«МАРТИНА ГРАНИЦА»

в теории марковских процессов - граница фазового пространства марковского процесса или его образа в нек-ром компакте, строящемся по схеме, подобной схеме Мартина (см. [1]).

Впервые вероятностное истолкование конструкции Мартина было предложено Дж. Дубом (см. [4]), рассмотревшим случай дискретных цепей Маркова.

Пусть Р(t, х, В) - переходная функция однородного марковского процесса заданного в сепарабельном локально компактном пространстве Е, где а - семейство борелевских множеств в Е. Функция определенная для и являющаяся измеримой при фиксированном a, наз. функцией Грина, если для каждого

где т - нек-рая мера на Чтобы избежать неоднозначности в определении функции Грина, в нем дополнительно требуют, напр., чтобы при любом выборе непрерывной функции f(x).с компактным носителем функция

была -непрерывной (последнее означает существование непрерывной слева по tфункции F(t, w) такой, что

Фиксируя меру g на и постулируя наличие функции Грина, определяют ядро Мартина

где

(при этом приходится ввести нек-рые ограничения, обеспечивающие, в частности, положительность и -непрерывность q(у)). Если g - единичная мера, сосредоточенная в нек-рой точке, а X - винеровский процесс, обрываемый в момент первого выхода из нек-рой области, то определение сводится к своему аналогу из [1]. При широких условиях устанавливается существование компакта ("компакта Мартина"), мер на и отображения ~ для к-рых a) i(E).плотно в ; б) функции

разделяют точки и непрерывны в если f пробегает совокупность непрерывных в Ефункций с компактными носителями, и в) мера совпадает с если Граница множества i(E).в наз. Мартина границей или границей-выходом (при изучении разложений эксцессивных мер возникает двойственный объект - граница-вход, см. [3], 14]).

Для описания свойств компакта удобно привлечь h-процессы в смысле Дуба: каждой эксцессивной функции h можно соотнести переходную функцию

в где соответствующий ей марковский процесс и есть h-процесс. Все h-процессы вместе с Xреализуются на одном и том же пространстве элементарных событий, так что они различаются лишь семействами мер В строится модификация x_t - непрерывный слева процесс для к-рого если

В топологии компакта предел существует почти наверное.

Существует множество ("пространство выходов") такое, что, во-первых, для всех h(x).указанного вида, во-вторых, мера при имеет плотность по мере причем в качестве можно взять эксцессивную функцию со спектральной мерой, совпадающей с сосредоточенной в уединичной мерой, и, в-третьих, h(x).допускает единственное интегральное разложение вида

Мера m из этого разложения наз. спектральной мерой функции Л; она дается формулой

где В - борелевское множество в

В теории марковских процессов применяются и компактификации иных типов, особенно такие, в к-рых любая функция вида

допускает непрерывное продолжение для достаточно обширного набора функций f.

Лит.:[1] М а r t i n R. S., "Trans. Amer. Math. Soc.", 1941, v. 49, p. 137-72; [2] М о t о о М., в кн.: Proceedings of the fifth Berkeley Symposium on Mathematical Statistics and Probability, v. 2, pt 2, Berk.-Los Ang., 1967, p. 75-110; [3] К u n i t a H., Watanabe Т., там же, р. 131-64; [4] D о о b J. L., "J. Math. and Mech.", 1959, v. 8, № 3, 433-58; [5] Watanabe Т., "Mem. Coll. Sci. Univ. Kyoto. Ser. A", 1960, v. 33, № 1, p. 39- 108; [6] X a H т Д ж. А., "Математика", 1961, т. 5, № 5. с. 121 - 149; [7] X е н н е к е н П. Л., Т о р т р а А., Теория вероятностей и некоторые ее приложения, пер. с франц., М., 1974; [8] К u n i t a H., Watanabe Т., "III. J. Math.", 1965, v. 9, № 3, p. 485-526; [9] Ш у р М. Г., "Тр. Моск. ин-та электронного машиностроения", 1970, в. 5, с. 192-251; [10] Jeulin Т., "Z. Wahrscheinlichkeitstheorie und verw. Gcb.", 1978, Bd 42, № 3, S. 229-60; [11] Д ы н к и н Е. Б., "Успехи матем. наук", 1969, т. 24, в. 4, с. 89 -152. М. <Г. Шур.

в теории потенциала - идеальная граница Грина пространстваW (см. также Кольцевая граница), позволяющая построить характеристич. представление положительных гар-монич. функций на W. Пусть W - локально компактное, но не компактное топологич. пространство, Ф - семейство непрерывных функций Теорема Констант инеску - Корня [2] утверждает, что существует единственное с точностью до гомеоморфизма компактное пространство со следующими свойствами: 1) W есть подпространство всюду плотное в 2) каждая функция __ непрерывно продолжается на до функции разделяющей точки идеальной границы пространства W относительно семейства Ф; 3) W есть открытое множество в

Пусть теперь W - ограниченная область евклидова пространства или, вообще, пространство Грина; G=G(x, у) - Грина функцияW с полюсом точка фиксирована. Пространство Мартина, или к о м п а к т и ф и к а ц и я Мартина, области Wполучается по теореме Константи-неску - Корня в том случае, если в качестве семейства Ф принимается

причем, по определению, К(х ₀, y₀)=l. M. г.- это соответствующая идеальная граница

Топология Мартина Г - это топология пространства Мартина Пространства Мартина соответствующие выбору различных точек гомеоморфны между собой. Функция являющаяся продолжением К( х, у),- гармоническая по уи непрерывная по совокупности переменных (x, у); - метризуемое пространство. Основная теорема Мартина [1] утверждает: класс всех положительных гармонич. функций на W. характеризуется представлением Мартина:

где m - нек-рая положительная мера Радона на В представлении (*) мера m, определяется по, функции и. неоднозначно. Гармонич. функция наз. минимальной в W, если каждая гармонич. функция wтакая, что в W, пропорциональна v. Минимальные гармонич. функции пропорциональны соответствующие точки наз. минимальными, множество всех минимальных точек наз. минимальной границей Мартина. Подчиняя меру m в (*) дополнительному условию, чтобы она была сосредоточена на получают к а н о-ническое представление Мартина:

в к-ром мера определяется по иоднозначно.

Примеры. 1) Если - шар радиуса Rв пространстве то

есть ядро Пуассона, совпадаете евклидовым замыканием, М. г. есть сфера все точки к-рой минимальные. Представление (*) в этом случае сводится к формуле Пуассона - Герглотца (см. Интегральное представление аналитической функции, Пуассона интеграл).

2).М. г. совпадает с евклидовой границей всякий раз, когда Г есть достаточно гладкая гиперповерхность в

3) Если W - односвязная плоская область, то М. г. D совпадает с множеством граничных элементов, или простых концов по Каратеодори. Таким образом, элементы М. г. можно рассматривать как обобщение понятия простых концов для размерностей

Лит.:[1] М а r t i n R. S., "Trans. Amer. Math. Soc.", 1941, v. 49, p. 137-72; [2] Constantinescu C., Cornea A., Ideale Rander Riemannscher Flachen, B. [u. a.], 1963; [3] Б р e л о М., О топологиях и границах в теории потенциала, пер. с англ., М., 1974. Е. Д. Соломенцев.