики. Он был 6 раз сряду избираем в ректоры университета и состоял членом многих ученых обществ и почетным членом университетов московского и казанского. Деятельность Л. была изумительна: он читал лекции и свои, и за своих товарищей, посылаемых за границу, присутствовал на всех заседаниях и в то же время являлся творцом совершенно новых взглядов на геометрию. В числе аксиом, положенных Евклидом в основание геометрии, существует одна, так называемая 11-я аксиома, сводимая к утверждению, что через одну точку может быть проведена к данной прямой только одна параллельная. Уже с давних пор многим геометрам это положение не представлялось очевидным, и существует огромная литература попыток доказать это положение, основываясь на других аксиомах; но все такие попытки были неудачны, представляя собою сведение 11-й аксиомы на какое-нибудь другое положение, тоже не очевидное. Таким образом, оставался нерешенным вопрос первостепенной важности: о степени достоверности геометрии, вытекающий из вопроса о том, достоверна ли 11-я аксиома. Эту трудную задачу, не поддававшуюся усилиям величайших умов, Л. решил окончательно, избрав чрезвычайно оригинальный путь. Л. попытался построить целую систему геометрических положений, исходящих из отрицания справедливости 11-й аксиомы, и притом систему строго логичную, не содержащую никаких внутренних противоречий. Если 11-я аксиома Евклида может быть доказана при помощи других аксиом, то она должна быть их следствием; если она представляет собою их следствие, то система Л., отвергающая ее, должна стать в противоречие с одной из других аксиом; если же такого противоречия не последует, то 11-я аксиома не представляет собою следствия одной из остальных аксиом, не может быть при помощи их доказана и является положением, которое следует или принять без доказательств, или свести на положение более очевидное. Против такого рассуждения возражали, говоря, что система Л. потому не встретилась с противоречием, что не была до него доведена, но итальянский геометр Бельтрами показал, что вся система Л. вполне совпадает с системою Евклида, если сравнить геометрию Л. на плоскости с обыкновенною геометриею на особой поверхности, называемой псевдосферою и представляющей вид шампанского бокала; так что если бы геометрия Л. встретила при своем развитии какие-либо несообразности, то и обыкновенная геометрия на псевдосфере была бы нелепа, откуда следует, что геометрия Л. не может быть приведена к абсурду. Таким образом, одна из великих заслуг Л. заключается в данном им доказательстве невозможности доказать 11-ю аксиому посредством других аксиом. Создав свою геометрию, Л. дал толчок к построению геометрических систем, имеющих дело с пространствами, совершенно не похожими на обыкновенное пространство, и этим указал на возможность логического мышления, имеющего объектами вещи, находящиеся вне времени и вне нашего обыкновенного пространства. В этом заключается высокое философское значение работ Л. Долгое время ученые мало обращали внимания на эти работы, и только Гаусс оценил при жизни Л. великое значение провозглашенных им идей; но после трудов Бельтрами, Римана и Гельмгольца эти идеи получили широкое распространение, и возник особый отдел математической литературы, представляющий собою значительное количество мемуаров, посвященных развитию идей Л. Казанское физико-математическое общество издало к юбилею Л., праздновавшемуся в день, когда исполнилось 100 лет со дня рождения великого геометра (сконч. Л. в 1656 г.), собрание переводов на русский язык важнейших основных сочинений по этой новой отрасли математики под общим заглавием "Об основании геометрии". Сочинения Л., ставящие его наряду с гениальнейшими математиками всех времен, суть следующие: "О началах геометрии" ("Казанский Вестн.", 1829-1830); "Géométrie imaginaire" ("Crell's Journal für die reine und angewandte Mathematik", т. 17); "Воображаемая геометрия" ("Учен. Записки Казанского Унив.", 1835); "Новые начала геометрии с полной теорией параллельных" ("Учен. Записки Казанского Унив.", 1835, 1836, 1837 и 1838); "Применение воображаемой геометрии к некоторым интегралам" ("Учен. Записки Казанск. Унив.", 1836); "Geometrische Untersuchungen zur Theorie der Parallellinien" (Б., 1840); "Pangéometrie ou précis de géométrie fondée sur une théorie générale et rigoureuse des parallèles" — в сборнике, изданном по случаю юбилея казанского унив. в 1856 г.

Н. Делоне.

