Математическая энциклопедия
- 1) X. т. об индексе: индекс (сигнатура) 
компактного кэлерова многообразия Мкомплексной размерности 2пвычисляется по формуле
где 
-размерность пространства гармонических форм типа ( р, q )на М. Доказана У. Ходжем [1].
2) X. т. о разложении пространства гладких сечений аллиптич. комплекса на компактном многообразии в ортогональную прямую сумму подпространств гармонических, точных и коточных сечений (см. Лапласа оператор). Была доказана У. Ходжем [2] для комплекса де Рама
на ориентируемом компактном римановом многообразии М. В этом случае Х. <т. утверждает, что для любого 
пространство Н р (М)гармонич. форм на Мконечномерно и существует единственный оператор G:
(оператор Грина - де Рама), удовлетворяющий условиям:
(разложение Ходжа). В частности, пространство Н р (М)изоморфно пространству 
вещественных когомологий многообразия М. Другой важный частный случай - Х. <т. для комплекса Дольбо на компактном комплексном многообразии . (см. Дифференциальная форма)[3]. Эти результаты приводят к классич. Ходжа структуре в пространствах когомологий компактного кэлерова многообразия.
Лит.:[1] Hodge W. Y. D., лРгос. Intern. Congr. Math.