«Теория Игр»

Теория игр - раздел математики, ориентированная на построение формальных моделей принятия оптимальных решений в ситуации конкурентного взаимодействия, строго регламентированного матрицей выигрышей и проигрышей. В теории игр выделяют два класса:

игры со строгим соперничеством, когда игроки имеют прямо противоположные интересы (игры с нулевой суммой);

игры с нестрогим соперничеством, где возможен обоюдный выигрыш (игры с ненулевой суммой).

Модель игры с ненулевой суммой чаще всего используется при анализе межличностного конфликта. Одним из наиболее известным вариантом такой игры является "дилемма узника - ".

Литература.

Льюис Р.Д., Райфа Х. Игры и решения: Введение в критический обзор. М., 1961, 642 с.

game theorygame theory

game theory

ТЕОРИЯ ИГР, в математике - анализ проблем, включая конфликты. Теория игр находит применение в управлении бизнесом (менеджменте), социологии, экономике и военной стратегии, а также в настоящих играх - покере и шахматах. Теория была впервые преложена Эмилем Борелем, а развита Джоном фон НЕЙМАНОМ в 1928 г.

- теоретическое направление, использующее аппарат математического моделирования в целях предсказания, выработки лучших вариантов действий в условиях неопределенности, в игровых ситуациях.

ТЕО́РИЯ ИГР

теория матем. моделей принятия решений в условиях неопределенности, когда принимающий решение субъект ("и г p о к") располагает информацией лишь о множестве возможных ситуаций, в одной из к-рых он в действительности находится, о множестве решений ("с т р а т е г и й"), к-рые он может принять, и о количеств. мере того "в ы и г р ы ш а", к-рый он мог бы получить, выбрав в данной ситуации данную стратегию. Т. и. является естеств. развитием теорий решения экстремальных задач в условиях вероятностной, статистич. неопределенности (когда принимающий решения субъект информирован дополнительно об априорных вероятностях каждой из возможных ситуаций). В частности, в рамках Т. и. естественно рассматривать модели к о н ф л и к т о в (т.е. явлений, в к-рых участвуют различные стороны, наделенные различными интересами и возможностями выбирать свои стратегии в соответствии с этими интересами). Т.о., моделями Т. и. можно в принципе описывать содержательно весьма разнообразные явления: вопросы спортивных состязаний и экономич. борьбы, военные, правовые и классовые конфликты, борьбу человека с природой, биологич. борьбу за существование и т.д. Все такие модели принято в Т. и. наз. и г р а м и. Существенно, что Т. и. моделирует не только антагонистич. конфликты, но и более сложные взаимоотношения сторон – носителей различных интересов. Следует при этом отличать теоретико-игровое понятие антагонизма от философской категории антагонизма. В Т. и. антагонизм понимается более прямолинейно и исчерпывается равенством по величине и противоположностью по знаку выигрышей игроков-антагонистов.

Важная роль понятия информации (см. Теория информации) в Т. и. предопределяет ее тесную связь с кибернетикой, на основании чего Т. и. квалифицируют иногда как раздел кибернетики. Однако в теоретич. отношении Т. и. следует скорее считать отраслью математики, а в практическом – определ. уровнем операций исследования.

Матем. описание игры сводится к перечислению всех участвующих в ней игроков, указанию для каждого игрока множества всех его стратегий, а также численного в ы и г р ы ш а, к-рый он получит после того, как все игроки выберут свои стратегии. В результате игра становится ф о р м а л ь н ы м о б ъ е к т о м, к-рый поддается матем. анализу. При совр. состоянии Т. и. осн. целями этого анализа являются:

1) выработка критериев целесообразности ("оптимальности") поведения игроков в тех или иных классах игр,

2) доказательство существования у игроков в таких играх оптимальных стратегий,

3) установление важнейших свойств оптимальных стратегий (и в том числе, если это возможно, формул и алгоритмов для их фактич. вычисления). (Нахождение оптимальных стратегий игроков требует использования сложного технич. аппарата совр. математики, а численное их определение обычно осуществляется с помощью быстродействующей электронной техники.)

