Большой англо-русский и русско-английский словарь
integral equation
Англо-русский словарь технических терминов
integral equation
Физическая энциклопедия
- ИНТЕГРАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ
- ур-ние, содержащее неизвестную ф-цию под знаком интеграла. Их принято разделять на две большие группы: линейные и нелинейные И. у. Линейным И. у. наз. ур-ние вида
где А, К, f - заданные ф-ции, j - неизвестная ф-ция, D - область евклидова пространства. Ф-ция К наз. ядром И. у., ф-ция f - свободным членом. Интегрирование в (1) производится по всему объёму области D, ds - элемент объёма. Если свободный член f=0, то ур-ние (1) наз. однородным, в противном случае - неоднородным. Кроме того, И. у. различают по типу. Если A(x)=0 в области D, то ур-ние (1) наз. И. у. 1-го рода; если A(x)№0для всех точек области D,- И. у. 2-го рода; если А(х )обращается в нуль на нек-ром подмножестве области D,- И. у. 3-го рода. <Аналогично записывают систему линейных И. у., когда А, К - матрицы-функции, а f и j - вектор-функции. И. у. появились в нач. 19 в., общая теория построена в кон. 19 - нач. 20 вв. в работах В. Вольтерры (V. Volterra), Э. Фредгольма (Е. Fredholm), Д. Гильберта (D. Hilbert) и Э. Шмидта (Е. Schmidt).В одномерном случае на отрезке [а, b] И. у. 1-го и 2-го рода записывают в виде
Число lназ. параметром И. у. Налагая дополнит, ограничения на известные ф-ции И. у., в частности на ядро К, выделяют класс Фредгольма уравнений. Напр., к ур-ниям Фредгольма приводит свойство квадратичной интегрируемости ядра, свободного члена и искомойф-ции, т. е.
Комплексное значение параметра l, при к-ром ур-ние (3) с нулевым свободным членом (f=0) имеет решение, наз. характеристическим или собственным числом (значением) ядра К или И. у. Ненулевое решение ур-ния (3) при f=0 наз. характеристической или собственнойфункцией ядра К или И. у., принадлежащей собств. числу l. Если lне является собств. значением ядра К, то его наз. правильным (регулярным) значением (числом) ядра К. Если ядро К(х, s )обращается в нуль при x<s (т. н. ядро Вольтерры), то ур-ния (2), (3) перепишутся в виде
и наз. Вольтерры уравнениями1-го и 2-го рода соответственно. <И. у. Фредгольма 2-го рода
где
- эрмитово сопряжённое ядро, * означает комплексное сопряжение, наз. союзным к ур-нию (3). Для ур-ний Фредгольма с непрерывным ядром доказана совокупность теорем, дающих общие сведения о решениях. Из этих теорем следует, что множество собств. значений непрерывного ядра не более чем счётно и не имеет конечных предельных точек. (Непрерывные ядра Вольтерры вообще не имеют собств. чисел.) Кроме того, каждому собств. числу l, соответствует конечное число (наз. к. <ратностью собств. значения) линейно независимых собств. ф-ций. <В терминах собств. чисел и собств. ф-ций результаты Фредгольма формулируют в след, форме. Пусть lk и rk/(k=1,2,...) - собств. числа и соответств. этим собств. числам кратности. Если l№lk,то И. у. (3) и (4) однозначно разрешимы при любых свободных членах. Если l=lk, то однородные И. у., соответствующие ур-ниям (3) и (4), имеют одинаковое (конечное) число rk линейно независимых решений: собств. ф-ций jk, jk+1,...,jk+rk-1 ядра К и собств. ф-ций yk, yk+1,...,yk+rk-1 ядра 
, соответствующих собств. значениям lk и lk*. Если l=lk, то для разрешимости ур-ния (3) необходимо и достаточно, чтобы (f, yk+i)=0, i= 0, 1,..., rk-1. При достаточно малых lрешение ур-ния Фредгольма можно найти методом последоват. приближений, решение записывают в виде ряда Неймана. <Результаты Фредгольма распространяются на И. у. с полярным ядром 
, где L(х,s) - непрерывное ядро, a<1. Ядро К(х, s )И. у. наз. вырожденным, еслионо представимо в виде суммы:В этом случае И. у. Фредгольма 
2-го рода сводится к системе линейных алгебраич. ур-ний для mнеизвестных. Для И. у. с веществ, симметричным ядром К (х,s) = K(s, х )справедлива теория Гильберта - Шмидта. При f=0 ур-ние (3) имеет, по крайней мере, одно собств. число, собств. числа действительны; каждая пара собств. ф-ций j1( х )и j2(x), соответствующих разл. собств. числам l1№l2, ортогональна, т. е.
