«ФИНИТИЗМ»

ФИНИТИЗМ (от лат. finitus - определенный - законченный), логико-математическая концепция, согласно которой в метатеории допускаются лишь финитные (интуитивно ясные, бесспорные) средства рассуждений, проводимых в терминах обычного языка. См. также Формализм математический.

ФИНИТИЗМ

(лат. finitus — определённый, ограниченный, законченный), методологич. установка в теории доказательств, возникшая в нач. 20 в. в работах Гильберта и его школы с целью обоснования непротиворечивости теоретико-множеств. математики. Программа Ф. предполагала формализацию теории (непротиворечивость которой доказывается), включая правила вывода и способы образования понятий, и одновременно её аксиоматизацию (см. Аксиоматичеекий метод) при отвлечении от к.-л. (модельного) истолкования её формальных объектов. К этим двум требованиям, касающимся изучаемых теорий, Ф. присоединял требование обязат. наглядности (конкретности) объектов метатеории этих теорий, выражающее финитную т. зр. на задачу оснований — сведение проблемы непротиворечивости к некоторой комбинаторной (конечной) проблеме, разрешимой без обращения к к.-л. «интуиции бесконечного». Т. о., в теории доказательств финитная т. зр. предполагала конкретно-содержат. способ рассмотрения и конечную установку мышления. В известном смысле Ф. явился усилением интуиционистских (см. Интуиционизм) претензий к «технике мышления», используе-мой в метатеории, и, напротив, их ослаблением в соот-ветств. теории, где свободно допускались сколь угодно сильные т. н. платонистские абстракции бесконечности и все средства нефинитной (классич.) логики. Надёжность финитной т. зр., рассчитанной на минимум логико-математич. средств, привлекаемых для обоснования, оказалась, однако, препятствием для решения гл. задачи Ф. — доказательства непротиворечивости классич. математики, что привело к последующему расширению финитной т. зр. и методов самой теории доказательств (напр.. за счёт трансфинитной индукции, гёде-левских функционалов конечных типов и др. абстрактных понятий).

Гёдель К., Об одном ещё не использованном расширении финитной т. зр., в кн.: Математич. теория логич. вывода. Сб. переводов, М.,1967; Гильберт Д., Беpнайс П., Основания математики, пер. с нем., т. l, M.,1979, гл. 2; Kreisel G., Hubert's programme, «Dialectica»,1958, v. 12; Tait W. W., Finitism, «Journal of Philosophy»,1981, v. 78, № 9.

финити́зм

(от лат. finitus — определённый, законченный), логико-математическая концепция, согласно которой в метатеории допускаются лишь финитные (интуитивно ясные, бесспорные) средства рассуждений, проводимых в терминах обычного языка. См. также Формализм математический.

* * *

ФИНИТИ́ЗМ (от лат. finitus — определенный, законченный), логико-математическая концепция, согласно которой в метатеории допускаются лишь финитные (интуитивно ясные, бесспорные) средства рассуждений, проводимых в терминах обычного языка. См. также Формализм математический(см. ФОРМАЛИЗМ).

- идущая от Д. Гильберта (D. Hilbert) методологич. точка зрения на то, какие объекты и способы рассуждений в математике следует считать абсолютно надежными. Основные требования Ф. таковы:

1) объекты рассуждений - конструктивные объекты, напр. цифровые записи натуральных чисел, формулы в символич. языке и их конечные совокупности;

2) применяемые операции однозначно определены и принципиально выполнимы (вычислимы);

3) никогда не рассматривается множество всех предметов хкакой-либо бесконечной совокупности; всеобщее суждение (х)есть высказывание о произвольном объекте х, к-рое подтверждается в каждом конкретном случае;

4) утверждение о существовании объекта х, обладающего свойством (х), означает либо предъявление конкретного такого объекта, либо указание способа его построения.

Ограничения Ф. на логику близки к интуиционистским, хотя в целом финитная точка зрения является более жесткой. Рассуждение, удовлетворяющее требованиям 1) - 4), не выводит за рамки интуиционистской арифметики (см. Интуиционизм).

После проведения формализации (см. Аксиоматический метод )содержательные математич. теории становятся конструктивными объектами (совокупностями конструктивных объектов). В рамках подхода Д. Гильберта и его последователей Ф. нужен для изучения таких формализованных теорий; надежно установленными считаются только те свойства теорий, к-рые доказаны финитными методами. Гёделя теорема о неполноте показала принципиальную недостаточность финитных средств для подобного обоснования математики. Это привело к необходимости расширить применяемые в теории доказательств средства за рамки Ф.

Лит.:[1] Клини С. <К., Введение в метаматематику, пер. с англ., М., 1957; [2] Френкель А., Бар - Xиллел И., Основания теории множеств, пер. с англ., М., 1966; [3] Гильберт Д., Бернайс II., Основания математики. Логические исчисления и формализация арифметики, пер. с нем., 2 изд., М., 1982.

С. Н. Артемов.