«ПРОДОЛЖЕНИЯ ПО ПАРАМЕТРУ МЕТОД»

метод приближенного решения нелинейных функциональных уравнений. П. по п. м. состоит в том, что решаемое уравнение Р(х)=0 обобщается к виду F(x, t)=0 путем введения параметра t, принимающего заданные значения на конечном интервале , так, что первоначальное уравнение получается при , а уравнение F( х, t₀)=0 легко решается или известно его решение х ₀ (см. [1] - [3]).

Обобщенное уравнение F(x, t)=0 последовательно решается при отдельных значениях t: t₀, t₁,..., t_k=t*. Уравнение при t=t_i+1 решается каким-либо итерационным методом (методом Ньютона, простой итерации, итерационным методом вариации параметра [4] и др.), начиная с полученного решения х _i уравнения F( х, t)=0 при t=t_i. Применение на каждом шаге по i, напр, питераций метода Ньютона, приводит к следующей формуле:

Если разность t_i+1=t_i достаточно мала, то значение x_i может оказаться достаточно хорошим начальным приближением, обеспечивающим сходимость, для получения решения x_i+1 при t=t_i+1 (см. [1], [3], [5]).

На практике часто исходная задача естественным образом зависит от нек-рого параметра, к-рый может быть выбран в качестве параметра t.

П. по п. м. применяется как для решения систем нелинейных алгебраич. и трансцендентных уравнении (см. [1], [2]), так и для более общих нелинейных функциональных уравнений в банаховых пространствах (см. [5] - [7]).

П. по п. м. иногда наз. также прямой метод вариации параметра (см. [2], [6]), а также комбинированный метод прямого и итерационного методов вариации параметра. В этих методах построение решений обобщенного уравнения сводится путем дифференцирования по параметру к решению дифференциальной задачи с начальными условиями (задачи Коши) методами численного интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений. Применяя простейший метод Эйлера в прямом методе вариации параметра к задаче Коши

приближенные значения х(t_i)= х _i, i=l, 2,..., k, решения x(t).уравнения F(x, t)=0 можно определить следующими равенствами;

Элемент х _k будет искомым приближенным решением исходного уравнения Р(х)=0. Уточнение всех или нек-рых значений х _i+1 можно проводить итерационным методом вариации параметра [4] (или методом Ньютона). Обобщенное уравнение при этом рассматривается обычно в виде

на конечном промежутке или, заменяя здесь 1-l на е ^-t, на бесконечном промежутке .

Метод вариации параметра применен к широкому классу задач как для построения решений, так и для доказательства их существования (см., напр., [3], [4], 16], [7]).

Лит.:[1] Lahaуе Е., "Acad. Roy. Belg. Bull., Cl. Soi. Ser. 5", 1948, t. 34, p. 809-27; [2] Давиденко Д. Ф., "Укр. матем. ж.", 1953, т. 5, №2, с. 196-206; [3] Ортега Дж., Рейнболдт В., Итерационные методы решения нелинейных систем уравнений со многими неизвестными, пер. с англ., М., 1975; [4] Давиденко Д. Ф., "Ж. вычисл. матем. и матем. физ.", 1975, т. 15, № 1, с. 30-47; [5] Дементьева А. М., "Докл. АН СССР", 1971, т. 201, М 4, с. 774 - 777; [6] Давиденко Д. Ф., "Укр. матем. ж.", 1955, т. 7, А" 1, с. 18-28; [7] Шидловская Н. А., "Уч. зап. ЛГУ", 1958, № 271, в. 33, с. 3 - 17. Д. Ф. Давиденко.

включение данной задачи в однопараметрическое (01) семейство задач, связывающее данную задачу (а=1) с известной разрешимой задачей (a=0), и изучение зависимости решений от параметра a. Метод широко используется в теории дифференциальных уравнений.

Пусть, напр., требуется доказать разрешимость в классе Гёльдера задачи Дирихле

(1)

в ограниченной N-мерной области для линейного эллиптич. оператора 2-го порядка

Вводится семейство эллиптич. операторов

и рассматривается для него задача Дирихле

(2)

Пусть - множество тех , для к-рых задача (2) однозначно разрешима в классе при любых f и . Множество не пусто, поскольку при a=0 (т. е. для оператора Лапласа) задача (2) однозначно разрешима в классе , как это следует из теории потенциала. Множество одновременно открыто и замкнуто на [0, 1] и; следовательно, совпадает с [0, 1]. Таким образом, a=1 принадлежит и задача (1) разрешима.

П. по п. м. (в варианте аналитич. родолжения по параметру) был предложен и развит в ряде работ С. Н. Бернштейна (см. [1], [2]). В дальнейшем этот метод нашел широкое применение в различных вопросах теории линейных и нелинейных дифференциальных уравнений, причем идея аналитич. родолжения по параметру была дополнена более общими функциональными и топологич. принципами (см. [3]).

Лит.:[1] Бернштейн С. Н., "Math. Ann.", 1904, Bd 59, S. 20-76; [2] его же, Собр. соч., т. 3, М., 1960; [3] Лерэ Ж., Шаудер Ю., "Успехи матеит. наук", 1946, в. 3/4, с. 71-95. И. А. Шишмарев.