«КРАЕВАЯ ЗАДАЧА»

краева́я зада́ча

часто встречающаяся в математической физике задача, в которой из класса функций, определённых в данной области, требуется найти функцию, удовлетворяющую на границе (крае) этой области заданным условиям.

* * *

КРАЕВА́Я ЗАДА́ЧА, часто встречающаяся в математической физике задача, в которой из класса функций, определенных в данной области, требуется найти функцию, удовлетворяющую на границе (крае) этой области заданным условиям.

методы комплексного переменного - методы изучения К. з. для дифференциальных уравнений с частными производными, в к-рых используется представление решений через аналитич. функции комплексного переменного.

Пусть для уравнения 2-го порядка эллиптич. типа

где а, Ь, с - аналитич. функции действительных переменных х, у внек-рой области плоскости поставлена К. з.: найти регулярное в односвязной области решение уравнения (1), удовлетворяющее краевому условию

где - линейные операторы, отображающие причем - вполне непрерывны. Эта задача охватывает известные классические краевые задачи Дирихле, Неймана, Пуанкаре и др. При помощи формулы общего представления решений (см. Дифференциальное уравнение с частными производными;. методы комплексного переменного):

эта задача приводится к эквивалентной К. з. для аналитич. функций:

где - заданные непрерывные в смысле Гёльдера функции, - вполне непрерывный оператор, а - линейные операторы. Пусть конечная односвязная область Sограничена замкнутым контуром Ляпунова (см. Ляпунова поверхности и кривые) и пусть производная порядка голоморфной в Sфункции Ф (г) принимает на значения функции класса Тогда, считая, что точка z=0 принадлежит S, функцию Ф(z) представляют в виде:

где m(t) - действительная функция класса 0<a<1, а с - действительная постоянная; и с определяются по Ф (z) единственным образом. Подстановка этих выражений в краевое условие (3) позволяет получить для искомой функции эквивалентное задаче (2) сингулярное интегральное уравнение вида

где Т - вполне непрерывный оператор. Для нормальной разрешимости К. з. (2) необходимо и достаточно, чтобы

Задача Дирихле (m=0) всегда нормально разрешима. (Ниже всюду предполагается, что условие (4) соблюдено. Индекс К. з. (2) вычисляется по формуле

где р - приращение функции при однократном обходе контура в положительном направлении. Индекс задачи Дирихле равен нулю. Однородная К. з. имеет конечное число линейно независимых решений, причем а неоднородная задача (2) имеет решение тогда и только тогда, когда выполняются равенства

где - полная система линейно независимых решений союзного однородного интегрального уравнения

Необходимым и достаточным условием для того, чтобы К. з. (2) имела решение для любой правой части, является наличие ровно линейно независимых решений у соответствующей однородной задачи R(u)=0. Следовательно, в случае однородная К. з. R(u)=0 всегда имеет не меньше, чем х, линейно независимых решений, а при неоднородная задача (2) не допускает решения для любой правой части, причем число условий разрешимости не меньше

Необходимые и достаточные условия разрешимости неоднородной К. з. могут быть сформулированы в терминах замкнутости относительно рассматриваемой области нек-рого ядра, а также полноты определенной системы функций. Эти ядра и системы функций строятся в явном виде при помощи функции Римана уравнения (1) и коэффициентов краевого условия. Напр., пусть - некоторая полная система решений относительно основной области D₀ уравнения (1) и пусть Тогда необходимым и достаточным условием разрешимости задачи (2) для любой правой части является полнота системы функций {R(u_k)}на границе.

Весьма полные результаты получены относительно следующей К. з. (обобщенной задачи Римана - Гильберта): найти решение уравнения

непрерывное в и удовлетворяющее краевому условию

где - заданные действительные функции, принадлежащие классу причем Область S, вообще говоря, многосвязна. Такая задача может быть редуцирована к эквивалентному сингулярному интегральному уравнению. Этим путем удается получить полный качественный анализ К. з. (6).

Пусть граница области Sсостоит из конечного числа простых замкнутых кривых удовлетворяющих условиям Ляпунова. Так как при конформных отображениях вид уравнения и краевого условия сохраняются, то без ущерба для общности можно считать, что - единичная окружность с центром в точке z=0, лежащей в рассматриваемой области - окружности, лежащие внутри

Индексом задачи (6) наз. целое число п, равное приращению когда точка z один раз обойдет в положительном направлении. Краевое условие можно привести к более простому виду

где причем - некоторые действительные постоянные, к-рые однозначно выражаются через a и b. Индекс сопряженной задачи

вычисляется по формуле:n'=-n+m-1.