; ввиду действительности ядра можно выбирать и действит. собств. ф-ции; в каждом конечном интервале оси lнаходится конечное число собств. чисел, каждому собств. числу lk соответствует конечное число rk линейно независимых собств. ф-ций. Множество всех собств. чисел ур-ния (3) наз. спектром этого ур-ния. <Собств. ф-ции и собств. числа можно расположить в виде последовательностей l1, l2,..., lm,...; j1, j2,..., jm,... в порядке возрастания абс. величины собств. чисел|lk|[|lk+1|. Собств. число lk повторяется в последовательности rk раз, последовательность {jm} можно выбрать ортонормированной. Ядро можно разложить по системе собств. ф-ций {jm} ядра К(х, s) в билинейный ряд
Для решения неоднородного ур-ния (3) имеются след. теоремы: если l не совпадает ни с одним собств. числом ядра К, то ур-ние (3) имеет единств, решение j, к-рое даётся ф-лой
где lk - собств. число,
- коэф. Фурьеф-ции f относительно ортонормиров. системы собств. ф-ций {jm}; если же X совпадает с одним из собств. чисел, напр. l=lk, ранга rk, то ур-ние (3) разрешимо лишь в том случае, если выполняются rk условий:
т. е. если ф-ция f ортогональна собств. ф-циям jm, принадлежащим собств. числу lk. В этом случае ур-ние (3) имеет бесконечно много решений, к-рые содержат rk произвольных постоянных и выражаются ф-лой
lk№lj, где с 0, c1,..., crk-1- произвольные постоянные. Для вырожд. ядер (не обязательно симметричных), ряды (5), (6) содержат лишь конечное
число членов. Ф-лы (5), (6) наз. формулами Шмидта. <Теорию Гильберта-Шмидта можно распространить с нек-рыми изменениями и на комплекснозначные ф-ции. Аналогом симметричного ядра становится эрмитово ядро К(х, s)=K*(s, x). Существует также обобщение этой теории на случай полярного ядра К(х, s)=L(x,s)|x-s|-a, где L(x, s) - непрерывное ядро, a<1. Краевые задачи и задачи на собств. значения для эрмитовых дифференц. операторов сводятся к И у. с симметричными ядрами. Поэтому теория Гильберта - Шмидта важна для квантовой механики, она позволяет исследовать спектры разл. операторов, используется в теории рассеяния, даёт возможность найти решения ур-ния Шрёдингера для нек-рых потенциалов. <При решении И. у., ядро к-рых зависит от разности аргументов (И. у. типа свёртки), эффективным оказывается применение интегральных преобразований (Фурье или Лапласа) и основанного на них Винера-Хопфа метода. Для И. у. вида
удобно применять Меллина преобразование. Во всех указанных случаях И. у. приводится к алгебраич. ур-нию, а решение фактически сводится к задаче обращения интегрального преобразования. <Для И. у. 1-го рода нет общей теории, однако в нек-рых частных случаях их решение может быть найдено, напр, ур-ния Вольтерры 1-го рода удаётся свести к ур-ниям Вольтерры 2-го рода. <Линейные И. у. с ядрами, не являющимися ядрами Фредгольма, наз. сингулярными интегральными уравнениями. В этом случае теория Гильберта-Шмидта, вообще говоря, не применима. Однако для нек-рых конкретных классов сингулярных ур-ний удаётся получить важные общие результаты (см., напр., Гильберта преобразование). И. у., содержащие неизвестную ф-цию нелинейно, наз. нелинейными интегральными уравнениями. Для нек-рых типов нелинейных И. у. разработана достаточно полная теория. Исследовано ветвление решений нелинейных И. у.: найдена зависимость решения от параметров И. у., получены значения параметров, при к-рых решение разветвляется, найдено число ветвей и представление каждой ветви как ф-ции параметров. Важность И. у. для матом, физики определяется тем, что краевые задачи и задачи на собств. значения для дифференц. ур-ний можно свести при помощи Грина функций к И. у. Лит.:Мусхелишвили Н. И., Сингулярные интегральные уравнения, 3 изд., М., 1968; Три коми Ф., Интегральные уравнения, пер. с англ., М., 1960; Владимиров В. С., Уравнения математической физики, 5 изд., М., 1988; Интегральные уравнения, М., 1968; Вайнберг М. М., Треногий В. А., Теория ветвления решений нелинейных уравнений, М., 1969. С. В. Молодцов.
