Математическая энциклопедия
риманово пространство с функцией расстояния r, полное как метрич. пространство с метрикой r.
Пусть М - связное риманово пространство со связностью Леви-Чивита, тогда следующие три утверждения эквивалентны: а) М - полно; б) для каждой точки 
экспоненциальное отображение ехр p определено на всем М р (где М р - касательное пространство и Мв р);в) каждое ограниченное по отношению к расстоянию r замкнутое множество 
компактно (теорема Хопфа - Ринова). Следствия: любые две точки р,
П. р. п. можно соединить на Мгеодезич. длины r( р, q);любая геодезическая неограниченно продолжаема.
Имеется [2] обобщение этой теоремы на случай пространства с несимметричной функцией расстояния.
Лит.:[1] Громол Д., Клингенберг В., Мейер В., Риманова геометрия в целом, пер. с нем., М., 1971; [2] Кон-Фоссен С. Э., Некоторые вопросы дифференциальной геометрии в целом, М., 1959. М. И. Войцеховский.