«ХАРДИ НЕРАВЕНСТВО»

для рядов: если р>1, и A_n = a₁+... +а _п, п = 1, 2,..., то

кроме случая, когда все а _n равны нулю. Константа в этом неравенстве наилучшая. Х. <н. для интегралов

и

Неравенства справедливы для всех функций, для к-рых конечны правые части неравенств, кроме случая, когда функция f почти всюду на интервале равна нулю (в этом случае неравенства обращаются в равенства). Константы и р ^р являются наилучшими.

Интегральные X. н. обобщаются на произвольные промежутки:

где с - нек-рые постоянные.

Обобщенными неравенствами Xарди наз. неравенства вида

В случае а=0 и неравенство (1) имеет место тогда и только тогда, когда

а неравенство (2) тогда и только тогда, когда

Лит.:[1] Xарди Г. Г., Литтльвуд Дж.E., Полиа Г., Неравенства, пер. с англ., М., 1948; [2] Никольский С. М., Приближение функций многих переменных и теоремы вложения, 2 изд., М., 1977; [3] Muckenhoupt В., лStudia math.