«Антиномия»

Антиномия в словарях и энциклопедиях

Значение слова «Антиномия»

Источники

  1. Словарь Брокгауза и Ефрона
  2. Большая Советская энциклопедия
  3. Словарь форм слова
  4. Толковый словарь Ожегова
  5. Малый академический словарь
  6. Толковый словарь Ушакова
  7. Толковый словарь Ефремовой
  8. Большой энциклопедический словарь
  9. Современная энциклопедия
  10. Энциклопедия Брокгауза и Ефрона
  11. Большой англо-русский и русско-английский словарь
  12. Русско-английский словарь математических терминов
  13. Большой французско-русский и русско-французский словарь
  14. Большой испано-русский и русско-испанский словарь
  15. Большой итальяно-русский и русско-итальянский словарь
  16. Энциклопедический словарь экономики и права
  17. Философская энциклопедия
  18. Новейший философский словарь
  19. Энциклопедический словарь
  20. Начала современного естествознания
  21. Математическая энциклопедия
  22. Русско-английский политехнический словарь
  23. Dictionnaire technique russo-italien
  24. Русско-украинский политехнический словарь
  25. Русско-украинский политехнический словарь
  26. Энциклопедия социологии
  27. Толковый словарь по социологии
  28. Словарь терминов логики
  29. Словарь бизнес-терминов
  30. Тезаурус русской деловой лексики
  31. Большой Энциклопедический словарь

Поделиться

    Словарь Брокгауза и Ефрона

    (греч.) — так называется собственно противоречие двух законов. Слово это как философский термин впервые введено Кантом. Он объясняет А. как противоречие, в которое теоретический разум (Vernunft) впадает сам с собою или собственно с рассудком (Verstand), когда он идею абсолютного относит к миру как совокупности всех явлений. Отсюда именно являются противоречивые законы и мнимоосновательные теории, ведущие к принятию положений, или не удовлетворяющих беспредельным требованиям нашего разума, или непостижимых для нашего рассудка. А. обнимают следующие вопросы: конечны ли или бесконечны — вселенная, пространство, время? Имеются ли неделимые атомы, или материя может делиться до бесконечности? Существует ли только необходимость в природе, или возможна также свободная случайность? Находится ли во вселенной или вне ее необходимая сущность или нет? Так как А. в данном случае состоит в том, что можно привести одинаковое число доказательств как в пользу утвердительного, так и отрицательного ответа на эти вопросы, то разрешение А. необходимо приводит к выводу, что человеческое познание в последних встречает преграду, которой ни перешагнуть, ни победить не может. По Канту, мы знаем о пространстве, времени, материи, причине и т. д. только как о явлениях (феноменах), но ничего не знаем: каковы они сами в себе (нумены). Поэтому мы должны отказаться от догматического изучения этих вопросов; идея абсолютного и бесконечного имеет только значение регулирующего принципа, т. е. она сама не служит источником расширения знания, а только руководящею нитью для все более и более прогрессирующего расширения знания.

  1. Источник: Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона



  2. Большая Советская энциклопедия

    (от Анти... и греч. nomos — закон; буквально — противоречие в законе)

    противоречие между двумя положениями, каждое из которых одинаково логически доказуемо. Термин «А.» ввёл в 1613 немецкий философ Р. Гоклениус, хотя противоречивый характер мышления был обнаружен ещё в античной философии (см. Апория). Родоначальник немецкой классической философии И. Кант впервые показал, что А. с необходимостью порождаются особенностями процесса познания, в частности постоянными попытками разума выйти за пределы опыта, познать «Вещь в себе», а поскольку, по Канту, это невозможно, всякий такой выход и приводит к А. В кантовском учении об А. выражена глубокая мысль о противоречивости процесса познания, зависимости результатов познания от наличных форм познавательной деятельности и вместе с тем о безграничности самого познания; эта мысль, однако, подрывается характерным для Канта Агностицизмом и отрицанием противоречивости самой действительности.

    Диалектический материализм различает А., являющиеся логическим отражением противоречий самой действительности (например, «электрон—волна», «электрон—частица»), и антиномичные суждения — Парадоксы, обусловленные конкретным уровнем развития знания, в частности противоречиями в системе исходных понятий. Обнаружение парадоксов является одним из главных источников развития познания (например, теория относительности возникла в результате обнаружения антиномичности некоторых исходных положений классической физики). В целом же понятие «А.» в диалектическом материализме не имеет самостоятельного значения, будучи подчинённым по отношению к категории Противоречие.