Энциклопедический словарь
интегра́льное уравне́ние
уравнение, содержащее неизвестную функцию под знаком интеграла.
* * *
ИНТЕГРАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕИНТЕГРА́ЛЬНОЕ УРАВНЕ́НИЕ, уравнение, содержащее неизвестную функцию под знаком интеграла.
Математическая энциклопедия
численные методы решения,- методы нахождения приближенных решений И. у.
Требуется найти решение ф (х)одномерного уравнения Фредгольма 2-го рода
где f(x)непрерывна на [ а, b], X- числовой параметр, К( х, s )непрерывна на 
Пусть lне является собственным значением ядра К( х, s). Тогда уравнение (1) имеет единственное решение j(x), непрерывное на [а, b]. При этих условиях можно указать следующие способы получения приближенного решения.
Первый способ. Пусть аи b- конечные. числа. Интеграл в (1) заменяют интегральной суммой по сетке {sj}, j= 0, 1, 2,..., п, а переменной хпридают значения х 1, х 2,..., х п. Получается система линейных алгебраич. уравнений относительно фу
где Aij=1-l С j К ( х i, xj), С j- коэффициенты квадратурной формулы, по к-рой интеграл в (1) заменен интегральной суммой. Система (2) при достаточно больших пимеет единственное решение {jj }. В качестве приближенного решения уравнения (1) можно брать функцию 
так как при 
и 
последовательность функций jn(x). равномерно сходится на [а, b]к искомому решению уравнения (1), См. [1], [2], [3], [4].
При замене интеграла по квадратурной формуле надо иметь в виду, что чем более точная квадратурная формула используется, тем большую гладкость ядра и решения (а следовательно, и f(x))надо требовать.
В случае, когда промежуток интегрирования (а, b) бесконечный, его заменяют конечным промежутком (a1, b1), пользуясь априорной информацией о поведении искомого решения j(x). при больших значениях| х|. Полученное уравнение решают приближенно описанным способом; либо заменой переменной интегрирования сводят промежуток интегрирования к конечному;
либо применяют квадратурные формулы для бесконечного промежутка.
Второй способ. В уравнении (1) ядро К( х, s )заменяют аппроксимирующим его вырожденным ядром
в к-ром функции {а i (х)}линейно независимы. Получающееся при этом уравнение
имеет решение j(х)вида
в к-ром постоянные
подлежат определению. Подставляя функцию 
в уравнение (3) и сравнивая коэффициенты при функциях а i (х), получают систему линейных алгебраич. уравнений для С i вида
где 
Определив С i из этой системы и подставив их в (4), получают функцию 
к-рая и принимается за приближенное решение уравнения (1), так как при достаточно хорошей аппроксимации ядра К( х, s )вырожденным ядром решение уравнения (3) произвольно мало отличается от искомого решения j(х). на любом отрезке 
а если ( а, b)- конечный промежуток, то -и на отрезке [ а, b](см. [1], [4]).
