Большой англо-русский и русско-английский словарь
мат. theta function
Англо-русский словарь технических терминов
theta-function
Русско-английский словарь математических терминов
f.theta function
Физическая энциклопедия
- ТЕТА-ФУНКЦИЯ
(q-функция) -1) обобщённая ф-ция
(ф-ция Хевисайда). Производная Т,-ф. равна дельта-функции q'(x) = d(x). 2) Квазидвоякопериодическая целая функция комплексного переменного z, т. <е. ф-ция q(z), имеющая кроме периода w ещё квазипериод wт, Imt>0, при прибавлении к-рого к значению аргумента значение ф-ции умножается на нек-рый мультипликатор f (z). Иначе говоря, имеют место тождества по z:
Как периодическая целая ф-ция, Т.-ф. всегда представима рядом
в к-ром подбор коэффициентов с n должен обеспечивать сходимость. Ряды (1) наз. т е т а-р я д а м и (по причине первонач. обозначений). Возможны и иные представления Т.-ф., напр. в виде бесконечного произведения.
В приложениях обычно ограничиваются мультипликаторами вида
где k - натуральное число, наз. п о р я д к о м или в е с о м Т.-ф., q - числовой множитель. Сходимость обеспечивается, напр., коэффициентами вида
Во мн. вопросах удобны Т.-ф., удовлетворяющие условиям
Все Т.-ф. вида (2) одного и того же порядка k составляют векторное пространство размерности k. Базис этого пространства можно записать в виде
Отд. примеры Т.-ф. встречаются уже в работах Я. Бернул-ли (J. Bernoulli, 1713), Л. Эйлера (L. Euler), в теории теплопроводности Ж. Фурье (J. Fourier). K. Якоби (С. Jacobi) подверг Т.-ф. систематич. исследованию, выделил четыре специальные Т.-ф., к-рые и положил в основу своей теории эллиптических функций.
Т.-ф. Якоби q0 (z), q1(z), q2(z), q3(z) представляют собой след. ряды, абсолютно и равномерно сходящиеся на компактах плоскости комплексного переменного z:
Эти ряды достаточно быстро сходятся. Обозначения q0(Z), q1(z), q2(z), q3(z) восходят к К. Вейерштрассу (К. Weierstrass). Вместо q0(z) часто пишут q4(z), имеются и др. системы обозначений.
Все Т.-ф. Якоби представляют собой целые трансцендентные ф-ции комплексного переменного z, причём q1(z) - нечётная ф-ция, а остальные ф-ции q0(z), q2(z), q3(z) - чётные.
Имеют место след. соотношения периодичности:
из к-рых вытекает, что Т.-ф. Якоби являются эллиптич. ф-циями III рода по Эрмиту.
Т.-ф. Якоби связаны между собой ф-лами преобразования:
Все четыре Т.-ф. удовлетворяют одному и тому же диффе-ренц. ур-нию:
Существуют также обобщения Т.-ф. на случай многих комплексных переменных. В физике Т.-ф. естественно возникают, в частности, в определении меры интегрирования функционального интеграла в струн теории.
Лит.: Уиттекер Э.-Т., Ватcон Дж.-Н., Курс современного анализа, пер. с англ., 2 изд., ч. 2, M., 1963; Гурвиц А., Курант Р., Теория функций, [пер. с нем.], M., 1968. E. Д. Соломенцев.
Математическая энциклопедия
, ТЕТА-ФУНКЦИЯ Как периодическая целая функция, Т.-ф. всегда представима рядом в к-ром подбор коэффициентов с п должен обеспечивать сходимость. Ряды (1) наз. тета-рядами (по причине первоначальных обозначений). Возможны и иные представления Т.-ф., напр. в виде бесконечного произведения. В приложениях обычно ограничиваются мультипликаторами вида где k- натуральное число, называемое порядком или весом Т.-ф., q - числовой множитель, Сходимость обеспечивается, напр., коэффициентами вида Во многих вопросах удобны Т.-ф., удовлетворяющие условиям Все Т.-ф. вида (2) одного и того же порядка kсоставляют векторное пространство размерности k. Базис этого пространства можно записать в виде Отдельные примеры Т.-ф. встречаются уже в работах Я. Бернулли (J. Bernoulli, 1713), Л. Эйлера (L. Euler), в теории теплопроводности Ж. Фурье (J. Fourier). К. Якоби (С. Jacobi) подверг Т.-ф. системaтич. исследованию, выделил четыре специальные Т.-ф., к-рые и положил в основу своей теории эллиптич. функций (см. Якоби эллиптические функции). Т.-ф. нескольких комплексных переменных возникают как естественное обобщение Т.-ф. одного комплексного переменного. Они строятся следующим образом. Пусть z=(z1,..., zp) - матрица-строка ркомплексных переменных, сходится абсолютно и равномерно на компактах из где Пусть определяет Т.-ф. 1-го порядка с характеристикой (общего вида) Г; в этой терминологии Т.-ф. (3) имеет характеристику 0. Матрица Г иначе наз. периодич. характеристикой матрицы Характеристика наз. нормальной, если Наиболее употребительны дробные характеристики, когда все 
-функция, одного комплексного переменного - квазидвоякопериодическая целая функция комплексного переменного z, т. е. функция 
имеющая, кроме периода 
еще квазипериод 
при прибавлении к-poro к значению аргумента значение функции умножается на нек-рый мультипликатор. Иначе говоря, имеют место тождества по z: 
есть 
-я строка единичной матрицы Епорядка р; п= (п 1, ..., п р) - целочисленная матрица-строка; 
-симметрич. матрица порядка р, составленная из комплексных чисел и такая, что матрица 
порождает положительно определенную квадратичную форму 
(здесь 
- транспонированная матрица п). Кратный тета - ряд 
и определяет, следовательно, целую трансцендентную функцию ркомплексных переменных z1,..., zp, называемую тета-функциен порядка 1. Различные элементы матрицы Аназ. модулями, или параметрами Т.-ф. 
число модулей равно р(р+1)/2. Т.-ф. 
1-го порядка удовлетворяет следующим основным тождествам по z: 
v=l,..., р; 
при 
и 
при 
Матрица S=(E, А )размера 
является системой модулей, или системой периодов и квазипериодов, Т.-ф. 
Если m=(m1,......, т р), т' =( т'1,..., т' р) - произвольные целочисленные матрицы-строки, то в более общем виде свойства периодичности Т.-ф. можно записать так: 
- произвольные комплексные матрицы-строки, 
- матрица размера 
Тогда формула 
Всегда 
Свойства (4) для Т.-ф. с характеристикой Г обобщаются в виде 
- неотрицательные правильные рациональные дроби с общим знаменателем 
Наиболее важный и простой случай - полуцелые, или половинные, характеристики, когда 
Полуцелые характеристики 
можно считать составленными из чисел 0 и 1 (обычно под лтета-характеристиками
Русско-английский политехнический словарь
theta-function
* * *
те́та-фу́нкция ж.theta function
Dictionnaire technique russo-italien
ж.
funzione f theta