Задача (6) имеет решение тогда и только тогда, когда

где w* - произвольное решение сопряженной задачи. Пусть еи е' - числа линейно независимых решений однородных задач (6) и (7) соответственно. Тогда

Если n<0, то однородная задача (6) не имеет нетривиальных решений. Если n>m-1, то однородная задача (6) имеет ровно е=2п+1-т линейно независимых решений, а неоднородная задача (6) всегда разрешима. Если n<0, то неоднородная задача (6) имеет решение тогда и только тогда, когда

где - полная система решений однородной задачи (7). Если m=0 и n=0, то е=1 и все решения однородной задачи [6] имеют вид

где с - действительная постоянная, а w₀ - непрерывная в функция. Приведенные результаты полностью характеризуют задачу в односвязном (m=0) и многосвязном (n<0, n>m-1) случаях. Особого рассмотрения требуют случаи к-рые также в достаточной мере детально разработаны. Для уравнения (5) изучена также К. з. типа Пуанкаре задачи.

Лит. см. при ст. Дифференциальное уравнение с частными производными;методы комплексного переменного. И. Н. Векуа.

для обыкновенного дифференциального уравнения - задача о нахождении решения уравнения

принадлежащего заданному множеству Dпространства абсолютно непрерывных на Jфункций от tсо значениями в

Здесь функция f(t, x).определена на принимает значения в и удовлетворяет условиям Каратеодори; J - промежуток числовой прямой

1) К. з. (1), (2) наз. линейной, если

где функции A(t).и b(t).суммируемы на каждом компактном промежутке из J; множество Dявляется линейным многообразием в В частности, может быть

где функция Ф (t).имеет ограниченную вариацию. Линейная К. з. порождает линейный оператор

собственные значения к-рого являются теми значениями параметра при к-рых однородная К. з.

имеет нетривиальные решения. Эти нетривиальные решения суть собственные функции оператора L. Если обратный оператор существует и имеет место интегральное представление

то функция G(t, s).наз. функцией Грина.

2) Пусть функция f(t, x).почти периодична по tравномерно относительно x на каждом компактном подмножестве из - множество абсолютно непрерывных на J почти периодич. функций от t. Тогда К. з. (1), (2) наз. задачей о почти периодических решениях.

3) В теории управления рассматриваются К. з. с функциональным параметром - управлением. Напр., пусть задано уравнение

множество допустимых управлений U и два множества Пусть D - множество абсолютно непрерывных функций от t, удовлетворяющих включениям К. з. состоит в нахождении такой пары что и решение x₀(t).уравнения (3) при удовлетворяет условию

4) Имеется большое количество разнообразных необходимых и достаточных условий существования, единственности решения разных К. з. и методов построения приближенного решения (см. [4]-[7]). Рассмотрим, напр., задачу

в которой

для нек-рых постоянных Пусть соответствующая однородная задача

регулярна, т. е. имеет только тривиальное решение. Тогда задача (4) имеет по крайней мере одно решение, если либо либо и bдостаточно мало. Исследование задачи (5) на регулярность является довольно сложной проблемой. Однако, напр., линейная К. з. (скалярная)

регулярна, если при найдется такое что

Лит.:[1] X а р т м а н Ф., Обыкновенные дифференциальные уравнения, пер. с англ., М., 1970; [2] Красносельский М. А., Б у р д В. III., К о л е с о в Ю. С., Нелинейные почти периодические колебания, М., 1970; 13]П о н т р я г и н Л. С., [и др.], Математическая теория оптимальных процессов, 3 изд., М., 1976; [4] К р а с о в с к и й Н. Н., Теория управления движением. Линейные системы, М., 1968; [5] Зубов В. И., Лекции по теории управления. М., 1975; [6] К а м к е Э., Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям, пер. с нем., 5 изд., М., 1976; [7] К и г у р а д з е И. Т., Некоторые сингулярные краевые задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений, Тб., 1975.

Ю. В. Номленко, Е. Л. Тонков.