    Лит.: Асмус В. Ф., Философия И. Канта, М., 1957.

    В. А. Костеловский.

  3. Источник: Большая советская энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. 1969—1978.



  4. Словарь форм слова

    1. антино́мия;
    2. антино́мии;
    3. антино́мии;
    4. антино́мий;
    5. антино́мии;
    6. антино́миям;
    7. антино́мию;
    8. антино́мии;
    9. антино́мией;
    10. антино́миею;
    11. антино́миями;
    12. антино́мии;
    13. антино́миях.
  5. Источник: Полная акцентуированная парадигма по А. А. Зализняку»



  6. Толковый словарь Ожегова

    АНТИНО́МИЯ, -и, жен. (спец.). Противоречие между двумя взаимоисключаемыми положениями, сущностями, явлениями, каждое из к-рых доказуемо логическим путём, существует в отдельности. А. учений о смерти и бессмертии. А. духа и материи. А. между свободой личности и государством.

    | прил. антиномический, -ая, -ое.

  7. Источник: Толковый словарь Ожегова. С.И. Ожегов, Н.Ю. Шведова. 1949-1992.



  8. Малый академический словарь

    ,

    ж. филос., лог.

    Противоречие между двумя взаимоисключающими положениями, одинаково убедительно доказуемыми логическим путем.

    [греч. ’αντινομία]

  9. Источник: Малый академический словарь. — М.: Институт русского языка Академии наук СССР. Евгеньева А. П.. 1957—1984.



  10. Толковый словарь Ушакова

    АНТИНО́МИЯ, антиномии, жен. (греч. antinomia) (филос.). Противоречие между двумя законами, положениями, принципами, категориями.

  11. Источник: Толковый словарь Ушакова. Д.Н. Ушаков. 1935-1940.



  12. Толковый словарь Ефремовой

    ж.

    Противоречие между двумя суждениями, одинаково логически доказуемыми.

  13. Источник: Толковый словарь Ефремовой. Т. Ф. Ефремова. 2000.



  14. Большой энциклопедический словарь

    АНТИНОМИЯ (греч. antinomia - противоречие в законе) - противоречие между двумя суждениями, одинаково логически доказуемыми. Различают антиномии, являющиеся логическим отражением противоречий самой действительности, и антиномичные суждения - парадоксы, обусловленные историческим уровнем развития знания.

  15. Источник: Большой Энциклопедический словарь. 2000.



  16. Современная энциклопедия

    АНТИНОМИЯ (греческое antinomia - противоречие в законе), противоречие между двумя суждениями, одинаково логически доказуемыми. Смотри Парадокс.

  17. Источник: Современная энциклопедия. 2000.



  18. Энциклопедия Брокгауза и Ефрона

  19. Источник: Энциклопедия Брокгауза и Ефрона



  20. Большой англо-русский и русско-английский словарь

    жен. antinomyantinomy

  21. Источник: Большой англо-русский и русско-английский словарь



  22. Русско-английский словарь математических терминов

    f.antinomy

  23. Источник: Русско-английский словарь математических терминов



  24. Большой французско-русский и русско-французский словарь

    ж. филос.

    antinomie f

  25. Источник: Большой французско-русский и русско-французский словарь



  26. Большой испано-русский и русско-испанский словарь

    ж. филос.

    antinomia f, antinomía f

  27. Источник: Большой испано-русский и русско-испанский словарь



  28. Большой итальяно-русский и русско-итальянский словарь

    ж. лог.

    antinomia

  29. Источник: Большой итальяно-русский и русско-итальянский словарь



  30. Энциклопедический словарь экономики и права

    - действительное или кажущееся противоречие в законе.

  31. Источник: Энциклопедический словарь экономики и права



  32. Философская энциклопедия

    АНТИНОМИЯ

    (от греч. antinomia — противоречие в законе) — рассуждение, доказывающее, что два высказывания, являющиеся отрицанием друг друга, вытекают одно из другого. Характерным примером логической А. является «Лжеца» парадокс.

    Наибольшую известность из открытых уже в 20 в. получила А., указанная Б. Расселом.

