«ФРЕШЕ ПРОИЗВОДНАЯ»

сильная производная,- наиболее распространенная (наряду с Гатo производной, наз. иногда слабой производной) производная функционала или отображения. Ф. п. в точке x₀ отображения нормированного пространства Xв нормированное пространство . называют линейный непрерывный оператор удовлетворяющий условию

где

Оператор удовлетворяющий этим условиям, единствен и обозначается f'(x₀), линейное отображение наз. Фреше дифференциалом. Если отображение f имеет в точке x₀ Ф. п., оно наз. дифференцируемым по Фрeше. Для Ф. п. выполнены важнейшие теоремы дифференциального исчисления - о дифференцировании сложной функции, о среднем. Если функция f непрерывно дифференцируема по Фреше в окрестности точки x₀ и в точке x₀ Ф. п. f'(x₀) является гомеоморфизмом банаховых пространств Xи Y, то имеет место теорема об обратном отображении. См. также Дифференцирование отображения.

В. М. Тихомиров.