численные методы решения для уравнений с частными производными - приближенные методы решения, в результате к-рых решение задачи представляется таблицей чисел. Точно решения (в виде явных формул, рядов и т. п.) К. з. можно построить лишь в редких случаях. Из приближенных методов решения наибольшее распространение получили разностные методы (см. [1]); они применимы к самым общим задачам и удобны для реализации на ЭВМ. Сущность разностных методов состоит в том, что исходная область изменения независимых переменных заменяется дискретным множеством точек - сеткой, а производные, входящие в уравнение и в граничные условия, аппроксимируются на этой сетке разностными отношениями. В результате такой процедуры исходной задаче сопоставляется система конечного числа алгебраич. уравнений (линейных или нелинейных), называемая разностной схемой. За приближенное решение исходной задачи принимается решение разностной схемы. Точность приближения зависит от способа аппроксимации и от густоты сетки, т. е. от того, насколько плотно сетка заполняет исходную область. В дальнейшем рассматриваются только линейные К. з. для уравнений с частными производными, причем исходная задача считается корректно поставленной. Обоснование разностных методов связано с исследованием корректности разностной задачи и ее сходимости при измельчении сетки. Разностная задача наз. к о р р е к т н о й, если при любых правых частях ее решение существует, единственно и устойчиво. Под устойчивостью разностной схемы понимается непрерывная зависимость ее решения от правой части, равномерная относительно шагов сетки.

Пусть, напр., требуется решить задачу Дирихле для уравнения Пуассона в квадрате с границей Г:

Область Gзаменяется квадратной сеткой с шагом h, т. е. множеством точек

а производные, входящие в уравнение, - разностными отношениями

где - ее решение.

Решение задачи (1) существует и единственно при любых правых частях f и при любых, граничных условиях (см. [2]). Более того, решение разностной задачи (1) сходится при к решению исходной задачи, причем схема имеет второй порядок точности в норме с, то есть

где М - постоянная, не зависящая от h.

Разностная схема (1) представляет собой систему линейных алгебраич. уравнений, для к-рой характерно большое число уравнений (именно уравнений, причем ), большое число нулей в матрице этой системы и плохая обусловленность (отношение наименьшего собственного числа к наибольшему есть величина порядка ). Для решения подобных систем уравнений, возникающих при аппроксимации дифференциальных уравнений разностными, существуют аффективные прямые и итерационные методы. Прямые методы дают точное решение разностной задачи после выполнения конечного числа арифметич. действий. К прямым методам относятся различные варианты метода прогонки, включая матричную прогонку, метод декомпозиции, быстрое преобразование Фурье, метод суммарных представлений (см. [1],|2], [3], [6]). Эффективность прямых методов оценивается порядком числа действий при Так, матричная прогонка требует для решения задачи (1) числа действий в то время как метод быстрого преобразования Фурье требует для решения той же задачи действий. Из итерационных методов решения разностных задач используется метод Ричардсона с чебышевским набором параметров, попеременно-треугольный итерационный метод, различные методы переменных направлений (см. [2]). Эффективность итерационных методов оценивается порядком минимального числа итераций необходимых для того, чтобы уменьшить погрешность начального приближения в раз. Напр., при решении задачи (1) методом Ричардсона величина имеет порядок а при решении методом переменных направлений с оптимальным выбором итерационных параметров Итерационные методы более универсальны и более просты в реализации, чем прямые, и вследствие этого получили большое распространение при решении разностных задач.

Пусть, напр., требуется решить первую К. з. для уравнения теплопроводности:

Для решения этой задачи задается сетка по времени с шагом t>0, и сетка G_h по пространственным переменным. Пусть Производная аппроксимируется отношением

а лапласиан - разностным оператором Исходному уравнению (2) ставится в соответствие разностная схема

Параметр а, входящий в эти уравнения, определяет устойчивость и точность схемы. Если то схема (3) устойчива при любых шагах сетки (абсолютно устойчивая разностная схема). Если же то схема (3) устойчива при нек-ром ограничении на величину (условно устойчивая разностная схема); напр., явная схема (s=0) устойчива при условии При с_хема имеет второй порядок точности по т и по h, при остальных s - первый порядок точности по и второй - по h. Разностная задача (3) решается "по слоям". Слоем номера пназ. множество всех точек сетки при нек-ром фиксированном h. На нулевом слое (при n=0) значения известны из начальных условий. Если значения на нек-ром слое пуже известны, то значения на следующем слое находятся из системы уравнений

Для нахождения решения задачи (4) мощно воспользоваться любым из методов решения стационарной задачи (1). Существуют, однако, более экономичные алгоритмы решения многомерных нестационарных К. з., а именно методы переменных направлений (см. [1] - [5]), позволяющие сводить решение многомерной задачи к решению последовательности одномерных задач. Так, для решения уравнения теплопроводности можно воспользоваться следующей схемой переменных направлений:

Эта схема абсолютно устойчива, имеет второй порядок точности и решается путем последовательного обращения одномерных разностных операторов.