Третий способ. В качестве приближенных решений берутся функции j п (х), получаемые методом итераций по формулам
j0(x) = f(x), так как последовательность {j п (х)} равномерно сходится, к искомому решению при 
если|l|<1/M(b-a), M=sup|K(x, s)|. Сходимость {jn(x)} к точному решению имеет.место и для ядер с интегрируемой особенностью (см. [1]). Оценки погрешностей этих методов содержатся в [1] - [7]. В [8] рассматривается вопрос о минимальном числе арифметич. операций, необходимых для того, чтобы получить приближенное значение интеграла с заданной точностью. Решение этой задачи эквивалентно отысканию величины минимальной погрешности приближенного решения задачи при заданном числе арифметич. операций.
Для решения интегральных уравнений Фредгольма 1-го рода требуется применять специальные методы, так как эти задачи являются некорректно поставленными. Если в уравнении (1) lсовпадает с одним из собственных значений ядра К( х, s), то в этих условиях задача нахождения решения уравнения (1) является некорректно поставленной и требует применения специальных методов (см. Некорректные задачи).
Нелинейные И. у. 2-го рода приближенно решают обычно методом итераций (см. [3]).
Для получения приближенных решений как линейных, так и нелинейных И. у. применяют также Галеркина метод.
Аналогичные методы можно применять и для получения приближенных решений многомерных интегральных уравнений Фредгольма 2-го рода. Однако численная реализация их сложнее. О кубатурных формулах приближенного вычисления кратных интегралов и оценках их погрешностей см. [5] - [10]. В [10] рассмотрен метод Монте-Карло приближенного вычисления кратных интегралов.
Лит.:[1] Петровский И. Г., Лекции по теории интегральных уравнений, 3 изд., М., 1965; [2]. Бахвалов Н. С, Численные методы, 2 изд., М., 1975; [3] Березин И. С, Жидков Н. П., Методы вычислений, 3 изд., т. 1, 1966; [4] Канторович Л. В., Крылов В. II., Приближенные методы высшего анализа, 5 изд., М.- Л., 1962; [5] Мысовских И. П., "Сиб. матем. ж.", 1964, т. 5, № 3, с. 721-23; [6] его же, "Ж. вычисл. матем. и матем. физ.", 1972, т. 12, №. 2; [7] его же, там же, 1975, т. 15,,№ 6; [8] Емельянов К. В., Ильин А. М., "Ж. вычисл. матем. и матем. физ.", 1967, т. 7, № 4, с. 905-10; [9] Соболев С. Л., Введение в теорию кубатурных формул, М., 1974; [10] Соболь И. М., Многомерные кубатурные формулы и функции Хаара, М., 1969.
В. Я. Арсенин.
Математическая энциклопедия
- уравнение, содержащее искомую функцию под знаком интеграла. И. у. делятся на два основных класса: линейные И. у. и нелинейные И. у.
Линейные И. у. имеют вид
где А, К, f - заданные функции, из которых Аназ. коэффициентом, К- ядром, f - свободным членом (или правой частью) И. у., D- ограниченная или неограниченная область евклидова пространства одного или многих измерений, х, s- точки этого пространства, ds- элемент объема, j - искомая функция. Требуется определить ф так, чтобы уравнение (1) удовлетворялось для всех (или почти всех, если интеграл рассматривается в смысле Лебега) хиз D. Если в (1) А, К - матрицы, f, j - вектор-функции, тогда (1) наз. системой линейных И. у. Если f=0, то И. у. наз. однородным, в противном случае - неоднородным.
В зависимости от коэффициента Аразличают три типа линейных И. у. Если (х) = 0 для всех 
то (1) наз. уравнением 1-го рода; если 
для всех 
- уравнением 2-го рода; если (х)обращается в нуль на некотором подмножестве области D- уравнением 3-го рода.