Николай Иванович [20.11(1.12).1792, Нижний Новгород, ныне г. Горький, — 12 (24).2.1856, Казань], русский математик, создатель неевклидовой геометрии, мыслитель-материалист, деятель университетского образования и народного просвещения. Родился в семье мелкого чиновника. Почти всю жизнь Л. провёл в Казани. Там он учился в гимназии (1802—07) на казённом содержании, затем в Казанском университете (1807—11). Рано обнаружил выдающиеся способности, по окончании университета получил степень магистра (1811) и был оставлен при университете; в 1814 стал адъюнктом, в 1816 — экстраординарным и в 1822 — ординарным профессором. Несмотря на реакционную обстановку, сложившуюся в годы попечительства М. Л. Магницкого, Л. вёл напряжённую научную и педагогическую работу (преподавал математику, физику и астрономию), закупил в столице оборудование для физического кабинета и книги для библиотеки, а затем возглавлял её 10 лет (с 1825); Л. заведовал обсерваторией; избирался деканом физико-математического факультета (1820—22, 1823—25). Но столкновения с попечителем обострились: Л. отстаивал в преподавании научные материалистические взгляды.

В эти годы Л. отыскивал пути строгого построения начал геометрии. Сохранились: студенческие записи его лекций (от 1817), где им делалась попытка доказать постулат параллельности Евклида, но в рукописи учебника «Геометрия» (1823) он уже отказался от этой попытки. В «Обозрениях преподавания чистой математики» на 1822/23 и 1824/25 Л. указал на «до сих пор непобедимую» трудность проблемы параллелизма и на необходимость принимать в геометрии в качестве исходных понятия, непосредственно приобретаемые из природы. Наконец, преодолев тысячелетние традиции, он приходит к созданию новой геометрии — так называемой геометрии Лобачевского. 7 февраля 1826 он представил для напечатания в Записках физико-математического отделения сочинение: «Сжатое изложение начал геометрии со строгим доказательством теоремы о параллельных» (на французском языке). 11 февраля оно было рассмотрено и назначены рецензенты. Сам Л. указывал, что он читал это рассуждение на заседании отделения 12 февраля. Но издание не осуществилось. Рукопись и отзывы не сохранились, однако само сочинение было включено Л. в его труд «О началах геометрии» в журнале «Казанский вестник» (1829—30), явившийся первой в мировой литературе публикацией по неевклидовой геометрии. Исходя из поисков безусловной строгости и ясности в началах геометрии, Л. рассматривает аксиому параллельности Евклида как произвольное ограничение, как требование слишком жёсткое, ограничивающее возможности теории, описывающей свойства пространства. Он заменяет эту аксиому требованием более широким и общим, именно: на плоскости через точку, не лежащую на данной прямой, проходит более чем одна прямая, не пересекающая данную (по существу не менее чем одна, если учесть предельный случай).

Разработанная Л. новая геометрия существенно отличается от евклидовой геометрии, но при больших значениях входящей в формулы некоторой постоянной R (радиус кривизны пространства) отклонение становится незначительным (см. Лобачевского геометрия).

В соответствии со своим материалистическим подходом к изучению природы, Л. полагал, что только научный опыт может выявить, какая из геометрий осуществляется в физическом пространстве. Используя новейшие астрономические данные того времени, он пришёл к выводу, что число R очень велико и отклонения от евклидовой геометрии если и существуют, то заключены в пределах ошибок измерений. Т. о., была обоснована практическая пригодность евклидовой геометрии. Кроме того, Л. показал, как его геометрию можно применять в др. разделах математики, а именно в математическом анализе при вычислении определённых интегралов.

Доклад Л. совпал по времени с увольнением Магницкого. Л. был высоко оценен новым попечителем — М. Н. Мусиным-Пушкиным. Л. избрали ректором (1827) и за 19 лет руководства университетом он добился его подлинного расцвета. Программа деятельности Л. отражена в его замечательной речи «О важнейших предметах воспитания» (1828, опубликована 1832), в которой обрисован идеал гармонического развития личности, подчёркнуто общественное значение воспитания и образования, освещена роль наук и долг учёного перед страной и народом.