Решение разностной задачи, даже если оно получено точно, может не только количественно, но и качественно отличаться от решения исходной дифференциальной задачи. Особенно сильно это отличие сказывается при счете уравнений, имеющих особенности в коэффициентах или в самом решении (так, при расчете разрывных решений уравнений газовой динамики обычно появляются зоны сильного "размазывания" разрывов). Таким образом, непосредственная аппроксимация дифференциальной задачи разностной, когда производные заменяются с большой степенью произвола разностными отношениями, не всегда приводит к хорошей разностной схеме. Выработан ряд принципов построения разностных схем, позволяющих получить схемы хорошего качества. Так, успешно применяется метод баланса и методы аппроксимации вариационного функционала (см. [1]-[3]). Полученные этими методами разностные схемы правильно отражают интегральные законы сохранения, справедливые для исходных уравнений, и обеспечивают знакоопределенность соответствующих разностных операторов. В теории разностных однородных схем (см. [7]) рассматриваются вопросы построения и исследования сходимости разностных схем для уравнений с переменными (в том числе и разрывными) коэффициентами.

Лит.:[1] ТИХОНОВА. Н., Самарский А. А., Уравнения математической физики, 5 изд., М., 1977; [2] Самарский А. А.. Теория разностных схем, М., 1977; [3] Марчук Г. И., Методы вычислительной математики, М., 1977; [4] Я н е н к о Н. Н., Методы дробных шагов решения многомерных задач математической физики, Новосиб., 1967; [5] Дьяконов Е. Г., Разностные методы решения краевые задач, в. 1-2, М., 1971-72; [6] П о л о ж и и Г. Н., Численное решение двумерных и трехмерных краевых задач математической физики и функции дискретного аргумента, Киев, 1962; [7] Тихонов А. Н., Самарский А. А., "Ж. вычислит. матем. и матем. физ.", 1961, т. 1, в. 1, с. 5-63. А. В. Гулин.

для эллиптического уравнения - задача отыскания регулярного в области Dрешения иэллиптического уравнения

удовлетворяющего нек-рым дополнительным условиям на границе Г области D. Классические К. з. являются частными случаями следующей задачи: найти регулярное в области Dрешение уравнения (1), удовлетворяющее на границе Г условию

где - производная по нек-рому направлению; а, Ь и g - заданные непрерывные на Г функции, причем всюду на Г (см. [1]). При К. з. есть Дирихле задача;при а=1 - задача с косой производной (см. Дифференциальное уравнение с частными производными;задача с косой производной), к-рая переходит в Неймана задачу, если направление l совпадает с направлением конормали. Если где Г ₁ и Г ₂ - непересекающиеся открытые подмножества либо является ( п-2)-мерным многообразием, либо пусто, и a=1, b=0 на Г ₁, а=0, b=1на Г ₂, то получается смешанная задача.

Задача (2) изучалась для эллиптич. уравнений с двумя независимыми переменными (см. [2]). Довольно полно исследованы задача Дирихле для эллиптич. уравнений с любым конечным числом независимых переменных (см. [1], [3], [4]) и задача с косой производной в том случае, когда направление lни в одной точке Г не выходит в касательную к Г плоскость. В этом случае задача с наклонной производной - фредгольмова и решение имеет такую же гладкость, как и поле направлений lи функция g(см. [1]). Изучался случай, когда lвыходит в касательную к Г плоскость в нек-рых точках Г (см. [3]). Были исследованы локальные свойства решений задачи с косой производной (см. [5]). В точках выхода поля lв касательную к Г плоскость решение задачи менее гладкое, чем поле lи функция g. На основании этого исследована задача в обобщенной постановке (см. [7], [8]).

