«ХАРДИ - ЛИТЛВУДА ПРОБЛЕМА»

задача нахождения асимптотич. формулы для числа Q(n)решеий уравнения

где р - простое, хи у - целые, п - натуральное число Аналогом этой задачи является проблема нахождения асимптотики для числа решений уравнения

где - фиксированное целое число,

X. -Л. п. была поставлена Г. Харди (G. Hardy) и Дж. Литлвудом (J. Littlewood) в 1923 и рассмотрена ими на основе эвристич. и гипотетич. соображений.

Дисперсионный метод, разработанный Ю. В. Линником, позволил ему найти асимптотику для (1):

где

Из аналогичной формулы для (2) следует бесконечность множества простых чисел вида р=x²+y²+l. С помощью дисперсионного метода найдена асимптотика для числа решений обобщенного уравнения Харди - Литлвуда где р - простое, - заданная примитивная положительно определенная квадратичная форма.

Рассмотрение аналогичного уравнения приводит к доказательству бесконечности множества простых чисел вида

Теорема Виноградова - Бомбьери о распределении простых чисел в арифметич. прогрессиях в среднем также доставляет решение X.- Л. п., заменяя фактически расширенную гипотезу Римана теоремами типа большого решета.

Лит.:[1] Линник Ю. В., Дисперсионный метод в бинарных аддитивных аадачах, Л., 1961; [2] Брeдихин Б. М., Линник Ю. В.. лМатем. сб.