В бытность Л. ректором было осуществлено в 1832—40 строительство целого комплекса вспомогательных зданий: библиотека, астрономическая обсерватория, физический кабинет и химическая лаборатория, анатомический театр, клиника и др. Он положил начало «Учёным запискам Казанского университета» (1834) и развил издательскую деятельность. Уровень научно-учебной работы повысился, контингент студентов возрос. университет стал важным центром востоковедения. Немало сил Л. вкладывал и в улучшение постановки преподавания в гимназиях и училищах округа. В моменты стихийных бедствий (эпидемия холеры в 1830, пожар Казани в 1842) особенно ярко проявилась его забота об университете. Но ректорство не отрывало Л. от преподавания: в разные годы он читал лекции по аналитической механике, гидромеханике, интегральному исчислению, дифференциальным уравнениям, математической физике, вариационному исчислению, а в 1838—40 — научно-популярные лекции по физике для населения. Студенты высоко ценили лекции Л.

Однако научные идеи Л. не были поняты современниками. Его труд «О началах геометрии», представленный в 1832 советом университета в Академию наук, получил у М. В. Остроградского (См. Остроградский) отрицательную оценку, а в 1834 в реакции журнала «Сын отечества» появилась анонимная издевательская статейка. Но Л. не прекратил разработки своей геометрии. Его работы появлялись в 1835—38, а в 1840 в Германии вышла его книга «Геометрические исследования» (на немецком языке). Эта стойкая борьба за научную истину отличает Л. от двух его современников, тоже пришедших к открытию неевклидовой геометрии. Венгерский математик Я. Больяй опубликовал свой труд позднее Л. (1832). Не встретив поддержки у современников, он не продолжил исследований. Немецкий математик К. Ф. Гаусс также владел началами неевклидовой геометрии. Но из опасения встретить непонимание Гаусс не разрабатывал их далее и не опубликовал. Однако, не высказываясь в печати, он высоко оценил труды Л., и по его предложению Л. был в 1842 избран членом-корреспондентом Гёттингенского учёного общества.

Л. получил ряд ценных результатов и в др. разделах математики: так, в алгебре он разработал новый метод приближённого решения уравнений (Лобачевского метод), в математическом анализе получил ряд тонких теорем о тригонометрических рядах, уточнил понятие непрерывной функции и др.

В 1846 Л. оказался фактически отстранённым от университета. Он был назначен помощником нового попечителя (без оплаты) и лишён ректорства. Здоровье его пошатнулось. Но семейное горе — смерть сына, материальные затруднения и развивавшаяся слепота не могли сломить мужества Л. Последнюю работу «Пангеометрию» он создал за год до смерти, диктуя её текст.

Л. умер непризнанным. Большую роль в признании трудов Л. сыграли исследования Э. Бельтрами (1868), Ф. Клейна(1871), А. Пуанкаре (1883) и др. Казанский университет и физико-математическое общество провели большую работу по выявлению значения идей Л. и изданию его геометрических сочинений. Широкое признание пришло к 100-летнему юбилею Л. — была учреждена международная премия, в Казани открыт памятник (1896).

Соч.: Полн. собр. соч., т. 1—5, М. — Л., 1946—51; Избр. труды по геометрии, М. — Л., 1956.

Лит.: Васильев А. В., Лобачевский, СПБ, 1914; Каган В. Ф., Лобачевский, 2 изд., М. — Л., 1948 (имеется библ.); Лаптев Б. Л., Великий русский математик, «Вестник высшей школы», 1967, № 12; Историко-математические исследования, в, 3, 4, 6, 11, М. — Л., 1950—58 (ряд статей); Модзалевский Л. Б., Материалы для биографии Н. И. Лобачевского, М. — Л., 1948.

Б. Л. Лаптев.

Н. И. Лобачевский.

ЛОБАЧЕВСКИЙ Николай Иванович (1792-1856), русский математик, окончил Казанский университет, где был назначен на должность профессора в 1816 г. Его самое выдающееся достижение (обнародованное в 1826 г.) - создание одной из первых исчерпывающих систем НЕЕВКЛИДОВОЙ ГЕОМЕТРИИ.