Пусть краевое условие для регулярных в единичном шаре гармонич. функций имеет вид

К - множество точек единичной сферы S, в к-рых обращается в нуль функция Векторное поле Р( а, b, с) по множеству Квыходит в касательную к единичной сфере Sплоскость. Пусть, кроме того, Ксостоит из конечного числа непересекающихся кривых, - подмножество К, состоящее из таких точек, в к-рых grad w составляет острый угол с проекцией поля Рна сферу S, и К ^- - оставшаяся часть К. Обобщенная постановка задачи заключается в дополнительном задании значении и на K⁺, но на множестве К ^- допускаются интегрируемые особенности у решения и. В случае, когда К ^- пусто, за счет повышения гладкости дополнительных данных задачи можно сделать сколь угодно гладким решение обобщенной задачи. Решение смешанной задачи на множестве вообще говоря, имеет особенности (см. [1]). Для того чтобы это решение не имело особенностей на Г ₀, необходимо накладывать дополнительные условия на данные задачи (см. [11]). Широкий класс К. з. составляют так наз. задачи со свободными границами. В этих задачах требуется найти не только решение уравнения (1), но и область его регулярности. Граница Г области неизвестна, но на ней должны удовлетворяться два краевых условия. Примером таких задач является задача о волновых движениях идеальной жидкости. В этой задаче ищется регулярная в нек-рой области Dгармонич. функция и, причем часть Г ₁ границы известна и на Г ₁ нормальная производная равна нулю, а другая часть границы Г ₂ неизвестна и на ней выполняются два краевых условия:

где q>0 - заданная функция.

Для гармонич. функций двух независимых переменных используется аппарат конформных отображений (см. [12], [13], [14]). См. также Дифференциальное уравнение с частными производными;задача со свободными границами. Исследовалась следующая задача: найти регулярную в области Dгармонич. функцию и, удовлетворяющую на границе Г области условию

где q>0 - заданная функция. Для гармонич. функций двух независимых переменных эта задача решена полностью (см. [14]).

Для уравнения где L - равномерно эллиптический в замыкании области Dоператор порядка 2т, рассматривается задача отыскания регулярного в Dрешения и, удовлетворяющего на границе Г области Dусловиям:

где - дифференциальные операторы, удовлетворяющие следующему условию дополнительности.

Пусть - главная часть оператора - главная часть оператора - нормаль к Г в точке - произвольный вектор, параллельный Г. Через обозначены корни с положительными мнимыми частями. Многочлены относительно переменного должны быть линейно независимыми по модулю многочлена И в этом случае задача является нормально разрешимой. Нарушение условия дополнительности может повлечь существенное изменение характера задачи (см. [17]).

Задача (2) - частный случай задачи (3). Для задачи (2) при условие дополнительности эквивалентно тому, что направление lни в одной точке границы области не выходит в касательную к границе плоскость.

Другим частным случаем задачи (3) является задача с краевыми условиями:

к-рая есть некоторый аналог задачи Дирихле для эллиптич. уравнений высших порядков. Изучена К. з. для полигармонич. уравнения когда граница области состоит из многообразий различной размерности (см. [15]). При исследовании К. з. для нелинейных уравнений (напр., задач Дирихле и Неймана) важную роль играют априорные оценки решений (1), различные принципы неподвижной точки (см. [17], [18]) и обобщения Морса теории, на бесконечномерный случай (см. [19]).

Лит.:[1] Миранда К., Уравнения с частными производными эллиптического типа, пер. с итал., М., 1957; [2] В е к у а И. Н., Обобщенные аналитические функции, М., 1959; [3] Бицадзе А. В., Краевые задачи для эллиптических уравнений второго порядка, М., 1966; [4] К е л д ы ш М. В., "Успехи матем. наук", 1941, в. 8, с. 171-292; [5] Н o r m a n d е r L., "Ann. Math.", 1966, v. 83, № 1, p.129-209; [6] В о r r е l l i R. L., "J. Math. and Mech.", 1966, v. 16, M 1, p. 51-81; [7] Eгopов Ю. В., К о н д р а т ь е в В. А., "Матем. сб.", 1969, т. 78, № 1, с. 148-76; [81 М а з ь я В. Г., "Матем. сб.", 1972, т. 87, № 3, с. 417-53; [9] Я н у ш а у с к а с А., "Докл. АН СССР", 1965, т. 164, №4, с. 753 - 55; [10J Вишик М. И., Э с к и н Г. И., "Сиб. матем. ж.", 1968, т. 9, № 5, с. 973-97; [11] G i r a u d G., "Ann. Soc. Polon. de Math., annee 1933", Krakow, 1934, t. 12, p. 35-54; [12] Л а в р е н т ь е в М. А., Вариационный метод в краевых задачах для систем уравнений эллиптического типа, М., 1962; [13] Некрасов А. И., Точная теория волн установившегося вида на поверхности тяжелой жидкости, в кн.: Собр. соч., т. 1, М., 1961; [14] Г а х о в Ф. Д., Краевые задачи, 2 изд., М., 1963; [15] Соболев С. Л., "Матем. сб.", 1937, т. 2, №3, с. 465-99; [16] А г м о н С., Дуглис А., Ниренберг Л., Оценки вблизи границы решений эллиптических уравнений в частных производных при общих граничных условиях, пер. с англ., М., 1962; [17] S с h a u d e r J., "Math. Z.". 1931, Bd 33, S. 602-40; [18] Leray J., Schauder J., "Ann. sci. Ecole norm. sup.", ser. 3, 1934, t. 51, p. 45-78; [19] P a 1 a i s R. S., "Topology", 1963, v. 2, № 4, p. 299-340. А. И. Янушаускас.

