Математическая энциклопедия
- итерационный метод решения линейного операторного уравнения
с самосопряженным положительно определенным ограниченным оператором А, действующим в гильбертовом пространстве Н, и заданным элементом 
. Формулы М. н. м. имеют вид
где параметр
выбирается на каждом шаге 
из условия максимальной минимизации нормы невязки 
т. е. требуется выполнение соотношения
Если спектр оператора Апринадлежит отрезку [ т, М]действительной оси, где 
- положительные числа, то последовательные приближения 
метода (2) -(3) сходятся к решению 
уравнения (1) со скоростью геометрич. прогрессии со знаменателем 
Различные способы определения в H скалярного произведения приводят к различным итерационным методам. В частности, при специальных скалярных произведениях формулы М. н. м. совпадают с формулами наискорейшего спуска метода и метода минимальных ошибок (см. [2]).
Условия сходимости М. н. м. могут быть ослаблены по сравнению с перечисленными выше: если рассматривать на нек-рых подмножествах из H.
Напр., если рассматривать М. н. м. только в действительных пространствах, то можно отказаться от требования самосопряженности оператора А(см. [3], [4]).
Лит.:[1] Красносельский М. А., Крейн С. Г., "Матем. сб.",.1952, № 31, с. 315-34; [2] Приближенное решение операторных уравнений, М., 1969; [3] Самарский А. А., Введение в теорию разностных схем, М., 1971; [4] Марчук Г. И., Кузнецов Ю. А., Итерационные методы и квадратичные функционалы, Новосиб., 1972.
Ю. А. Кузнецов.