Для весьма широкого класса игр целесообразным поведением игроков естественно считать их стремление к ситуациям р а в н о в е с и я, т.е. к таким одновременным выборам игроками своих стратегий, что ни для одного из игроков не будет выгодным отклонение от этой ситуации (т.е. односторонняя замена выбранной стратегии иной). Именно ситуации равновесия могут быть предметом договорных отношений между игроками. Поэтому стремление игроков к ситуации равновесия принято называть принципом осуществимости цели. В случае антагонистич. игр принцип осуществимости цели превращается в п р и н ц и п м а к с и м и н а (стремление максимизировать минимальный выигрыш, т.е. стремление действовать наилучшим образом в наихудших условиях).

Весьма часто игры не имеют ситуаций равновесия, сконструированных из первоначально заданных стратегий игроков. Это, с одной стороны, означает, что в таких играх игроки лишены возможности действовать целесообразно, а с другой – побуждает искать для игроков естеств. дополнительных возможностей поведения. Так, напр., можно вместо достоверного выбора к.-л. стратегии осуществить случайный выбор стратегии (по жребию или даже прибегая к тому или иному из суеверий, находящих тем самым практич. применение, хотя и довольно скромное), к-рый наз. смешанной стратегией. Оказывается, что в большинстве практически важных случаев из смешанных стратегий удается строить ситуации равновесия.

Описанный факт является (открытым в Т. и.!) примером целесообразности введения случайного в процесс принятия решений по воле принимающего решения субъекта. Наоборот, применение смешанных стратегий и др. игроками заставляет предполагать, что принятие решения происходит в случайных условиях с заданными априорными вероятностями. Тем самым, однако, эти вероятности приобретают уже не априорное, а оптимизационное происхождение.

Игры можно классифицировать по различным признакам.

Во-первых, следует выделить коалиционные игры, в к-рых принимающие решения игроки согласно правилам игры объединены в фиксиров. коалиции двух типов: коалиции действий и коалиции интересов. Члены одной коалиции действий могут свободно обмениваться информацией и тем самым принимать полностью согласованные решения. Члены одной коалиции интересов имеют единые интересы, и выигрыши коалиции разделению между игроками не подлежат. Существенным является то, что один и тот же игрок может одновременно быть участником неск. коалиций. Коалиционным играм противостоят б е с к о а л и ц и о н н ы е и г р ы, в к-рых каждая коалиция состоит лишь из одного игрока. Т. н. кооперативная теория бескоалиционных игр допускает временные объединения игроков в коалиции в процессе игры с последующим разделением полученного общего выигрыша.

Во-вторых, играм в нормальной форме, в к-рых игроки получают всю предназначенную для них информацию до начала игры, противостоят д и н а м и ч е с к и е и г р ы, где информация поступает к игрокам постепенно отд. порциями или даже непрерывным во времени потоком. В соответствии с этим принятие решений участником игры в нормальной форме является однократным актом, тогда как в динамич. игре принятие решения развертывается в дискретный или непрерывный процесс принятия частичных решений. Ввиду ограниченности памяти игрока (т.е. способности хранить и использовать в процессе игры информацию об обстановке и о собственных прошлых действиях) в динамич. играх рассматриваются также случаи полной или частичной утраты информации. Особенности памяти игрока позволяют в ряде случаев упрощать поиски его оптимальных стратегий. Так как в каналах, подводящих к игрокам информацию, могут быть помехи, а пропускные способности этих каналов ограничены, игрок может в ходе игры получать информацию с искажениями и с запаздыванием. Эти обстоятельства также могут находить отражение в формулировках игр.

В-третьих, для матем. анализа игр существенно количество стратегий игроков. Если каждый игрок имеет конечное число стратегий, то игра наз. к о н е ч н о й, а в противном случае – бесконечной. Переход от конечных к бесконечным играм сопровождается качеств. изменением свойств игры и, в частности, оптимальных стратегий ее участников и требует привлечения существенно более сложного матем. аппарата.

