«ХОТЕЛЛИНГА КРИТЕРИЙ»

Т ² -критерий,- критерий, предназначенный для проверки гипотезы H₀, согласно к-рой истинное значение неизвестного вектора математич. ожиданий невырожденного р-мерного нормального закона ковариационная матрица к-рого Втоже неизвестна, есть вектор X. к. основан на следующем результате. Пусть X₁,..., Х _п- независимые р -мерные случайные векторы, подчиняющиеся невырожденному нормальному закону и пусть

где

и

- оценки максимального правдоподобия для неизвестных параметров и В. Тогда статистика

имеет нецентральное Фишера F-распределение с ри n-р степенями свободы и параметром нецентральности

статистика Т ² имеет Хотеллинга Т² -распределение. Следовательно, для проверки гипотезы против альтернативы можно по реализациям независимых случайных векторов X₁,..., Х _п, подчиняющихся невырожденному р-мерному нормальному закону вычислить значение статистики F, к-рая при справедливости гипотезы H₀ имеет центральное F-распределение с р и п-р степенями свободы. Согласно Х. к. с уровнем значимости гипотезу H₀, следует отвергнуть, если где - верхняя -квантиль F-распределения. Следует отметить связь, существующую между Х. <к. и отношения правдоподобия критерием. Пусть

- функция правдоподобия, вычисленная по выборке Х ₁,..., Х _п. Критерий отношения правдоподобия для проверки сложной гипотезы против сложной альтернативы построен на статистике

Между статистикой и статистиками Т ² и F существуют следующие отношения:

Для проверки гипотезы X. к. является равномерно наиболее мощным среди всех критериев, инвариантных относительно преобразований подобия (см. Наиболее мощный критерий, Инвариантный критерий).

Лит.:[1] Андерсон Т., Введение в многомерный статистический анализ, пер. с англ., М., 1963; [2] Рао С. Р., Линейные статистические методы и их применения, пер. с англ., М., 1968.

М. С. Никулин.