«УСТОЙЧИВОСТЬ ПРИ ПОСТОЯННО ДЕЙСТВУЮЩИХ ВОЗМУЩЕНИЯХ»

- свойство решения x₀(t), начальной задачи

состоящее в следующем. Для всякого найдется такое, что для всякой точки y₀, удовлетворяющей неравенству и всякого отображения g(x, t), удовлетворяющего условиям:

а) gи g'_x непрерывны на множестве

б)

решение y₀(t)начальной задачи

определено при всех и удовлетворяет неравенству

Теорема Боля [1]. Пусть начальная задача (*), имеющая решение удовлетворяет условиям:

а) f и f'_x непрерывны на при нек-ром

б)

в) отображение f дифференцируемо по хв точках (x₀(t), t )при равномерно относительно т. е.

Тогда для того чтобы решение этой начальной задачи было устойчиво при постоянно действующих возмущениях, необходимо и достаточно, чтобы верхний особый показатель системы уравнений в вариациях системы вдоль решения х ₀(t)был меньше нуля. Если f( х, t )не зависит от t(автономная система) и решение x₀(t) - периодическое или постоянное, а также если f(x, t)- периодическая по tфункция и решение z₀(t) - периодическое с тем же (или с соизмеримым) периодом или постоянное, то: а) указанное в теореме Боля условие равномерной дифференцируемости лишнее (оно вытекает из остальных условий теоремы), б) верхний особый показатель системы уравнений в вариациях системы вдоль решения x₀(t)вычисляется аффективно.

Лит.:[1] Воhl Р., лJ. reine und angew. Math.