ЛОБАЧЕВСКИЙ Николай Иванович (1792—1856) — русский математик, создатель новой геометрической системы (неевклидовой геометрии), философ, педагог. Член-корреспондент Геттингенского Ученого Общества (1842). К столетнему юбилею Л. учреждена Международная премия имени Л. (с 1895). Учился в Казанской гимназии (1802—1807) и Казанском университете (1807—1811). Оставлен при Казанском университете, с которым связана вся его деятельность: магистр математики (1811), адъюнкт (1814), экстраординарный профессор (1816), библиотекарь университета (1819— 1835, оставался в этой должности, даже будучи ректором), ординарный профессор (с 1822), декан физико-математического факультета (1820—1822, 1823— 1825), ректор Казанского университета (1827—1846), который под руководством Л. стал первоклассным высшим учебным заведением России того времени; инициатор издания и редактор ‘Ученых записок Казанского университета’ (с 1834), помощник попечителя Казанского учебного округа (1846—1856). Главные труды: речь ‘Сжатое изложение основ геометрии со строгим доказательством теоремы о параллельных’ (23.2.1826), книги ‘О началах геометрии’ (1829— 1830), ‘Воображаемая геометрия’ (1835), ‘Применение воображаемой геометрии к некоторым интегралам’ (1836), ‘Новые начала геометрии с полной теорией параллельных’ (1835—1838), ‘Геометрические исследования по теории параллельных линий’ (1840), ‘Пангеометрия’ (1855). В СССР было издано полное собрание сочинений Л. в пяти томах (1946—1951). Ему принадлежат также фундаментальные труды в области математического анализа (тригонометрические ряды) и алгебры. Л. является создателем ‘геометрии Л.’ — неевклидовой геометрической системы, которая стала поворотным пунктом в развитии математического мышления в 19 в. В своем труде ‘Геометрические исследования по теории параллельных линий’ Л. доказал, что основное положение теории параллельных линий принималось без тщательного анализа необходимости этого положения. Суть дела, по Л., в следующем: в случае одной плоскости, в результате пересечения двух прямых линий, лежащих на ней, третьей прямой линией получается 8 углов. Если сумма одностороних внутренних углов из них равна сумме двух прямых углов, то две пересекаемые прямые линии являются параллельными. Геометрия Евклида утверждает справедливость и обратного утверждения: всякий раз, когда две прямые линии параллельны, то при их пересечении третьей прямой линией сумма одностороних внутренних углов из них равна сумме двух прямых углов. Это составляет основание так называемого пятого постулата Евклида ‘о параллельных линиях’, который значительно более содержателен по сравнению с другими постулатами. При этом в геометрии Евклида многие предложения возможно доказать и без его применения. Необходимость принятия этого утверждения без доказательства во все времена интерпретировалась ведущими математиками как существеннейший недостаток теории параллельных линий. Поэтому еще со времен Античности предпринимались безуспешные попытки непосредственных доказательств (из введенных до этого четырех постулатов) пятого постулата в форме логического вывода утверждения, заключенного в нем. Л. также делал неудавшиеся попытки отыскания доказательства пятого постулата, однако позднее пришел к необходимости создания новой геометрической системы. Совокупность предложений геометрии, доказываемых без применения постулата о параллельных линиях, составляет основание того, что было названо ‘абсолютной геометрией’. В своем труде ‘Геометрические исследования по теории параллельных линий’ Л. сначала изложил предложения абсолютной геометрии, и только на основании этого подошел к доказательству предложений, которые принципиально невозможно доказать без применения постулата о параллельных линиях. Такая дифференциация и составила основу позднейших работ Л. в этом направлении. Л. так определял основные выводы из своей речи ‘Сжатое изложение основ геометрии со строгим доказательством теоремы о параллельных’: ‘...Напрасное старание со времен Евклида, в продолжение двух тысяч лет, заставило меня подозревать, что в самых понятиях не заключается той истины, которую хотели доказать и которую поверить, подобно другим физическим законам, могут лишь опыты, каковы, например, Астрономические наблюдения...’. При этом Л. выдвигал допущение, что в случае одной плоскости через точку С, не принадлежащую прямой линии AB, возможно провести как минимум две прямые линии, не пересекающих прямую линию AB (а это полностью противоречило постулату Евклида о параллельных). По идее Л., оно должно было бы противоречить абсолютной геометрии и, тем самым, привести к доказательству постулата Евклида о параллельных линиях. Однако сделанные Л. выводы из этого допущения и положений абсолютной геометрии привели к созданию полностью непротиворечивой геометрической системы, отличающейся от геометрии Евклида, — неевклидовой геометрии. Л. назвал ее ‘воображаемой геометрией’. Независимо от Л., непосредственно к обоснованию неевклидовой геометрии в 1832 подошел венгерский математик Я.