«Арифметически-гармоническая средняя»

А.-гармоническая средняя из двух чисел получается следующим образом. Пусть данные числа суть a и h ( a. Составим их арифметическую среднюю a₁и гармоническую среднюю h₁, т. е. найдем a₁= 1/2(a+h) и h₁= 2ah/(a+h); таким же образом составим а₂= 1/2(a₁+h₁) и h₂= 2a₁h₁/(a₁+h₁) и т. д. Числа a, a₁, a₂… и h, h₁, h₂… будут представлять — первые убывающий ряд, вторые — возрастающий. Все числа первого ряда больше всех чисел второго, и оба ряда стремятся к одному и тому же пределу, который и есть А.-г. средняя. Означим ее АН. Покажем, что АН. двух чисел равно геометрической средней их. В самом деле, h₁= 2ah/(a + h) = ah/a₁, след. а₁h₁= ah; точно так же a₂h₂= a₁h₁= ah, что треб. док., наконец, aⁿhⁿ= h. Но а_∞= h_∞= b², если b есть АН между а и h; итак, b = √ah, ч. треб. док. Следствие: AH из какого-нибудь числа и единицы есть квадратный корень из этого числа, т. е. АН (а, 1) = √а. Итак, чтобы найти √a, можно поступить следующим образом: найти арифметическую среднюю a₁из а и 1 и гармоническую среднюю h₁из а и 1; затем арифметическую среднюю a₂из a₁и h₁и гармоническую среднюю h₂из a₁и h₁и т. д., числа а_iи h_iбудут быстро сходиться и стремиться к пределу = √а. Прим.

------------------------------------------------------------------------------

|                      | а₁ = 1.5000000   | h₁ = 1.3333333    |

|                      |------------------------------------------------------|

|                      | а₂ = 1.4166666   | h₂ = 1.4117647    |

| а = 2, h = 1    |------------------------------------------------------|

|                      | а₃ = 1.4142157   | h₃ = 1.4142114    |

|                      |------------------------------------------------------|

|                      | а₄ = 1.4142136   | h₄ = 1.4142136,   |

------------------------------------------------------------------------------

итак, √2 = 1.4142186, что и требовалось доказать.