В дальнейшем, для простоты изложения, рассматриваются И. у. в одномерном случае, когда D- конечный отрезок [ а, b]. В этом случае линейные И. у. 1-го и 2-го рода можно представить соответственно в виде:
постоянное число Xназ. параметром И. у. При исследовании задач математич. физики особенно часто встречаются уравнения 2-го рода. Если ядро Кфредгольмово, т. е. интегральный оператор в уравнениях (2), (3) вполне непрерывен, то И. у. (2), (3) наз. уравнениями Фредгольма 1-го и 2-го рода соответственно. Важным примером уравнения Фредгольма является уравнение, в к-ром ядро Кудовлетворяет условию
а правая часть f и искомая функция j - интегрируемые с квадратом функции. Уравнение
наз. однородным И. у., соответствующим неоднородному И. у. (3). Аналогично определяется однородное И. у., соответствующее уравнению (2). Однородное И. у. всегда имеет решение j=0, к-рое наз. нулевым (или тривиальным) решен и ем. Значение параметра X, при к-ром И. у. (5) имеет ненулевое решение j, наз. характеристическим (или фундаментальным) значением (числом) ядра Кили И. у. (5), а ненулевое решение j - собственной (или фундаментальной) функцией ядра Кили И. у. (5), принадлежащей (или соответствующей) данному характеристич. значению l. Если l не есть характеристич. число, тогда его наз. правильным (или регулярным) значением (числом). Комплексное ядро Кназ. эрмитовым, если
где черта означает переход к комплексно сопряженному значению. В случае вещественного ядра равенство (6) принимает вид К( х, s)=K(s, х). Такое ядро наз. симметричным.
Фредгольмово ядро может не иметь характеристич. числа (напр., в случае ядра Вольтерра, см. ниже). Если ядро симметрично и не равно нулю почти всюду, тогда оно имеет, по крайней мере, одно характеристич. число и все характеристич. числа вещественны.
Если ядро Кобращается в нуль при s>x (так наз. ядро Вольтерра), то уравнения (2) и (3) принимают вид:
Эти уравнения наз. Вольтерра уравнениями1-го и 2-го рода соответственно.
Частные примеры И. у. начали появляться в 1-й пол. 19 в. И. у. стали объектом особого внимания математиков после того, как удалось свести решение Дирихле задачи для уравнения Лапласа к исследованию линейного И. у. 2-го рода. Построение общей теории линейных И. у. было начато в конце 19 в. Основоположниками этой теории считаются В. Вольтерра (V. Volterra, 1896), Э. Фредгольм (Е. Fredholm, 1903 [5]), Д. Гильберт (D. Hilbert, 1912 [6]) и Э. Шмидт (Е. Schmidt, 1907 [7]). Еще до исследований этих ученых для построения решения И. у. был предложен метод последовательных приближений. Этот метод применялся сначала для решения нелинейных И. у. типа Вольтерра (по современной терминологии) в связи с исследованиями обыкновенных дифференциальных уравнений в работах Ж. Лиувилля (J. Liouville, 1838), Л. Фукса (L. Fuchs, 1870), Дж. Пеано (G. Peano, l888) и др., а К. Нейманом (С. Neumann, 1877) - для построения решения линейного И. у. 2-го рода. Общую форму методу последовательных приближений придал Э. Пикар (Е. Picard, 1893).
При изучении уравнения колеблющейся мембраны A. Пуанкаре (Н. Poincare, 1896) пришел к идее введения переменного численного параметра l. в уравнении (3). Тогда же им была высказана гипотеза, что (аналогично случаю уравнения колеблющейся мембраны) решение И. у. (3) является мероморфной функцией от X. Эту гипотезу доказал Э. Фредгольм (1900-03). Работам Э. Фредгольма предшествовали исследования В. Вольтерра (1896-97), к-рый изучил И. у. вида (7), (8). Он доказал, что если ядро и правая часть уравнения непрерывны, то (8) имеет при любом конечном значении Xодно и только одно непрерывное решение, к-рое можно построить по методу последовательных приближений. Уравнение (3) изучалось Э. Фредгольмом в предположении, что его ядро, а также правая часть и искомое решение - непрерывные функции соответственно на квадрате [ а, b]Х[ а, b] и на сегменте [ а, b]. Следуя B. Вольтерра, Э. Фредгольм заменил интеграл в (3) интегральной суммой и рассмотрел интегральное уравнение (3) как предельный случай конечной системы линейных алгебраич. уравнений (см. Фредголъма уравнение). С помощью формального перехода к пределу Э. Фредгольм получил формулу, дающую решение уравнения (3); доказал, что построенная формула является решением уравнения (3) за исключением конечного или счетного множества значений параметра X, и доказал теоремы об условиях разрешимости уравнения (3). Построенную теорию уравнения (3) Э. Фредгольм распространил на случай системы И. у., а также на случай ядра со слабой особенностью (см. Интегральный оператор). Решение системы приводится к решению одного уравнения, ядро к-рого имеет линии разрыва, параллельные осям координат.