Больяи. Известно также, что аналогичными проблемами активно занимался германский математик К.Гаусс, который никак не выражался по этому поводу публично: ‘...возможно даже, что я не решусь на это во всю свою жизнь, потому что я боюсь крика беотийцев /Беотия — область Древней Греции, жителям которой, согласно древним легендам, приписывались ограниченные умственные способности — C.C./, который поднимется, когда я выскажу свои воззрения целиком...’ (именно К.Гаусс инициировал избрание Л. в член-корреспонденты Ученого общества Геттингена). В дальнейшее развитие идей Л. немецкий математик Б.Риман в своей лекции ‘О гипотезах, лежащих в основаниях геометрии’ (1854) выдвинул общую идею математических пространств (включая пространства функциональные и топологические): он рассматривал геометрию уже в широком смысле как учение о непрерывных многомерных многообразиях (т.е. совокупностях любых однородных объектов), обобщив результаты исследований К.Гаусса по внутренней геометрии поверхностей; провел фундаментальные исследования римановых пространств (обобщивших геометрию Евклида, гиперболические геометрии Л. и эллиптические геометрии Римана). По поводу применимости этих идей к реальному физическому пространству Б.Риман, в первую очередь, ставил вопрос о ‘...причинах метрических свойств... его’, совместно с Л. предварял тем самым то, что было сделано Эйнштейном в общей теории относительности. Л. в своих исследованиях интерпретировал исходные математические абстракции (в том числе основные понятия геометрии) как отражения базисных реальных отношений и свойств материального мира, полагая, что в природе мы ‘...познаем собственно только движение, без которого чувственные впечатления невозможны... все прочие понятия, например, геометрические, произведены нашим умом искусственно, будучи взяты в свойствах движения... Первыми данными, без сомнения, будут всегда те понятия, которые мы приобретаем в природе посредством наших чувств... Первые понятия, с которых начинается какая-нибудь наука... приобретаются чувствами; врожденным — не должно верить...’. По Л., математические абстракции рождаются не по произволу человеческой мысли, а в результате взаимоотношения личности с реальной действительностью: ‘...Поверхности и линии не существуют в природе, а только в воображении: они предполагают, следовательно, свойство тел, познание которых должно родить в нас понятие о поверхностях и линиях...’; в основаниях математических наук должны лежать ‘приобретаемые из природы’, а не произвольные понятия, а те, кто хотел ‘...ввести подобные понятия в математику, не нашли себе последователей. Такую участь имели основания форономии Канта...’. Противоположение априоризму Канта была одной из важнейших предпосылок создания неевклидовых геометрий. Показав неустойчивость оснований геометрии Евклида, Л. отвергал теорию Канта, интерпретировавшую базисные аксиомы евклидовой геометрии не как результат опыта человечества, а как врожденные формы человеческого сознания. (Мнение Пирса о значении геометрии Л. — см. Пирс.) Л. признавал несостоятельность попыток вывода оснований математики из одних лишь построений разума: ‘...все математические начала, которые думают произвести из самого разума, независимо от вещей мира, останутся бесполезными для математики...’. В ректорской ‘Речи о важнейших предметах воспитания’ Л. говорил, что ‘...в это заведение вступивши, юношество не услышит пустых слов без всякой мысли, одних звуков без всякого значения. Здесь учат тому, что на самом деле существует; а не тому, что изобретено одним праздным умом...’. Для Л. целью научного знания было не развитие оторванных от жизни понятий, а изучение реального мира. Возможность соответствия построенной им геометрии отношениям, существующим в реальном мире, Л. стремился подтвердить опытной проверкой. Признавая фундаментальную роль гипотез для развития науки, Л. требовал при выборе гипотез руководствоваться практикой, позволяющей останавливаться на тех из них, которые вернее отражают соотношения, наблюдаемые в действительности. Руководящим принципом всей деятельности Л.-педагога была мысль о том, что опыт, практика дают уверенность в правильности теоретических выводов. Л. требовал такого начального обучения математике, которое приучало бы учащихся за математическим действиями видеть явления реальной действительности. Л. в своей активной деятельности за правильную организацию народного образования призывал к тому, чтобы каждый пришедший в университет стал гражданином, который ‘...высокими познаниями своими составляет честь и славу своего Отечества...’.

