«УНАРНАЯ АЛГЕБРА»

уноид,- универсальная алгебра с семейством унарных операций

Важный пример У. а. дает групповой гомоморфизм произвольной группы Gв группу S_A всех подстановок множества А. Такой гомоморфизм наз. действием группы . на А. Определяя унарную операцию для каждого элемента как подстановку из S_A, отвечающую элементу gпри гомоморфизме получают У. а. в к-рой

Структуру У. а. несет на себе любой модуль над кольцом. Каждый детерминированный полуавтомат с множеством состояний . и входными символами a₁,..., а _п также можно рассматривать как У. а. <S, f₁,..., f_n>, в к-рой f_i(s)=a_is есть состояние, следующее за состоянием sв зависимости от входного символа a_i.

У. а. с одной основной операцией наз. моноунарной, или унаром. Примером унара может служить алгебра Пеано <Р, f>, где Р={1,2,...} и f(n)=n+1.

Тождества произвольной У. а. могут быть лишь следующих типов:

Тождество II₂ равносильно тождеству II, выполнимому лишь в одноэлементной алгебре. Многообразие У. а., определяемое лишь тождествами вида I_l, I₂ или I₃, наз. регулярно определимым. Существует следующая связь между регулярно определимыми многообразиями У. а. и полугруппами (см. [1], [3], [4]).

Пусть V - регулярно определимое многообразие У. а., заданное множеством функциональных символов и множеством тождеств. Каждому символу f_i сопоставляется элемент а _i, а для каждого тождества вида I₁ из выписывается определяющее соотношение

Пусть Р - полугруппа с порождающими и выписанными определяющими соотношениями, a Р¹ - полугруппа . свнешне присоединенной единицей е. Для каждого тождества вида I₂ из (если такие имеются) выписывают определяющее соотношение Полугруппу Р _V, получаемую из Р ¹ присоединением всех таких определяющих соотношений, и считают соответствующей многообразию V. Она во многом характеризует это многообразие. Если содержит лишь тождества вида I_l, то можно ограничиться построением лишь полугруппы Р. Определяя в Р _V унарные операции f_i(x)=xa_i, получают У. а. к-рая является V-свободной алгеброй ранга 1. Группа всех автоморфизмов У. а. изоморфна группе обратимых элементов полугруппы Р _V.

Лит.:[1] Мальцев А. И., Алгебраические системы, М., 1970; [2] Биркгоф Г., Барти Т., Современная прикладная алгебра, пер. с англ., М., 1976; [3] Смирнов Д. М., лАлгебра и логика