«КАРТАНА МАТРИЦА»

-1) К. <м. конечномерной полупростой алгебры Ли над алгебраически замкнутым полем кхарактеристики 0 - матрица

где a₁,..., a_r - какая-либо система простых корней алгебры g относительно фиксированной Картана подалгебрыt, а.(, ) - скалярное произведение на пространстве, дуальном к t, определенное Киллинга формой на д. (О К. м. произвольной системы корней см. Корневая система. )С точностью до преобразования, индуцированного перестановкой индексов 1,..., r, К. м. является инвариантом алгебры Д, т. е. не зависит от выбора t и системы простых корней. Этот инвариант полдрстью определяет д: две полупростые алгебры Ли изоморфны тогда и только тогда, когда их К. м. совпадают, с точностью до преобразования, индуцированного перестановкой индексов. Полупростая алгебра Ли проста тогда и только тогда, когда ее К. м. неразложима, т. е. не представима в виде блочно-диагональной матрицы после нек-рой перестановки индексов. Пусть - разложение алгебры g в прямую сумму простых идеалов и А _j- К. м. простой алгебры Ли g_j. Тогда блочно-диагональная матрица

является К. м. алгебры Ли g (явный вид К. м. простых алгебр Ли см. Ли полупростая алгебра).

Элементы a_ij=2(a_i, a_j)/(a_j, a_j) К. <м. обладают следующими свойствами:

К. м. тесно связаны с заданием g образующими и соотношениями. А именно, в алгебре g существуют линейно независимые образующие е _i, f_i, h_i,i=l,..., r (так наз. канонические образующие), связанные следующими соотношениями:

Любые две системы канонических образующих переводятся друг в друга автоморфизмом алгебры д. Кроме (2), канонические образующие удовлетворяют также соотношениям

где, по определению, (ad х) у=[ х, у]. Соотношения (2) и (3) являются определяющими для алгебры g при выбранной системе образующих е _i, f_i, h_i, i=1,..., r (см. [2]).

Для любой матрицы А, удовлетворяющей условиям (1), алгебра Ли (А)над полем кс образующими е _i, f_i, h_i, i=1,..., rи определяющими соотношениями (2) и (3) конечномерна тогда и только тогда, когда Аесть К. м. конечномерной полупростой алгебры Ли [3].

Лит.:[1] Джекобсон Н., Алгебры Ли, пер. с англ., М., 1964; [2] Серр Ж.-П., Алгебры Ли и группы Ли, пер. с англ. и франц., М., 1969; [3] Кац В. Г., "Изв. АН СССР. Сер. матем.", 1968, т. 32, №6, с. 1323-67.

2) К. м. конечномерной ассоциативной алгебры Ас единицей над полем к- матрица ( с _ij), i, j=1,..., s, определяемая полным набором N₁,..., N_s конечномерных неприводимых левых А-модулей. А именно, с _ij есть кратность вхождения N_j в композиционный ряд такого неразложимого проективного левого А-модуля Р _i, для к-рого Hom ( Р _i, N_i) неравно 0. Модуль Р _i существует для каждого N_i и определен однозначно с точностью до изоморфизма. В некоторых случаях К. м. Соказывается симметричной, положительно определенной и даже C=D^TD, где D- целочисленная, не обязательно квадратная матрица (Т - знак транспонирования). Такова К. м. групповой алгебры A = kG конечной группы Gнад полем кхарактеристики р>0 (см. [1]), причем Р ₁,..., P_s в этом случае - полный набор неизоморфных главных неразложимых левых A -модулей, т. е. неразложимых А-модулей, в прямую сумму к-рых раскладывается левый A-модуль А. Другой пример, когда такое равенство для К. м. имеет место: А- ограниченная универсальная обертывающая алгебра алгебры Ли над алгебраически замкнутым полем характеристики р>0, полученной из полупростой комплексной алгебры Ли редукцией в характеристику р(см. [2]).

Лит.:[1] Кэртис Ч., Райнес И., Теория представлений конечных групп и ассоциативных алгебр, пер. с англ., М., 1969; [2] Humphreys J. E., "J. Algebra", 1971, v. 19, p. 51 - 79.

В. Л. Попов.