«ФУРЬЕ - СТИЛТЬЕСА ПРЕОБРАЗОВАНИЕ»

- одно из интегральных преобразований, родственное Фурье преобразованию. Пусть функция F(х)имеет ограниченное изменение на Функция

наз. преобразованием Фурье - Стилтьеса для F. Функция определенная интегралом (1), ограниченна и непрерывна. Всякая периодич. функция разлагающаяся в ряд Фурье с абсолютно сходящимся рядом коэффициентов, может быть записана в форме интеграла (*) с

Формула (*) допускает обращение: если F(х)имеет ограниченное изменение и

то

где интеграл понимается в смысле главного значения на

Если в формуле (*) в качестве функции F(х)допустить лишь неубывающие функции ограниченной вариации, то совокупность получающихся непрерывных функций полностью характеризуется свойством: для любой системы действительных чисел t₁,...,t_n справедливо неравенство

каковы бы ни были комплексные числа (теорема Бохнера - Xинчина). Такие функции наз. положительно определенными. Ф.-С. п. находит широкое применение в теории вероятностей, где неубывающую функцию

подчиняют дополнительным ограничениям

непрерывна слева, и именуют распределением, функцию

- характеристической функцией [распределения Р(х)].Теорема Бохнера-Хинчина выражает тогда необходимое и достаточное условие того, что непрерывная функция Ф(х)[для к-рой Ф(0)=1] является характеристической функцией нек-рого распределения.

Теория Ф.-С. п. развита и в n-мерном случае.

Лит.:[1] Бохнер С., Лекции об интегралах Фурье, пер. с англ., М., 1962; [2] Зигмунд А., Тригонометрические ряды, пер. с англ.. т. 2, М., 1965; [3] Гнеденко Б. В., Курс теории вероятностей, 5 изд., М., 1969.

П. И. Лизоркин.