    Примером достаточно простой и оригинальной А. может быть следующее рассуждение. Некоторые слова, обозначающие свойства, обладают тем самым свойством, которое они называют. Так, прилагательное «русский» само является рус, «многосложное» — многосложно, а «шестислоговое» имеет шесть слогов. Такие слова, относящиеся к самим себе, называют а у -тологическими; слова, не имеющие свойства, обозначаемого ими, гетерологическими. Последних в языке подавляющее большинство: «сладкое» не является сладким, «холодное» — холодным, «однослоговое» — однослоговым и т.д. Разделение прилагательных на две группы представляется ясным и не вызывающим возражений. Оно может быть распространено и на существительные: «слово» само является словом, «существительное» — существительным, но «стол» — это не стол, а слово «глагол» — не глагол, а существительное. А. обнаруживается, как только задается вопрос, к какой из двух групп относится само прилагательное «гетерологическое». Если оно аутологичсское, то обладает обозначаемым им свойством и должно быть гетерологическим. Если же оно гетерологическое, то не имеет называемого им свойства и должно быть поэтому аутологическим.

    А. Рассела связана с понятием множества. Относительно каждого множества представляется осмысленным задать вопрос, является оно своим собственным элементом или нет. Напр., множество всех людей не является человеком, так же как множество стульев — это не стул. Но множество, объединяющее все множества, представляет собой множество и, значит, содержит самое себя в качестве элемента. Назовем множества, не содержащие себя в качестве элемента, обычными, содержащие себя — необычными и рассмотрим множество, составленное из всех обычных множеств. Поскольку это множество, о нем можно спрашивать, обычное оно или нет. Ответ, однако, оказывается обескураживающим. Если оно обычное, то, согласно своему определению, оно не должно содержать самое себя в качестве элемента, поскольку содержит все обычные множества. Но это означает, что оно является необычным множеством. Допущение, что рассматриваемое множество представляет собой обычное множество, приводит, т.о., к противоречию. Значит, оно не может быть обычным. С др. стороны, оно не может быть также необычным: необычное множество содержит самое себя в качестве элемента, а элементами рассматриваемого множества являются только обычные множества. В итоге множество всех множеств, не являющихся собственными элементами, есть свой элемент в том и только том случае, когда оно не является таким элементом. Полученное противоречие говорит о том, что такого множества не существует. Но если столь просто и ясно заданное множество не может существовать, то в чем различие между возможными и невозможными множествами? Наивное, или интуитивное, представление о множестве как сколько угодно обширном соединении в чем-то однородных объектов способно вести, т.о., к противоречию и нуждается в прояснении и уточнении.

    А. Рассела не имеет специфически математического характера, ее можно переформулировать в чисто логических терминах. Рассел предложил следующий популярный вариант открытой им А. Представим, что совет какой-то деревни так определил обязанности парикмахера: брить всех мужчин деревни, которые не бреются сами, и только этих мужчин. Должен ли он брить самого себя? Если да, то он будет относиться к тем, кто бреется сам, а тех, кто бреется сам, он не должен брить. Если нет, он будет принадлежать к тем, кто не бреется сам, и, значит, он должен будет брить себя. Т.о., этот парикмахер бреет себя в том и только том случае, когда он не бреет себя. Это, разумеется, невозможно.

    Необходимым признаком логической А. обычно считается логический словарь, в терминах которого она формулируется. Однако в логике нет четких критериев деления терминов на логические и внелогические. Кроме того, в логических терминах можно сформулировать и внелогические утверждения.

    На первых порах изучения А. казалось, что их можно выделить по нарушению какого-то еще не исследованного положения или правила логики. Особенно активно претендовал на роль такого правила введенный Расселом «принцип порочного круга», согласно которому в совокупность не должны входить объекты, определимые только посредством этой же совокупности. Все А. имеют общее свойство — самоприменимость, или циркулярность. В каждой А. объект, о котором идет речь, характеризуется посредством совокупности объектов, к которой он сам принадлежит. Если мы, к примеру, говорим: «Это высказывание ложно», мы характеризуем данное высказывание путем ссылки на совокупность всех ложных высказываний, включающих и данное высказывание. Однако циркулярность — свойство и многих непарадоксальных рассуждений. Такие примеры, как «самый большой из всех городов», «наименьшее из всех натуральных чисел», «один из электронов атома меди» и т.п., показывают, что далеко не всегда циркулярность ведет к противоречию. Однако провести различие между «вредной» и «безвредной» циркулярностью не удается.

    А. свидетельствуют о несовершенстве обычных методов образования понятий и методов рассуждения. Они играют роль контролирующего фактора, ставящего ограничения на пути конструирования систем логики.