Д. Гильберт показал (1904), что теоремы Фредгольма можно доказать путем строгого обоснования процесса предельного перехода, и построил общую теорию линейных И. у. на базе теории линейных и билинейных форм с бесконечным числом переменных. Э. Шмидт [7] придал более простую и несколько более общую форму исследованиям Д. Гильберта. Он построил теорию линейных И. у. с действительным симметричным ядром независимо от теории Фредгольма, представив ядро в виде суммы вырожденного и "малого" ядра. Значительное ослабление ограничений, налагаемых в теории И. у. 2-го рода вещественным симметричным ядром на заданные и искомые элементы уравнения, было достигнуто Т. Карлеманом (Т. Carleman). Им же был распространен (см. [8]) метод Фредгольма на случай, когда ядро И. у. (3) удовлетворяет условию (4). В работах Ф. Рисса (Riesz, 1918) и Ю. Шаудера (J. Schauder, 1930) теоремы Фредгольма были обобщены для нек-рого класса линейных операторных уравнений в банаховых пространствах.
Основным методом исследования И. у. 1-го рода является так наз. регуляризации метод.
И. у. 3-го рода явились предметом специальных исследований Г. Бейтмана (Н. Bateman, 1907), Э. Пикара (Е. Picard, 1910), Дж. Фубини (G. Fubini, 1912), Ш. Платрие (Ch. Platrier, 1912).
Если линейное И. у. не является уравнением Фредгольма, то его наз. сингулярным (или особым) уравнением. Общая теория Гильберта квадратичных форм с бесконечным числом переменных дает возможность и в этом случае получить ряд важных результатов. Для нек-рых конкретных классов сингулярных И. у. разработаны специальные способы их решения, учитывающие характерные свойства этих уравнений. Так, напр., для сингулярных И. у. и И. у. типа свертки, вообще говоря, неверна теорема Фредгольма о том, что два транспонированных однородных И. у. имеют одинаковое число линейно независимых решений.
Параллельно с линейными И. у. изучались и нелинейные И. у., когда неизвестная функция может входить в уравнение в степени n, n>1, как это, напр., имеет место в уравнении
Она может входить и более общим образом, как, напр., в уравнении
(см. Гаммерштейна уравнение, Нелинейное интегральное уравнение).
Лит.:[1] Привалов И. И., Интегральные уравнения, 2 изд., М.- Л., 1937; [2] Михлин С. Г., Лекции по линейным интегральным уравнениям, М., 1959; [3] Трикоми Ф., Интегральные уравнения, пер. с англ., М., 1960; [4] Смирнов В. И. Курс высшей математики, т. 4, ч. 1, 6 изд., М., 1974; [5] Fredholm I., "Acta Math.", 1903, v. 27, p. 365- 390; [6] Hi1bert D., Grundziige einer allgemeinen Theorie der linearen Integralgleichungen, Lpz.-В., 1912 (2 Aufl., Lpz., 1924); [7] Schmidt E., "Math. Ann.", 1907, Bd 63, S. 433- 476; Bd 64, S. 161-74; 1908, Bd 65, S. 370-99; [8] Carleman T. "Math. Z.", 1921, Bd 9, S. 196 -217.
Б. В. Хведелидзе.
Русско-английский политехнический словарь
integral equation
Dictionnaire technique russo-italien
equazione integrale
Русско-украинский политехнический словарь
інтеґра́льне рівня́ння
Русско-украинский политехнический словарь
інтеґра́льне рівня́ння
Естествознание. Энциклопедический словарь
ур-ние, содержащее неизвестную функцию под знаком интеграла.