для уравнения с частными производными - задача определения в нек-рой области Dпеременных решения u(x) уравнения

удовлетворяющего на границе Sэтой области (или ее части) определенным краевым условиям

Как правило, краевые условия связывают граничные значения решения с его производными до нек-рого порядка, т. е. Вявляется дифференциальным оператором. Однако встречаются и краевые условия других типов.

Для данного дифференциального уравнения целесообразность рассмотрения той или иной К. з. часто определяется понятием ее корректной постановки. Именно, К. з. корректно поставлена, если ее решение существует, единственно и непрерывно зависит от данных этой задачи. Различные типы дифференциальных уравнений требуют различных корректно поставленных К. з., и обратно, корректные постановки К. з. иногда могут служить основой для классификации типов дифференциальных уравнений.

К. з. наз. линейной, если операторы Lи Влинейны, и однородной, если fи j в (1), (2) равны нулю. Линейная К. з. наз. нётеровой, если: а) однородная задача имеет конечное число kлинейно независимых решений; б) неоднородная задача разрешима тогда и только тогда, когда f и j удовлетворяют lлинейно независимым условиям типа условий ортогональности; в) при условии однозначной разрешимости решение непрерывно зависит от f и j.

Если k=l, то задача наз. фредгольмовой. Разность k-lопределяет индекс задачи. Широкий класс К. з. для линейных уравнений с частными производными 2-го порядка

охватывается задачей Пуанкаре. В этой задаче носителем краевых условий является вся граница, к-рая предполагается ( п-1)-мерным многообразием, а граничный оператор Вв (2) имеет вид

Задача Пуанкаре хорошо исследована в ограниченной области Dс достаточно гладкой границей, при условии равномерной эллиптичности оператора L.

В предположении достаточной гладкости коэффициентов операторов L и В в (3), (4) и границы области Dзадача Пуанкаре нётерова, если и фредгольмова, если _ и вектор некасателен к 5. При исследовании задачи Пуанкаре в двумерном случае широкое применение находят методы теории функций комплексного переменного (см. Краевая задача;методы комплексного переменного).

Для общего эллиптич. уравнения порядка 2m

краевые условия могут задаваться с помощью линейных дифференциальных операторов

порядка с коэффициентами, определенными на границе Sобласти D. Если операторы Lи В _j удовлетворяют так наз. условию дополнительности, то производные порядка 2m функции н, удовлетворяющей граничным условиям, можно оценить (в нек-рой норме) через норму f в (5) и подходящие нормы граничных функций в (6). К. з. такого типа наз. коэрцитивными К. з.

Другой тип К. з. представляют так наз. смешанные задачи, в к-рых на смежных участках границы задаются различные краевые условия.

Для эллиптич. уравнений характерно то, что краевые условия задаются на всей границе. Однако в полной мере это относится только к равномерно эллиптич. уравнениям. Если оператор Lв (3) эллиптичен внутри области и на части параболически вырождается, то в зависимости от характера вырождения участок S₀ от задания краевых условий может освобождаться. См. также Краевая задача для эллиптического уравнения.

Если уравнение (3) не принадлежит к эллиптич. типу, то часть границы от задания краевых условий, как правило, освобождается. Напр., для простейшего уравнения параболич. типа - уравнения теплопроводности

задача Дирихле в области D, ограниченной прямыми состоит в задании граничных значений функции ина отрезках

Специальным образом ставятся К. з. для уравнений смешанного эллиптико-типерболич. типа.