    Один из предлагавшихся путей устранения А. — выделение наряду с истинными и ложными бессмысленных высказываний. Этот путь был предложен Расселом, объявившим А. бессмысленными на том основании, что в них нарушаются требования особой «логической грамматики». В качестве последней Рассел предложил теорию типов, вводящую своеобразную иерархию рассматриваемых объектов: предметов, свойств предметов, свойств свойств предметов и т.д. Свойства можно приписывать предметам, свойства свойств — свойствам и т.д., но нельзя осмысленно утверждать, что свойства свойств имеются у предметов. Напр., высказывания «Это дерево — зеленое», «Зеленое — это цвет» и «Цвет — это оптическое явление» осмысленны, а, скажем, высказывания «Этот дом есть цвет» и «Этот дом есть оптическое явление» — бессмысленны.

    Исключение А. достигается также путем отказа от «чрезмерно больших множеств», подобных множеству всех множеств. Этот путь был предложен нем. математиком Е. Цермело, связавшим появление А. с неограниченным конструированием множеств. Допустимые множества были определены им некоторым списком аксиом, сформулированным так, чтобы не выводились известные А.

    Были предложены и др. способы устранения А. Ни один из них не лишен, однако, недостатков.

  33. Источник: Философская энциклопедия



  34. Новейший философский словарь

    АНТИНОМИЯ (греч. antinomia - противоречие в законе) - форма существования и развития противоречия в познании: противоречие, образуемое двумя суждениями (умозаключениями, законами), каждое из которых признается истинным. Употребление термина А. первоначально имело место в юридических документах. Этим термином обозначалось противоречие между двумя юридическими законами или двумя положениями (тезисами) одного и того же закона (Квинтилиан в 1 в.; позднее - Плутарх, Августин и др.). Так, в кодексе императора Юстиниана (534) термином А. обозначалась ситуация, когда юридический закон вступает в противоречие с самим собой. Близким к А. понятием является понятие апория, особенно в аристотелевском истолковании. Апория, по Аристотелю, есть равенство (равнозначность) противоположных заключений. Так, в известных апориях Зенона из Элеи вскрываются противоречия единого (непрерывного) и множественного (разделенного) движения и покоя. Философский статус термин А. приобретает в работах Канта, который обозначил им глубоко противоречивое состояние человеческого разума (»спор разума с самим собой»), стремящегося преодолеть ограниченность рассудочных определений мира. Гегель, сопоставив А. Канта с апориями Зенона, пришел к выводу, что кантовские А. являют собой не более, чем то, что уже сделал Зенон. Гегель был убежден, что если следовать диалектике, которая хотя и содержит в себе предшествующую логику и метафизику, но развивает их дальше, то можно показать, что на деле каждое понятие, каждая категория также антономична. Противоречия, представленные в форме многообразных А., Гегель считал свидетельством диалектического характера познания. Гегель называл предрассудком прежней логики и обыденного сознания мнение, будто противоречие не такое существенное и имманентное определение, как тождество. Противоречие, подчеркивал Гегель, «есть корень всякого движения и жизненности». С точки зрения диалектического материализма, условие познания всех процессов мира есть познание их как единства противоположностей, а диалектика, прорывая узкий горизонт формальной логики, содержит в себе зародыш более широкого мировоззрения. Появление А. в системе научного знания - момент этого прорыва, этап в осознании противоречий объективной реальности. Формулировка А., вместе с тем, - это всегда постановка конкретной научной проблемы, решение которой служит основанием для формулирования (когда имеет место сознательно диалектический подход) диалектических по форме выводов. В этом случае А. «сжимается» в суждение, и так появляется бесконечное логическое. Часто эти проблемы обнаруживают себя как парадоксы (апории). Таковы, например, парадоксы теории множеств, апории движения, некоторые т. наз. «космологические парадоксы». Как А. следует также рассматривать учения о корпускулярной и волновой природе вещества и поля, о «траекторном» характере движения в теории относительности и отрицание траекторий в квантовой физике. Примерами преобразования А. в диалектические выводы являются афоризмы (высказывания) выдающихся мыслителей прошлого. Таков афоризм Сократа: «Я знаю, что я ничего не знаю». Таков вывод Гегеля, характеризующий противоречие механистического движения: «Движущееся тело одновременно находится и не находится в одном и том же месте». Этот вывод «сжимает» в одно суждение известные апории Зенона, выдвинутые им против движения. Таков вывод К. Маркса, характеризующий процесс возникновения капитала: «Капитал не может возникнуть из обращения и так же не может возникнуть вне обращения. Он должен возникнуть в обращении и в то же время не в обращении». Важнейшим моментом научного понимания природы А. является признание неравноценности тезиса и антитезиса, из которых она складывается. Одна сторона А. всегда превалирует (доминирует) над другой, включает в себя другую. Так, концепцию развития следует трактовать в плане единства прогресса (тезис) и регресса (антитезис) с преобладанием (в данном контексте) первого над вторым. Бесконечное включает конечное, необходимость - свободу, целое - часть, содержание - форму, причина - следствие и т. п.