Нахождение оптимальных стратегий игроков в конечных антагонистич. играх в нормальной форме (такие игры обычно наз. м а т р и ч н ы м и) эквивалентно решению общей задачи линейного программирования – важной модели мн. экономич. явлений, как и вообще различных явлений организации. При "экономическом" подходе стратегии одного игрока можно интерпретировать как ассортименты выпускаемой продукции, а стратегии другого – как нормированные цены на отд. виды продукции. Оптимальная стратегия игрока будет состоять при этом в выпуске такого ассортимента продукции, что при любых нормированных ценах его гарантированный доход будет максимальным.

Теоретико-игровые модели требуют особенно пристального рассмотрения как с философской, так и с идеологич. точек зрения, потому что по большей части они являются матем. моделями конфликтов. Конфликты же (в теоретико-игровом понимании этого слова) возможны лишь между сознат. индивидуумами и коллективами, способными предпринимать целеустремленные действия. Тем самым Т. и. оказывается теорией моделей явлений, происходящих в человеческом обществе и неизбежно имеющих поэтому классовый, политич. характер. Поэтому всякое моделирование любого явления игрой становится науч. творчеством с определенных идеологич. позиций.

Осн. проблема моделирования процессов принятия решений в условиях неопределенности (а также в условиях конфликта) касается качеств, адекватности типа игры как матем. модели, необходимости учета в ней тех или иных частных черт моделируемого явления. Напр., конфликт двух сторон может на первый взгляд ввиду своей остроты расцениваться как антагонистический (т.е. как подлежащий моделированию антагонистич. игрой), тогда как при внимательном рассмотрении более точной его моделью оказывается нек-рая более сложная игра. Др. проблема связана с правильностью количеств. оценок параметров игры – значений выигрышей игроков в тех или иных ситуациях. Трудность такого определения усугубляется тем, что выигрыш игрока может оказаться не только детерминированной, но и случайной величиной. Последнее имеет, напр., место в условиях использования игроками смешанных стратегий.

Практич. применение Т. и. ввиду трудностей построения достаточно адекватных моделей пока ограниченно. Самыми разработанными являются теоретико-игровые модели, описывающие наиболее четкие конфликты военного содержания. Вместе с тем довольно часто количеств. выводы, полученные на основе анализа моделей Т. и., можно рассматривать как качественные соображения при принятии решений в реальных условиях. Даваемый Т. и. анализ принятия решений в условиях неопределенности можно использовать для прогнозирования последствий от принятия этих решений. В частности, методы Т. и. позволяют в принципе оценивать и исходы достаточно простых по содержанию (но не по объему или уровню) и обозримых военных конфликтов (дуэли с небольшим числом выстрелов, схемы поиска, распределение сил и т.д.). Точность такой оценки зависит от степени адекватности игры как модели.

Первой науч. работой, к-рую можно отнести к совр. Т. и., является статья Э. Цермело (1913) о применении теории множеств к шахматной игре. В 20-х гг. были опубликованы результаты Э. Бореля, Кальмара и Дж. Неймана, содержащие ряд важных идей Т. и. Возникновение Т. и. как целостной матем. дисциплины связано с появлением основополагающей монографии Неймана и Моргенштерна ("Theory of games and economic behavior", Princeton, 1944). В наст. время по Т. и., и в т.ч. по методологич. вопросам Т. и., публикуется большое количество книг и статей. Во многих советских и зарубежных ун-тах читаются курсы лекций по Т. и. В 1968 была проведена 1-я Всесоюзная конференция по Т. и. (г. Ереван).

Лит.: Льюс Р. Д. и Райфа X., Игры и решения, пер. с англ., М., 1961; Матричные игры. Сб. переводов, М., 1961; Бесконечные антагонистические игры, М., 1963; Карлин С., Математические методы в теории игр, программировании и экономике, пер. с англ., М., 1964; Воробьев H. H., Некоторые методологические проблемы теории игр, "ВФ", 1966, No 1.

Н. Воробьев. Ленинград.

теория выбора наиболее выгодного поведения при столкновении противоречивых интересов. Возникла из широко известных игр — шахмат, шашек, карточных игр и др. Применяется в теориях принятия решений.

game theory

матем. teoria dei giochi

. см. ИГР ТЕОРИЯ.