Важное место занимают К. з. в теории аналитич. функций. Пусть S - кусочно гладкая линия на плоскости, т. е. объединение конечного числа простых ориентируемых дуг. Задача линейного сопряжения заключается в определении аналитической вне Sфункции имеющей предельные значения с обеих сторон Sи удовлетворяющей краевому условию

где G(t).и g(t) - заданные функции. С помощью представлений аналитич. функций интегралами типа Коши при некоторых предположениях относительно функций G, gи линии Sрешения этой задачи выписываются в явном виде. См. Граничные задачи теории аналитических функций.

Для изучения К. з. предложен ряд методов. Шварца альтернирующий метод и связанные с ними выметания метод Пуанкаре и Перрона метод опираются на применение принципа максимума. Решение К. з. с помощью интегральных уравнений основано на различных интегральных представлениях решений. Исследование К. з. с помощью априорных оценок относится к функциональным методам. Широко применяется теория обобщенных функций. В практических приложениях значительное распространение получили различные конечноразностные методы.

Лит.: [1] Б е р с Л., Джон Ф., Ш е х т е р М., Уравнения с частными производными, пер. с англ., М., 1966; [2] Бицадзе А. В., Краевые задачи для эллиптических уравнений второго порядка, М., 1966; [3] К у р а н т Р., Уравнения с частными производными, пер. с англ., М., 1964; [4] Ладыженская О. А., Краевые задачи математической физики, М., 1973; [5] М и р а н д а К., Уравнения с частными производными эллиптического типа, пер. с итал., М,, 1957: [6] Мусхелишвили Н. И., Сингулярные интегральные уравнении, 3 изд., М., 1968; [7] Т и х о н о в А. Н., Самарский А. А., Уравнения математической физики, 4 изд., М., 1972.

А. П. Солдатов.

теории потенциала- основная задача потенциала теории как классической, так и абстрактной. Поскольку классические ньютонов и логарифмич. потенциалы удовлетворяют определенным дифференциальным уравнениям с частными производными эллиптич. типа, а именно Лапласа уравнению в областях, свободных от порождающих эти потенциалы масс, и Пуассона уравнению в областях, занятых массами, к числу К. з. теории потенциала относят в первую очередь краевые задачи для эллиптич. уравнений и систем.

1) Дирихле задача, или первая краевая задача, когда требуется найти потенциал и(х).в нек-рой области Dпо заданным его непрерывным значениям на границе области причем распределение масс внутри Dпредполагается известным. Эта задача в теории потенциала является основной.

2) Неймана задача, или вторая краевая задача, когда требуется найти потенциал в Dпо заданным непрерывным значениям его нормальной производной

3) Смешанная задача, или третья краевая задача, когда на Г задается линейная комбинация

4) Задача с косой производной, когда на Г в условии (*) вместо производной по нормали к Г фигурирует производная по произвольному, вообще говоря, направлению Кроме перечисленных общих задач, в теории потенциала возникли также следующие специфические проблемы.

5) Робена задача, когда на Г ищется такое распределение масс, потенциал к-рого и(х).постоянен внутри области D. Эта задача возникает как электростатич. проблема определения такого равновесного распределения зарядов на проводнике Г, к-рое ничем не проявляет себя внутри D.

6) Выметания метод, к-рый в своем простейшем изложении, ведущем начало от А. Пуанкаре (Н. Poinсаre), состоит в отыскании такого распределения масс на границе Г, потенциал к-рого в дополнительной области совпадал бы с потенциалом данных "выметаемых" масс, расположенных внутри D. В потенциала теории абстрактной две последние задачи имеют особенно большое значение.

См. также Бесселев потенциал, Нелинейный потенциал, Рисса потенциал.

Лит.:[1] Г ю н т е р Н. М., Теория потенциала и ее применение к основным задачам математической физики, М., 1953; [2] Л а н д к о ф Н. С., Основы современной теории потенциала, М., 1966; [3] Брело М., Основы классической теории потенциала, пер. с франц., М., 1964; [4] Constantinesсu С., Cornea A., Potential theory on harmonic spaces, В., 1972. Е. Д. Соломенцее.

boundary(-value) problem

problema di limite

часто встречающаяся в матем. физике задача, в к-рой из класса функций, определённых в данной области, требуется найти функцию, удовлетворяющую на границе (крае) этой области заданным условиям