  35. Источник: Новейший философский словарь



  36. Энциклопедический словарь

    АНТИНО́МИЯ -и; ж. [от греч. antinomia - противоречие в законе]. Филос., лог. Противоречие между двумя взаимоисключающими положениями, каждое из которых доказуемо логическим путем. А. между прерывностью и непрерывностью.

    Антиноми́ческий, -ая, -ое. А-ое противоречие. Антиноми́чный, -ая, -ое; -чен, -чна, -чно. А-ая природа мышления. А-ые положения суждений.

    * * *

    антино́мия

    (греч. antinomía — противоречие в законе), противоречие между двумя суждениями, одинаково логически доказуемыми. Учение об «антиномии разума», неизбежно возникающих при попытке осмыслить мир как единое безусловное целое, было развито И. Кантом. См. также Апория, Парадокс.

    * * *

    АНТИНОМИЯ

    АНТИНО́МИЯ (греч. antinomia, букв. противоречие между законами), противоречие двух равносильных суждений или умозаключений (термин известен с 17 века).

    Идея антиномии отчетливо выражена у Р. Декарта(см. ДЕКАРТ Рене) в дуализме мыслящей и телесной субстанций («вещи мыслящей» и «вещи протяженной»). Однако особый философский смысл эта идея приобретает в учении об антиномиях чистого разума И. Канта(см. КАНТ Иммануил). Антиномия, по Канту, есть необходимое противоречие, к которому разум приходит тогда, когда стремится мыслить мир как единое целое, подразумевая при этом в качестве предпосылки идею абсолютного (или безусловного); последняя же приложима лишь к миру «вещей в себе»,(см. ВЕЩЬ В СЕБЕ) а не к миру опыта (т.е. к миру конечных и обусловленных явлений).

    В основе антиномии лежит противоречивость, двойственность самой идеи бытия, предполагающей разделение бытия на объект познания и субъект познания. Эта черта познающего разума сказывается в многообразных расщеплениях, определяющих всю культуру Нового времени. Сфера «практического разума» (свободная причина) отщепляется от сферы «теоретического разума» (детерминизм), сфера культуры (духа) от сферы природы. Антиномия определяет также структуру и основные идеализации(см. ИДЕАЛИЗАЦИЯ) научной теории нового времени. Предельная и элементарная идеализация предмета в научном познании выражается принципиально антиномическим понятием: напр., материальная точка одновременно принадлежит и физическому континууму действий, и математическому континууму положений. В 20 в. корпускулярно-волновой дуализм(см. КОРПУСКУЛЯРНО-ВОЛНОВОЙ ДУАЛИЗМ), неопределенности принцип(см. НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ ПРИНЦИП) и дополнительности принцип(см. ДОПОЛНИТЕЛЬНОСТИ ПРИНЦИП) делают именно антиномизм понятия «материальная точка» теоретическим базисом новой неклассической физики, прежде всего квантовой механики(см. КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА).

  37. Источник: Энциклопедический словарь



  38. Начала современного естествознания

    (от греч.antinomia — противоречие в законе) — противоречие между рядом положений, из которых каждое имеет законную силу или противоречие между двумя суждениями, одинаково логически доказуемыми (например прерывность и непрерывность материи).

  39. Источник: Начала современного естествознания



  40. Математическая энциклопедия

    парадокc,- ситуация, когда в теории доказываются два взаимно исключающие друг друга суждения, причем каждое из этих суждений выведено убедительными с точки зрения данной теории средствами.

    В отличие от софизма, умышленно ложного умозаключения с замаскированной ошибкой, А., как правило, свидетельствует о более глубоких недостатках рассматриваемой теории. Часто обнаружение А. приводит к существенной перестройке всей теории в целом, привлекает внимание к новым явлениям и, в конечном счете, служит стимулом дальнейших исследований. Эта особенность А. со времен античности привлекла к ним внимание философов. Можно отметить, напр., существенную роль, к-рую играет исследование А. в философии Канта. Уже в античной философии обсуждалось несколько А., известных под назв. апорий. Приведем две знаменитые апории Зенонаиз Элей (5 в. до н. э.).