- термин представляет собой русский эквивалент англ. theory of games и используется для обозначения комплекса математич. моделей конфликтных ситуаций и способов их разрешения, основы к-рого разработаны математиком Дж. фон Нейманом. Формализованное описание игры задается списком ее участников (игроков) и множества стратегий для каждого из них. В рез-те выбора стратегий игроками образуется ситуация (состояние) игры. Интересы игроков характеризуются функциями выигрыша или отношениями предпочтения множестве допустимых ситуаций. Т. обр. в понятии игры моделируются два основных факта" а) каждый участник конфликта лишь частичнг" контролирует ситуацию; б) каждый участник имеет свои интересы. Нормативное направление в Т.и. занимается исследованием вопросов ка кие состояния игры считать справедливыми равновесными, оптимальными, а также анализом свойств и способов достижения таких состояний. Дескриптивное направление изучает различи способы поведения игроков и свойства результирующих состояний. Наибольшие успехи достигнуты в Т.и. двух игроков с противоположными интересами (антагонистич. игры), где нормативный и дескриптивный аспекты конфликтной ситуации хорошо совмещаются в понятии седловой точки (максимина) - состояния, в к-ром каждый игрок получает максимум выигрыша по контролируемым им переменным в условиях, когда этот выигрыш минимален по переменным, контролируемым др. игроком. В частности, для случая, когда множества стратегий обоих игроков конечны (матричная игра), Дж. фон Нейман установил, что седловая точка существует, если разрешить игрокам использовать смешанные стратегии - вероятностный механизм выбора стратегий (теорема о минимаксе). Теория антагонистич. игр находит применение в военных приложениях: в вопросах стратегии и тактики. Оказалось также, что антагонистич. игры во многих аспектах эквивалентны задачам программирования математического (см.). Игровая методология является основой перспективного направления математич. статистики, трактующего статистич. задачи как игры исследователя с природой. Анализ игр многих лиц существенно затруднен из-за сложности вопроса о механизмах формирования и действия коалиций. Моделирование коалиционных взаимодействий как антагонистич. игр привело к т. н. теории кооперативных игр, к-рая представляет интерес лишь с математич. т. зр. В теории бескоалиционных игр многих лиц имеются два направления, имеющие нетривиальное приложение к соц.-экономич. проблематике. Одно из них - игры с непротивоположными интересами и фиксированной последовательностью ходов, моделирование принятия решений в организационных системах на основе принципа гарантированного рез-та. Согласно этому принципу, каждый игрок при своем ходе выбирает стратегию, исходя из предположения, что следующие за ним участники будут максимизировать свои выигрыши в условиях, определенных всеми предыдущими выборами. Др. направление связано с понятием равновесия (Нейман - Нэш) - ситуации, устоичивой в том смысле, что никакой игрок не может увеличить свой выигрыш за счет только собственных действий. Это понятие, в частности, лежит в основе концепции соц.-экономич. равновесия согласно к-рой в равновесии все соц. и экономич. агенты добиваются максимально возможного удовлетворения своих интересов в рамках определенных ограничений, причем предложение соответствует спросу по всем видам рассматриваемых благ и труда. Данная концепция используется для анализа ряда соц.-экономич. процессов: поведение в условиях дефицита, распределение доходов, семейное поведение, межрегиональные взаимодействия и др. В целом идеи Т.и. имеют несомненное стимулирующее значение как для внутриматематич., так и для соц.-экономич. исследований, но в последнем случае собственные ее концепции слишком абстрактны и должны дополняться более конкретными конструкциями в каждом приложении. Лит.: Льюс Р., Райффа X. Игры и решения. М., 1962; Нейман Дж. фон, Моргенштерн О. Теория игр и экономическое поведение. М., 1970; Гермейер Ю.Б. Игры с непротивоположными интересами. М., 1976; Полтерович В.М. Проблема измерения дефицитности благ//Эко-номика и математические методы. 1983, № 4; Becker G.S. Human capital: a theoretical and empirical analysis. N.Y., 1975. Б.Г. Миркин.