ЛОБАЧЕ́ВСКИЙ

Николай Иванович [20 нояб. (1 дек.) 1792 – 12(24) февр. 1856 ] – рус. математик и мыслитель-материалист, создатель гиперболической неэвклидовой геометрии. Род. в Нижнем Новгороде в семье бедного чиновника. Окончил Казанский ун-т (1811); адъюнкт (1814), проф. (с 1816), декан фак-та (1820–1821, 1823–25) и ректор (1827–46) этого ун-та. Л. руководил организацией нар. образования в казанском учебном округе, вначале как член училищного комитета (1818) и его председатель (1827), а в последние годы жизни (1846–56) – как помощник попечителя округа. Кроме геометрич. работ, Л. принадлежит ряд соч. по алгебре, математич. анализу, теории вероятностей, механике, физике и астрономии. Он разработал один из наиболее совершенных методов приближенного решения алгебраич. уравнений, дал почти современное определение функции, указав на различие свойств непрерывности и дифференцируемости их. Л. впервые публично высказал мысль о возможности построения новой геометрии 23 февр. 1826 на заседании физико-математич. отделения Казанского ун-та. В 1829–30 он опубликовал свои исследования "О началах геометрии" в "Казанском вестнике". На место евклидова постулата о параллельных Л. ставит аксиому: "Через точку, не лежащую на данной прямой, проходят по крайней мере две прямые, лежащие с ней в одной плоскости и не пересекающие ее". Опираясь на эту аксиому, а также на аксиомы т.н. абсолютной геометрии (т.е. геометрии, не зависящей от V постулата Эвклида) Л. строит новую геометрич. систему, логически строгую и непротиворечивую. Идеи Л. поразили современников кажущейся парадоксальностью, несоответствием с обычными наглядными представлениями о пространстве. В действительности же Л. только вскрыл относительный характер исходных начал геометрии Эвклида с т. зр. соответствия "природе вещей". Определяющий девиз Л. (формулируемый им словами Ф. Бэкона): "спрашивайте природу, она хранит все истины и на вопросы ваши будет отвечать вам непременно и удовлетворительно" (Модзалевский Л. Б., Материалы для биографии Н. И. Лобачевского, 1948, с. 204). Естественно, поэтому, что истинность той или иной геометрии определяется, по Л., не a priori, как это утверждала кантианская философия, противником к-рой был Л., а с помощью опытов. Л. считал, что истинность геометрич. понятий могут подтвердить "...лишь опыты, каковы, например, Астрономические наблюдения" (Полн. собр. соч., т. 2,1949, с. 147). Все это имело большое значение для борьбы против идеализма в математике.

Вытекающая из открытия Л. идея о многообразии пространственных свойств действит. мира, получающем свое отражение в многообразии геометрич. систем, приобрела глубокий научный смысл и оказалась исключительно плодотворной для развития геометрич. исследований 19–20 вв. Не менее важной была и другая идея Л. – о зависимости геометрич. свойства пространства от его физич. природы, которая получила блестящее подтверждение в совр. физике. Эта идея лежит в основе общей относительности теории.

Как в своих математич. воззрениях, так и в разработке вопросов воспитания Л. исходил из признания объективности и материальности внешнего мира и считал, что "первыми данными без сомнения будут всегда те понятия, которые мы приобретаем в природе посредством наших чувств" (там же, с. 164). Вместе с тем он придавал большое значение разуму в познании, логич. стороне исследований.

Соч.: Полн. собр. соч., т. 1–5, М.–Л., 1946–51; Три сочинения по геометрии. Геометрия. Геометрические исследования по теории параллельных линий. Пангеометрия, М., 1956.

Лит.: Васильев А. В., Н. И. Лобачевский, СПБ, 1914; Каган В. Ф., Лобачевский, 2 Изд., М.–Л., 1948 (имеется библиография); Яновская С. Α., Передовые идеи Н. И. Л. – орудие борьбы против идеализма в математике, М.–Л., 1950; Сто двадцать пять лет неевклидовой геометрии Л. 1826–1951, М.–Л., 1952; Ρыбкин Г. Ф., О мировоззрении Н. И. Л., "Успехи матем. наук", 1951, т. 6, вып. 3 (43), май–июнь; его же, Н. И. Лобачевский, "Вопр. истории естествознания и техники", вып. 2, М., 1956; Кольман Э., Великий рус. мыслитель Н. И. Л., 2 изд., М., 1956; Курсанов Г. Α., О значении идей Н. И. Л. для развития материалистич. представлений о пространстве в совр. науке, в кн.: Филос. вопросы физики и химии, Свердл., 1959.

Г. Курсанов. Москва.