    "Ахиллес и черепаха". Апория описывает противоречивость нек-рых свойств движения и может быть формулирована следующим образом: пусть в пункте Анаходится бегун ("Ахиллес"), а в пункте Вна расстоянии 100 м от A - черепаха. В один и тот же момент Ахиллес отправляется бегом из Ав направлении к В, стремясь догнать черепаху, а черепаха устремляется из Впрочь от Асо скоростью, скажем, в сто раз меньшей скорости бегуна. Опыт свидетельствует, что в подобной ситуации Ахиллес довольно быстро догонит черепаху. С другой стороны, можно, как будто, установить, что Ахиллес никогда не догонит черепаху (и даже не достигнет пункта В). В самом деле, к моменту, когда Ахиллес достигнет середины С 1 маршрута АВ, черепаха, пусть на небольшое расстояние, но все же удалится от В. Далее, Ахиллес добежит до середины С 2 отрезка С 1 В, затем до середины С 3 отрезка CZB и т. д. Все это время черепаха будет удаляться от В. Чтобы достигнуть В, Ахиллесу, таким образом, необходимо побывать в каждом из бесконечной последовательности пунктов Однако представляется верным, что невозможно за конечное время побывать в бесконечном количестве различных пунктов. Следовательно, Ахиллес никогда не достигнет пункта Ви не догонит черепаху.

    Парадоксы приведенного типа легко преодолеваются в современной математич. модели непрерывного движения. Как показывает подробный анализ, существенную роль в их преодолении играет выполнение в поле действительных чисел так наз. аксиомы Архимеда: для всяких действительных чисел найдется натуральное птакое, что . И все же ситуация, отраженная в парадоксе, достаточно глубока. Можно оспаривать удобство или адекватность реальному движению общеупотребительной математич. модели. Для исследования концепции физических бесконечно малых и бесконечно больших величин неоднократно предпринимались попытки построения теории действительных чисел, в к-рой аксиома Архимеда не имеет места. Во всяком случае, теория неархимедовых упорядоченных полей является весьма содержательной частью современной алгебры. В нестандартном анализе решающую роль играет именно неархимедовское упорядоченное поле - нестандартная действительная прямая.

    "Парадокс кучи" состоит в следующем. Одна песчинка, очевидно, не образует кучи песка. Если ппесчинок не могут образовать кучи песка, то и после прибавления еще одной песчинки они по-прежнему не могут образовать кучи. Следовательно, никакое число песчинок не образует кучи.

    В современной терминологии к этому парадоксу можно сделать следующий комментарий: метод полной математич. индукции нельзя применять, как показывает парадокс, к объемно неопределенным понятиям, каковым является понятие "куча песчинок". В последнее время (2-я пол. 20 в.) объемно неопределенные понятия используются в основаниях математики для установления непротиворечивости классич. теорий, и свойства таких понятий исследуются точными методами. Методами математич. логики можно реализовать ситуацию, когда математич. индукция неприменима в общей форме ко всему натуральному ряду, хотя весьма многие обычные свойства натуральных чисел при этом выполняются (так наз. нестандартная модель арифметики).

    Но наибольший интерес для математики представляют, несомненно, А., связанные с необычными способами образования понятий. Это так наз. логические и семантические антиномии (см. также Сколема парадокс).

    Приведем три примера логических А.

    Антиномия Рассела (В. Russell, 1902) открыта независимо также Э. Цермело (Е. Zermelo). Рассмотрим следующее свойство Dмножеств. Именно, будем считать, что для множества Xвыполняется свойство Dтогда и только тогда, когда Xне является элементом самого себя. Для подавляющего большинства конкретных множеств, употребляемых в математич. рассуждениях, свойство Dвыполняется. Так, ни множество всех натуральных чисел, ни множество всех действительных чисел не являются элементами самих себя. Рассмотрим теперь множество Ттакое, что его элементы суть в точности те множества X, для к-рых выполняется D. Попробуем теперь выяснить, что верно: или . Пусть , тогда, по определению, для Твыполняется свойство D, то есть . Таким образом, необходимо . Но это вновь приводит к противоречию, т. к. ввиду для Твыполняется Dп, следовательно,.

    Можно попытаться избежать парадокса, утверждая, что вышеприведенное рассуждение свидетельствует лишь о том, что указанного множества Тне существует, т. е. что свойство Dне определяет никакого множества. Но такой выход отнюдь не упрощает си-туадию. Действительно, с позиций "наивной" теории множеств естественно считать, что всякое точно описанное свойство Вобъектов определяет множество Стех объектов, к-рые удовлетворяют свойству В. Парадокс Рассела наносит сильный удap по этой естественной концепции. Приходится согласиться, что нек-рые на первый взгляд весьма простые свойства, вроде описанного выше свойства D, следует считать не точно описанными или же считать, что имеются точно описанные свойства, к-рые не определяют множеств. Такая точка зрения, в свою очередь, выдвигает ряд трудных проблем. Какие свойства считать точно описанными, а какие нет? Какие свойства определяют множества, а какие нет? Может быть, и те свойства, к-рые широко употребляются в практике теоретико-множественной математики, также ведут к парадоксам и должны быть забракованы? Можно ли описать по крайней мере нек-рую надежную область, в к-рой можно считать себя достаточно застрахованным от парадоксов и к-рая все же достаточно обширна, чтобы включать в себя привычную практику математики?

    Проблему точного описания свойств можно считать удовлетворительно решенной с созданием точных логико-математич. языков. Что же касается описания критериев для выделения класса свойств, определяющих множества, то эта проблема весьма далека от своего разрешения. Более того, современные результаты аксиоматич. теории множеств свидетельствуют, по-видимому, в пользу того, что окончательного решения этой проблемы не существует. Антиномия Рассела произвела очень большое впечатление на современников именно потому, что эта А. возникает на самой начальной стадии изучения теории множеств.

    Тем не менее имеются различные пути избежания парадоксов, к-рые, хотя их и нельзя признать окончательными или наиболее естественными, обеспечивают большие практич. удобства и проливают свет как на природу парадоксов, так и на логич. связи других теоретико-множественных принципов. Особенно успешным оказался аксиоматич. подход к основаниям теории множеств (см. Аксиоматическая теория множеств). Так, формальная аксиоматич. система Цермело - Френкеля является в настоящее время (70-е гг. 20 в.) самой употребительной аксиоматич. теорией, наиболее адекватно отражающей "непарадоксальную" часть классич. теоретико-множественной практики.

    Антиномия "деревенский парикмахер". Это - вариант парадокса Рассела, сформулированный применительно к житейской ситуации. (Несколько иная форма этой А. известна под назв. парадокса Гонсета.) Рассмотрим деревенского парикмахера, к-рый бреет всех тех и только тех жителей своей деревни, к-рые не бреются сами. Бреет ли он сам себя? Рассуждая, как в антиномии Рассела, мы установим, что он бреет себя и не бреет себя. Можно легко выйти из затруднения, заметив, что парадокс свидетельствует только о том, что такого парикмахера не может существовать. Рассматриваемая А. показывает, что условие, к-рому должен удовлетворять деревенский парикмахер, является внутренне противоречивым и, следовательно, невыполнимым. Правда, такая точка зрения естественно вызывает к жизни проблему описания критериев для внутренне непротиворечивых свойств, однако, в отличие от ситуации в антиномии Рассела, здесь эта проблема отнюдь не является столь актуальной. Она относится к житейской ситуации, а такого рода ситуации и вообще далеко не всегда бывают точно сформулированными или надежно установленными. Кроме того, внутренняя непротиворечивость - вовсе не единственный и, по-видимому, не главный критерий приемлемости житейского суждения. Иное дело математич. рассуждение, от к-рого мы вправе ожидать значительно большей окончательности и убедительности. Внутренняя непротиворечивость - важнейшая сторона такого рассуждения.

    Антиномия Кантора (G. Cantor, 1899). Пусть М - множество всех множеств и Р(М) - множество всех его подмножеств. Из определения Мочевидно, что Р(М).включено в М. С другой стороны, по известной теореме Кантора, Р(М).имеет мощность, большую, чем М, и поэтому Р(М).не может быть подмножеством М. Из антиномии Кантора можно сделать примерно те же выводы, что и из антиномии Рассела. В частности, можно считать, что антиномия Кантора представляет собой доказательство несуществования множества Мвсех множеств. Интересно в связи с этим отметить, что существуют аксиоматич. системы теории множеств, напр, известная система New Foundations У. Куайна (W. v. Quine), в к-рых существование множества Мможно установить. Парадокс Кантора в New Foundations избегается благодаря тому, что в этой системе теорему Кантора о мощности удается доказать лишь в нек-рой специальной форме, недостаточной для проведения парадокса. Вообще, для проведения антиномии Кантора нужны существенно более сложные понятия теории множеств, чем для проведения антиномии Рассела (такие, как понятие подмножества, идеи взаимно однозначного соответствия и т. п.).

    Сходен с антиномией Кантора так наз. парадокс Бурали - Форт и, в котором рассматривается класс всех ординальных чисел. Порядковый тип этого класса должен быть больше всех ординалов, содержащихся в нем.

    Значительный интерес представляют также А. несколько иного вида, наз. семантическими. В отличие от логических, в состав семаитич. А. входят такие семаитич. термины, как "истина", "ложь", "обозначает", "определяет" и другие. Впрочем, это различие, предложенное Ф. Рамсеем (F. Ramsey, 1926), является в значительной степени условным. Многие семантич. А. могут быть сформулированы в логич. форме, и наоборот. По наблюдению Ф. Рамсея, семантич. А. не могут быть проведены в обычных логико-математич. теориях уже потому, что эти теории не содержат семантпч. понятий, нужных для формулировки семантич. А. В этом смысле семантич. А. "безопаснее" логических. Но здесь следует иметь в виду также, что в настоящее время исследуются и теории, содержащие понятия, нужные для формулировки нек-рых се. <мантич. парадоксов, в особенности парадоксов Ришара (но в к-рых парадоксы все же избегаются специальными средствами). Приведем два известных семантич. парадокса.

    Антиномия Ришара (J. Richard) в форме Берри (G. D. W. Berry, 1906). Рассмотрим множество натуральных чисел, каждое из к-рых может быть однозначно определено с помощью осмысленного текста, содержащего не более тысячи слогов. Очевидно, таких чисел конечное количество, т. к. совокупность всех текстов с не более чем тысячью слогами конечна. Рассмотрим наименьшее натуральное число, не входящее в упомянутое выше множество.

    Приведенный выше абзац представляет собой осмысленный текст, объемом не более чем в тысячу слогов, однозначно определяющий нек-рое натуральное число, к-рое по самому своему определению не может быть охарактеризовано такого рода текстом. Конечно, парадокса можно избежать, если объявить указанный текст неосмысленным (пли не определяющим натурального числа), но тогда, как и в ранее рассмотренных случаях, естественно поставить трудные проблемы, касающиеся описания критериев осмысленности текстов, и т. п.

    Антиномия Эвбулида (4 в. до н. э.). Допустим, что нек-рый субъект произносит следующую фразу: "Высказывание, к-рое я сейчас произношу, ложно". Ложно само это высказывание или нет? Из допущения, что оно истинно, н его смысла следует, что оно должно быть ложно. С другой стороны, из его ложности немедленно следует, что оно не может быть ложно. Известно много вариантов этого парадокса - парадокс лжеца, парадокс Эпименида и др. Идея этого парадокса лежит в основе доказательства знаменитой Гёделя теоремы о неполноте формальных аксиоматич. теорий.

    В целом анализ парадоксов способствовал радикальному пересмотру взглядов на проблему обоснования математики п развитию многих современных идей и методов математич. логики.

    Лит.:[1] Френкель А., Бар-Хиллел И., Основания теории множеств, пер. с англ., М., 1966; [2] Клини С. К., Введение в метаматематику, пер. с англ., М., 1957.

    А. Г. Драгалин.

  41. Источник: Математическая энциклопедия



  42. Русско-английский политехнический словарь

    антино́мия ж.

    antinomy

  43. Источник: Русско-английский политехнический словарь



  44. Dictionnaire technique russo-italien

    ж.

    antinomia f

  45. Источник: Dictionnaire technique russo-italien



  46. Русско-украинский политехнический словарь

    матем.

    антино́мія

  47. Источник: Русско-украинский политехнический словарь



  48. Русско-украинский политехнический словарь

    матем.

    антино́мія

  49. Источник: Русско-украинский политехнический словарь



  50. Энциклопедия социологии

    (от греч. antinomia - противоречие в законе) - англ. antinomy; нем. Antinomie. Противоречие между двумя тезисами одинаково обоснованными и оцениваемыми как верные.

  51. Источник: Энциклопедия социологии



  52. Толковый словарь по социологии

    (от греч. antinomia - противоречие в законе) - англ. antinomy; нем. Antinomie. Противоречие между двумя тезисами одинаково обоснованными и оцениваемыми как верные.

  53. Источник: Толковый словарь по социологии



  54. Словарь терминов логики

  55. Источник:



  56. Словарь бизнес-терминов

  57. Источник:



  58. Тезаурус русской деловой лексики

  59. Источник:



  60. Большой Энциклопедический словарь

  61. Источник: