«ПРИБЛИЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ»

ПРИБЛИЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ в энциклопедиях

Источники

Математическая энциклопедия Математическая энциклопедия Математическая энциклопедия Математическая энциклопедия Математическая энциклопедия

Математическая энциклопедия

экстремальные задачи на классах функций - задачи, связанные с отысканием верхней грани погрешности приближения на фиксированном классе функций и с выбором для него наилучшего в том или ином смысле аппарата приближения. Начало исследованиям по экстремальным задачам П. ф. положили работы А. Н. Колмогорова (см. [1] - [2]), Ж. Фавара (см. [3] - [4]) и С. М. Никольского (см. [5]-[6]). Широкое развитие эти исследования получили начиная с 50-х гг. 20 в.; они стимулировались потребностями вычислительной математики, все больше сталкивавшейся с задачами оптимизационного содержания.

Если в нормированном функциональном пространстве Xрассматривается П. ф. из класса функциями фиксированного множества , то интерес представляют задачи отыскания величин

(1)

где

- наилучшее приближение функции f(t)множеством , а также

(2)

где U - нек-рый конкретный метод приближения, задаваемый тем или иным оператором, действующим из X в. Сгеометрич. точки зрения верхняя грань (1) характеризует величину уклонения множества от в метрике X. Практич. смысл величины можно видеть в том, что она, во-первых, дает минимально возможную оценку сверху для наилучшего приближения множеством функции, о к-рой известно только, что она принадлежит классу , а во-вторых, является определенным ориентиром при оценке и сравнении аппроксимативных возможностей конкретных методов приближения на классе . Что касается величины (2), то наиболее важным является случай, когда есть N-мерное подпространство, U - линейный метод приближения. Известен целый ряд точных и асимптотически точных результатов по приближению классов функций конкретными линейными.методами (в частности, полиномами и сплайнами) (см. [1]-[12], [19]), но особый интерес вызывают методы, реализующие точную нижнюю грань

(3)

распространенную на все линейные ограниченные операторы Uиз Xв , т. е. линейные методы, наилучшие для класса . Ясно, что всегда

и, естественно, возникает вопрос о возможности здесь знака равенства. Помимо тривиального случая, когда X - гильбертово пространство функций и наилучшее приближение каждой функции доставляют суммы Фурье по ортонормированному базису , известны ситуации в негильбертовом пространстве, когда линейный метод реализует наилучшее приближение на всем классе

Так, если X - пространство 2p-периодических функций - подпространство тригонометрич. полиномов порядка n-1(dim=2n-1), - класс функций , у к-рых f^(r-1)(t).абсолютно непрерывна на [0,2p] и , то

где К _r- константы Фавара, причем наилучшее приближение на классах и реализует линейный метод , построенный на базе сумм Фурье (см. Приближение функций;линейные методы приближения, формула (3)) при определенном выборе множителей . Построены линейные операторы со значениями в , реализующие верхнюю грань наилучших приближений на классах сверток, включающих, в частности, классы и с дробными r>0, а также классы сопряженных функций (см. [10], [11]).

Для приближения подпространством 2p-периодических сплайнов порядка тдефекта 1 с узлами склей ки kp/n(dim =2n).справедливы равенства

наилучшим линейным методом здесь являются сплайны s_r-1(f, t).из , интерполирующие функцию f(t).в точках kp/n, если r четно, и в точках kp/n+p/2n, если rнечетно. Относительно класса эти сплайны обладают исключительными аппроксимативными свойствами, т. к. наилучшим образом приближают функции в любой метрике (см. [7]).

Перечисленные случаи, когда величины (1) и (3) совпадают и удается построить конкретный линейный метод, решающий сразу обе задачи, являются, в известном смысле, идеальными. В других ситуациях эффективным при решении задачи (1) оказывается подход, основанный на использовании общих теорем двойственности, отражающих фундаментальные соотношения геометрии выпуклого анализа (см. [7], [8]). Если, напр., X - произвольное линейное нормированное пространство, X*- ему сопряженное, - выпуклое множество в X, то для любого элемента

(4) в частности, если - подпространство, то

(5)

Соотношения (4) или (5) позволяют в ряде случаев свести вычисление или оценку верхней грани (1) к более обозримой задаче на экстремум явно задаваемого функционала на нек-ром множестве функций, связанных, если - подпространство, условиями ортогональности. Например, используя (5), оценку можно свести с помощью известных

неравенств к вычислению верхней грани норм ||g||_q'(q' =q/(q-1)) на множестве функций

таких, что

Более тонкая ситуация возникает, если задача (1) решается на классах, задаваемых ограничениями не на норму r-й производной f^(r)(t) а на ее модуль непрерывности , в частности когда (r=0,1,...; ) - класс 2p-периодических функций , у к-рых

где w(d) - заданный модуль непрерывности, напр.

. Здесь применение (5) требует использования тонких свойств дифференцируемых периодич. функций тина теорем сравнения и Колмогорова неравенств (для норм производных), но описываемых с помощью аппарата перестановок (равноизмеримых функций). При условии выпуклости вверх w(d) справедливы равенства (см. [7], [13])

где или - функция из периода 2p/п с нулевым средним значением на периоде,

у к-рой четна, равна на [0, p/2n] и равна на . Нормы допускают явное выражение, напр.:

где функции Ф _k(t)задаются на [0, p] рекуррентно:

Решение задач о наилучшем для класса линейном методе из в или в известно в случае

, т. е. когда

Интерполяционные сплайны s_r(f, t).из реализуют верхнюю грань (при любом выпуклом w(d)) лишь в случае r=1.

При решении экстремальных задач на классах функций, заданных на конечном отрезке и не связанных жесткими краевыми условиями, нельзя ждать результатов в столь совершенном, как в периодич. случае, виде: на экстремальных функциях сказывается возмущающее действие концов промежутка, к-рое усугубляется с увеличением порядка дифференцируемости. Здесь известны нек-рые результаты с точной асимптотикой. Если MW^rH^a(r=0,l,...; , MW⁰H^a=МН^a).- класс функций , у к-рых

то для наилучшего равномерного на [-1, 1] приближения подпространством алгебраич. многочленов степени п-1 имеют место соотношения

(6)

(7)

к-рые полезно сравнить с соответствующими результатами в периодич. случае; при a=1 правые части (6) и (7) равны соответственно МК ₁ и MK_r+1. Отказавшись от многочленов наилучшего приближения, можно усилить эти результаты, существенно улучшив приближение у концов отрезка [- 1, 1] без потери наилучшей асимптотики на всем промежутке. Напр., для любой существует последовательность алгебраич. многочленов таких, что равномерно по при

Аналогичный факт имеет место для функций классов MW^rH¹(r=1, 2,...) (см. [11]). В задачах приближения сплайнами (наилучшими и интерполяционными) классов функций, заданных на отрезке, известны нек-рые точные (гл. обр., для сплайнов малого порядка) и асимптотически точные результаты (см. [15]).

В случае одностороннего приближения (в интегральной метрике) известен ряд точных результатов по оценке погрешности наилучшего приближения полиномами и сплайнами на введенных выше классах функций (см. [19]). При их получении существенно использовались соотношения двойственности для наилучшего приближения при наличии ограничений, задаваемых с помощью конуса.

Отыскание наилучшего аппарата приближения (фиксированной размерности) для данного класса функций приводит к задачам о поперечниках: найти величины (см. (1) и (3))

где нижние грани берутся по всем подпространствам из X (и их сдвигам) размерности N, а также указать экстремальные (наилучшие) подпространства, реализующие эти нижние грани. Оценки сверху для d_N и дают найденные для конкретных подпространств величины и , основная трудность в задаче о поперечнике обычно состоит в получении точных оценок снизу. В ряде ситуаций получить такие оценки удается, привлекая топологич. соображения, в частности теорему Борсука об антиподах (см. [8]). Практически во всех случаях точного решения задачи о наилучшем приближении классов и периодич. функций подпространствами (тригонометрич. полиномов порядка п-1) и (сплайнов нек-рого порядка тдефекта 1 по разбиению kp/n). найденные точные верхние грани Е(, )_X дают и значения поперечников d_N этих классов, причем оказалось, что для периодич. классов d_2n-1=d_2n. В частности (см. [7], [8]),

а при выпуклом вверх w(d) и или

Следует отметить, что подпространство является наилучшим для рассматриваемых классов при всех r и никакое подпространство размерности 2п не дает на этих классах лучшее приближение, чем (имеющее размерность 2п-1). Подпространство сплайнов является наилучшим для классов и в при т=r и для класса в при . Линейные поперечники классов в и в совпадают с d_N, они реализуются на подпространствах и наилучшими линейными методами, о к-рых упоминалось выше. Поперечники d_N и класса в при N=2n-1 и N=2n равны и реализуются суммами Фурье по тригонометрич. системе. Для поперечников классов функций, заданных на отрезке, в ряде случаев известна точная асимптотика; поперечники d_N и классов в С[-1, 1] совпадают и реализуются интерполяционными сплайнами порядка r -1 по неравномерному разбиению (см. [8]).

Задачу оценки погрешности приближения на множестве Х ^r r -х интегралов от функций из X(не являющемся локально компактным) можно сделать корректной, если оценивать для при фиксированном g>0 величину

(w(g, d)_X - модуль непрерывности функции gв пространстве X).или (в случае приближения конкретным методом) величину

Отыскание точных верхних граней этих величин на множестве Х ^r равносильно нахождению наименьшей константы в соответствующем Джексона неравенстве;можно затем говорить о минимизации по всем подпространствам размерности N. В ряде случаев эти задачи решены. Напр., в неравенстве

наименьшая константа М _r= К _r/2, причем она не может быть уменьшена, если заменить любым другим подпространством той же размерности (см. [14]). Известны точные константы в неравенстве Джексона для приближения тригонометрич. полиномами в равномерной и интегральной метрике (см. [7]). В непериодич. случае есть результаты с точной асимптотикой.

Среди экстремальных задач, в к-рых приближающее множество, не будучи линейным многообразием, является выпуклым множеством, интерес представляют задачи наилучшего приближения одного класса функций другим классом с лучшими, в том или ином смысле, гладкостными свойствами. Сначала такая задача возникла как промежуточная при получении точной оценки для

(см. [7]); в дальнейшем ее стали рассматривать как самостоятельную, причем в ряде случаев использование соотношения (4) позволило получить точный результат. При

здесь обнаруживается связь с задачами о неравенствах между нормами производных и о наилучшем приближении оператора дифференцирования линейными ограниченными операторами (см. [16]).

Многие экстремальные задачи приближения функций можно интерпретировать как задачи оптимального восстановления (см. [15], [17], [18]). Пусть информация о функции задается вектором T(f,L)=(l₁(f),...,l_n(f)}, где l_k - заданные на Xфункционалы (напр., значения функции f(t).или (и) нек-рых ее производных в фиксированных точках). Зная, что f принадлежит классу , требуется по информации T(f,L) восстановить с наименьшей погрешностью функцию f или значение L(f) на ней нек-рого линейного функционала (напр.,

и т. п.). Минимизация может предполагаться не только по методам S, сопоставляющим вектору T(f,L) функцию j(t)f(t). (или функционал l(f)L(f)), но также и по наборам функционалов . В зависимости от выбора меры погрешности и класса методов Sзадача оптимального восстановления функции может быть иногда сведена к отысканию поперечников d_N или , чебышевского центра или других характеристик класса . Оптимальное восстановление интеграла по информации вида {f(t_k)} или {f^(v)(t_k)} приводит к задаче о наилучшей квадратурной формуле для класса . Наилучший аппарат восстановления в ряде случаев доставляют сплайны; так, напр., сплайны s_r-1(f, t).из , интерполирующие в равностоящих точках t_k, восстанавливают функции f из по информации l_k(f)=f(t_k) в каждой точке с минимально возможной на всем классе погрешностью. В пространствах функций двух и большего числа переменных, если не считать тривиального случая приближения в гильбертовом пространстве, точных решений экстремальных задач почти нет (1983). В немногих случаях известны асимптотически точные соотношения для погрешности равномерного приближения классов функций суммами Фурье и нек-рыми их средними (см. [12]).

Лит.:[1] Колмогоров А. Н., "Ann. Math.", 1935, v. 36, № 2, с. 521-26; [2] его же, там же, 1936, у. 37, № 1, р. 107-10; [3] Favard J., "С. г. Acad. sci.", 1936, t. 203, p. 1122-24; [4] его же, "Bull. sci. math.", 1937, t. 61, p. 209-24, 243-56; [5] Никольский С. М., "Тр. МИАН СССР", 1945, т. 15, с. 1-76; [6] его же, "Изв. АН СССР. Сер. матем.", 1946, т. 10, с. 207-56; [7] Корнейчук Н. П., Экстремальные задачи теории приближения, М., 1976; [8] Тихомиров В. М., Некоторые вопросы теории приближений, М._г 1976; [9] Дзядык В. К., Введение в теорию равномерного приближения функций полиномами, М., 1977; [10] Ахиезер Н. И., Лекции по теории аппроксимации, 2 изд., М., 1965; [11] Тиман А. Ф., Теория приближения функций действительного переменного, М., 1960; [12] Степанец А. И., Равномерные приближения тригонометрическими полиномами. Линейные методы, К., 1981; [13] Корнейчук Н. П., "Матем. заметки", 1976, т. 20, №5, с. 655-64; [14] его же, "Укр. матем. журн.", 1979, т. 31, № 4, с. 380-88; [15] его же, "Изв. АН СССР. Сер. матем.", 1981, т. 45, №2, с. 266-90; [16] Арестов В. В., "Тр. Матем. ин-та АН СССР", 1975, т. 138, с. 3-28; [17] Великий В. Л., "Матем. заметки", 1977, т. 22, № 5, с. 663-70; [18] Лигун A. A., "Anal. Math.", 1979, у. 5, М 4, р. 269-86; [19] Корнейчук Н. П., Лигун А. А., Доронин В. Г., Аппроксимация с ограничениями, К., 1982. Н. П. Корнейчук.

Математическая энциклопедия

линейные методы приближения - методы приближения, определяемые линейными операторами. Если в линейном нормированном пространстве функций Xв качестве приближающего множества выбрано линейное многообразие , то любой линейный оператор U, сопоставляющий функции функцию U(f, t)=(Uf)(t).из так, что (a₁ и a₂ - любые числа), определяет линейный метод приближения (л. м. п.) функций пространства Xфункциями множества . Л. м. п. наз. проекционным, если U(f, t)=f(t).для всех f из , он наз. положительным, если для неотрицательных функций f(t).

Наибольший интерес представляет конечномерный случай, когда есть N-мерное подпространство, и тогда

(1)

где - базис , a c_k, - нек-рые определенные на Xлинейные функционалы. Выбор линейно независимой системы и набора функционалов может определяться той информацией о приближаемой функции f(t), к-рую предполагается использовать при построении линейного метода. Если c_k(f)⁼f(t_k), где - фиксированная система точек в области определения функции f(t).и j_k(t_i)⁼0 при

имеют интерполяционный метод (напр., интерполяционный многочлен Лагранжа, интерполяционный сплайн). Если Х=Н - гильбертово пространство функций и c_k (f) - коэффициенты Фурье функции f по ортонормированной системе {j_k(t)}, то суммы (1) дают линейный метод ортогонального проектирования Xна , причем в этом случае

т. е. этот метод реализует наилучшее приближение функции f линейными комбинациями функции j_k(t).

В теории л. м. п. функции особое внимание уделяется проблеме сходимости. Пусть X - банахово пространство, {j₁(t), j₂(t),...} - линейно независимая система функций из - подпространства, порожденные первыми Nфункциями этой системы, U_N(N=1, 2,...) - линейные ограниченные операторы из X в. Сходимость U_N(f, t)f(t). (в смысле при ) для любой функции f(t) из Xимеет место тогда и только тогда, когда 1) последовательность норм операторов U_N ограничена (см. Банаха - Штейнхауза теорема). и 2) для всех функций f(t) из множества А, всюду плотного в X. Эти условия выполняются, в частности, в пространстве 2p-периодических функций при для операторов S_n, определяемых суммами Фурье

(2)

функции f по тригонометрич. системе, причем в качестве множества А, на к-ром проверяется условие 2), можно взять множество всех тригонометрич. полиномов. Если же Xесть пространство (непрерывных на всей оси с периодом 2p функций) или , то при (см. Лебега константы).и, следовательно, существуют в и в функции f(t), к к-рым последовательность {S_n(f, t)}не сходится в соответствующей метрике. Так как в банаховом пространстве функций Xс нормой, инвариантной относительно сдвига, для оператора линейного проектирования Xна подпространство Т _п тригонометрич. полиномов порядка псправедливо неравенство (см. [3]), то расходимость на и имеет место и для последовательности . В частности, это имеет место на для последовательности интерполяционных операторов Лагранжа по любой треугольной матрице узлов интерполирования. Аналогичные факты отрицательного характера наблюдаются и в непериодич. случае для операторов линейного проектирования пространств С[ а, b]и L₁[a, b]на подпространства А _п(n=1,2,...) алгебраич. многочленов степени п. Факт расходимости последовательности (2) для нек-рых функций из побудил ввести в рассмотрение различные усреднения сумм Фурье, не обладающие таким недостатком. Таковы, напр., Фейера сумма, Бернштейна - Рогозинского метод суммирования, К-рые являются частным случаем (при определенном выборе числовых множителей ) полиномов вида

(3)

Так как

(4)

то средние (3) входят в весьма широкий класс л. м. п., представимых в виде свертки функции f с нек-рым (сингулярным) ядром, свойствами к-рого (в данном случае свойствами треугольной матрицы чисел ) и определяется решение вопроса о сходимости. Если

то суммы (3) равномерно сходятся, когда f(t).-тригонометрич. полином, и значит, выполнено условие 2). Для ограниченности норм , как операторов из в , необходимо, чтобы

(1)

и (1) равномерно по пи k=i, 2,..., п. Эти условия становятся и достаточными для ограниченности последовательности {}, если наложить на матрицу {}. нек-рые дополнительные требования (напр., выпуклость или вогнутость по строкам). По аналогии с (3) с помощью матрицы множителей {} строятся также средн-ие на базе сумм Фурье - Чебышева (для ), а также на базе интерполяционных полиномов Лагранжа по узлам 2kp/(2n+i). (впериодич. случае) или по узлам cos [(2k-1)p/(2n+2)] на отрезке [-1, 1] (см., напр., [6]).

Вопрос о сходимости линейных положительных операторов , действующих из С[ а, b]в А _п или из в Т _п (в частности, операторов вида (4) с положительным ядром), решается на трех пробных функциях (см. [1]): для равномерной сходимости последовательности или к необходимо и достаточно, чтобы это имело место для функций 1, t, t² или соответственно для функций 1, sin t,cos t.

Исследование погрешности приближения, доставляемой л. м. п., сводится, чаще всего, к изучению скорости сходимости U_N(f, t).к f(t), оценке погрешности через дифференциально-разностные характеристики приближаемой функции, выяснению вопроса о том, как реагирует л. м. п. на улучшение ее гладкостных свойств.

При оценке аппроксимативных свойств л. м. п. (1) естественным ориентиром служит наилучшее приближение функции f подпространством Лебега неравенство

(5)

показывает в сопоставлении с Джексона неравенством

(w (g,d) - модуль непрерывности функции ), что, хотя порядок приближения суммами Фурье несколько хуже наилучшего (In n в (5) нельзя заменить константой), эти суммы реагируют на любое повышение порядка дифференцируемости приближаемой функции. Для нек-рых же л. м. п. порядок приближения не может быть выше определенной величины, сколько бы производных ни имела функция f(t).(эффект насыщения). Так, порядок приближения линейными положительными полиномиальными операторами не может быть выше О(n^-2); для сумм Фейера порядок насыщения О( п ^-1), для сумм Бернштейна - Рогозинского О( п ^-2). Интерполяционные сплайны при определенном выборе узлов склейки обеспечивают наилучший порядок погрешности приближения не только самой функции, но и нек-рых ее первых производных - в зависимости от степени многочленов, из к-рых склеен сплайн (см. [7], [8]).

В отдельных случаях для конкретных л. м. п. найдены точные или асимптотически точные оценки погрешности на классах функций. Видимо, первый нетривиальный результат такого рода был получен А. Н. Колмогоровым, к-рый в 1935 установил, что

где W^rK(r=1, 2,...) - класс функций , у к-рых f^(r-1)(t).абсолютно непрерывна на [0, 2p] и почти всюду . В дальнейшем аналогичного характера результаты были получены для сумм Фурье (и для нек-рых их средних) на других важных классах функций, задаваемых, напр., мажорантой модуля непрерывности r-й производной (см. [2], [6], [9]). Особый интерес представляют л. м. п. (1), в точности реализующие на том или ином классе функций верхнюю грань наилучших приближений подпространством Таким свойством для классов W^rK(r=1, 2,...) обладают при определенном выборе суммы вида (3), напр., при r=1 надо положить

а также интерполяционные сплайны порядка r-1 дефекта 1 с узлами склейки kp/n (k=0,1, 2,...) (см. [4], а также Приближение функций;экстремальные задачи на классах функций, Наилучший линейный метод). Лит.:[1] Куровкин Н . П., Линейные операторы и теория приближений, М., 195!); [2] Дзядык В. К., Введение в теорию равномерного приближения функций полиномами, М., 1977; [3]. Тихомиров В. М., Некоторые вопросы теории приближений, М., 1976; [4] Корнейчук Н. П., Экстремальные задачи теории приближения, М., 1976; [5] Гончаров В. Л., Теория интерполирования и приближения функций, 2 изд., М., 1954; [8] Тиман А. Ф., Теория приближения функций действительного переменного, М., 1960; [7] Алберг Д ж., Нильсон Э., Уолш Д ж.. Теория сплайнов и ее приложения, пер. с англ., М., 1972; [8] Стечкин С. Б., Субботин Ю. Н., Сплайны в вычислительной математике, М., 1976; [9] Степанец А. И., Равномерные приближения тригонометрическими полиномами. Линейные методы, К., 1981. Н. П. Корнейчук.

Математическая энциклопедия

прямые и обратные теоремы - теоремы и неравенства, устанавливающие связь между дифференциально-разностными свойствами приближаемой функции и величиной (а также поведением) погрешности приближения ее тем или иным методом. Прямые теоремы (п. т.) дают оценку погрешности приближения функции f(t).через ее гладкостные характеристики (наличие производных определенного порядка, модуль непрерывности или модуль гладкости самой функции f или нек-рой ее производной и т. п.). В случае наилучшего приближения полиномами п. т. известны еще как теоремы Джексона [1] и их различные обобщения и уточнения (см. Джексона неравенство, Джексона теорема). Обратные теоремы (о. т.) характеризуют дифференциально-разностные свойства функций в зависимости от скорости убывания к нулю ее наилучших (или каких-либо других) приближений. Задача получения о. т. приближения функций впервые была поставлена, а в нек-рых случаях и решена С. Н. Бернштейном [2]. Сопоставление п. т. и о. т. позволяет иногда полностью охарактеризовать класс функций, имеющих те или иные глад-костные свойства, с помощью последовательности, напр., наилучших приближений.

Наиболее проста связь между п. т. и о. т. в периодич. случае. Пусть - пространство непрерывных на всей оси 2p-периодических функций с нормой

- наилучшее приближение функции f из подпространством Т _п тригонометрич. полиномов порядка п, w(f, d) - модуль непрерывности функции (r=1, 2,...) - множество r раз непрерывно дифференцируемых на всей оси функций из . Прямая теорема: если , то

(1) n = 1, 2,..., r = 0, 1,..., где константа Мне зависит от n. Более сильное утверждение состоит в том, что можно указать последовательность линейных методов U_n ( п=0,1,...), сопоставляющих функции f(t).из полином и таких, что для погрешность оценивается правой частью (1). Обратная теорема утверждает, что для

(2)

где М - абсолютная константа, [1/d] - целая часть числа 1/d, а из сходимости при нек-ром натуральном r ряда

следует, что , причем аналогично (2) можно оценить w(f^(r), 1/n) через E(f, Т _п-1)(n=1,2,...) (см. [4], [8], [12]). Из этих оценок, в частности, следует, что если

то и f^(r)(t) удовлетворяет при 0<a<1 условию Гёльдера

(3) а при a= 1--условию Зигмунда

(4)

Обозначив этот класс функций через , получают его конструктивную характеристику: тогда и только тогда, когда

2p-периодическая функция бесконечно дифференцируема на всей оси в том и только в том случае, если

для любого r=1, 2,...,

Аналогичные факты имеют место для приближения периодич. функций в метрике , а также для заданных на всей оси (не обязательно периодич.) функций в случае приближения их целыми функциями конечной степени (см. [7], [8]). Известны п. т. и о. т. для , использующие в качестве дифференциально-разностной характеристики модуль гладкости w_k(f, d) порядка k=1,2,... приближаемой функции (или нек-рой ее производной) (см. [4], [8]).

Иначе обстоит дело в случае приближения на конечном отрезке. Пусть С=С[а, Ь] - пространство непрерывных на [а, Ь]функций с нормой

С ^т=С ^r[ а, b]- множество г раз непрерывно дифференцируемых на [а, b] функций, С ⁰=С, КН ^r+^a[ а, b] - класс функций, определяемый неравенствами (3) и (4) при . Для наилучшего приближения

функции подпространством А _n-1 алгебраич. многочленов степени n-1 справедлива оценка вида (1) через модуль непрерывности функции f^(r) на [а, b], однако обращение, аналогичное периодич. случаю (с неравенством вида (2)), здесь возможно лишь на отрезке, лежащем ввутри интервала ( а, b). Напр., если

(5)

то можно лишь утверждать, что f принадлежит классу КH^r+^a[a₁, b₁], определяемому неравенствами (3) (при 0<a<1) и (4) (при a=1) лишь на отрезке [ а ₁, b₁](a, b), причем константа Кзависит от a, a₁, b₁ и bи может неограниченно увеличиваться, если , . Существуют функции, не принадлежащие классу КН ^r+^a[ а, b], для к-рых, однако,

Напр.,

хотя на [ -1, 1] ни при каком a>¹/₂. Оказалось, что алгебраич. многочлены могут, обеспечивая на всем отрезке [а, b]наилучший порядок приближения функции , у концов отрезка осуществлять приближение существенно лучшее (впервые этот феномен был обнаружен С. М. Никольским, см. [3]). Если, в частности, , то при каждом n>r существует многочлен такой, что

(6)

где константа Мне зависит ни от n, ни от t. Это утверждение, в отличие от (5), уже можно обратить: если для существует последовательность многочленов таких, что при нек-рых r=0, 1,... и выполнено (6), то . Известны и. т. и о. т. для , использующие модуль непрерывности и модуль гладкости (см. [4], [8]).

П. т., в к-рых даются порядковые оценки погрешности через дифференциально-разностные характеристики приближаемой функции, доказаны для многих конкретных методов приближения (см. [6], [8], [9]), в частности для сплайнов (наилучших и интерполяционных [10]).

Известны п. т. и о. т. для приближения в хаусдорфовой метрике (см. [13]). Здесь возникают свои особенности; в частности, характеризация классов функций через их наилучшие хаусдорфовы приближения связана не только с порядком этого приближения, но и с величиной константы в соответствующем неравенстве. О п. т. и о. т. в многомерном случае см. Приближение функций;случай многих действительных переменных.

Лит.:[l] Jackson D., Ober die Genauigkeit der Annaherung stetiger Funktionen durch ganze rationale Funktionen gegebenen Grades und trigonometriscne Summen gegebener Ordnung, Gott., 1911; [2] Бернштейн С. Н., О наилучшем приближении непрерывных функций посредством многочленов данной степени (1912), СоОр. соч. т. 1, М., 1952, с. 11-104; 13] Никольский С. М., "Изв. АН СССР. Сер. матем.", 1946, т. 10, № 4, с. 295-317; [4] Дзядык В. К., Введение в теорию равномерного приближения функций полиномами, М., 1977; [5] Корнейчук Н. П., Экстремальные задачи теории приближения, М., 1976; [6] Тихомиров В. М., Некоторые вопросы теории приближений, М., 1976; 17] Ахиезер Н. И., Лекции по теории аппроксимации, 2 изд., М., 1965; [8] Тиман А. Ф., Теория приближения функции действительного переменного, М., 1960; t9] Коровник П. П., Линейные операторы и теория приближений, М., 1959; [ю] Стечкин С. Б., Субботин Ю. Н., Сплайны в вычислительной математике, М., 1976; [1l] Даугавет И. К., Введение в теорию приближения функций, Л., 1977; [12] Стечкин С. В., "Изв. АН СССР. Сер. матем.", 1951, т. 15, М 3, С. 219-42; [13] Сендов Б л., Хаусдорфовые приближения, София, 1979. Н. П. Корнейчук.

Математическая энциклопедия

случай многих действительных переменных - случай, когда приближаемая функция f зависит от двух и большего числа переменных: (см. Приближение функций). По сравнению с одномерным случаем исследование вопросов приближения функций т(т 2) переменных значительно усложняется ввиду появления принципиально новых обстоятельств, связанных с многомерностью. Прежде всего это касается области, на к-рой осуществляется приближение. Просто связный компакт (в одномерном случае - отрезок) в (даже на плоскости) может иметь самую разнообразную конфигурацию, и возникает необходимость классифицировать области в зависимости, напр., от гладкостных свойств их границ. Сложности появляются и при описании дифференциально-разностных свойств функций тпеременных. Эти свойства могут быть, вообще говоря, различными по разным направлениям, их характеризация должна учитывать как геометрию области определения, так и поведение функции при подходе к границе, так что большое значение приобретает изучение граничных свойств функций. Если пытаться упростить решение аппроксимационной задачи переходом к области более простой структуры, то возникает проблема возможности продолжения функции f из области в нек-рую содержащую Qканонич. область Q₁ (напр., в параллелепипед или на все пространство ) с сохранением тех или иных гладкостных свойств (см. Продолжения теоремы). Этот круг вопросов тесно связан с вложения теоремами, а также с проблемами, возникающими при решении краевых задач математич. физики.

Увеличение числа независимых переменных, естественно, усложняет и аппарат приближения, ибо увеличивается его размерность при том же, напр., порядке полиномов. Алгебраич. многочлен степени n₁,..., п _т соответственно по переменным t₁,..., t_m имеет вид

(1)

( - действительные коэффициенты, суммирование ведется по k_v, v= 1,..., т, от 0 до n_v), так что, напр., подпространство многочленов степени 3 по каждому из тпеременных имеет размерность 4^m. Иногда фиксируется суммарная степень многочлена n, тогда суммирование в (1) распространено на индексы, удовлетворяющие неравенству Тригонометрический действительный полином порядка n₁,..., п _т по переменным t₁,..., t_m может быть записан в виде

где комплексные коэффициенты с индексами противоположного знака комплексно сопряжены, а суммирование ведется по k_v, v=l,..., m, от -n_v до n_v. Этот полином можно также представить в виде линейной комбинации всевозможных произведений вида есть либо , либо . Широкое применение находят многомерные сплайны, "склеенные" до определенной гладкости из "кусков" алгебраич. многочленов тпеременных. В случае т=2 наиболее простой вид имеют сплайны, склеенные из многочленов по прямым, параллельным осям координат. В качестве аппарата приближения применяются также функции g(t₁,..., t_m), являющиеся полиномами или сплайнами лишь по нек-рым из переменных. Для приближения непериодич. функций, заданных на всем пространстве (или на неограниченном множестве из ), могут применяться целые функции экспоненциального типа, представимые в виде суммы абсолютно сходящегося степенного ряда

(2)

при условии, что для любого e>0 при всех комплексных t₁, t₂,...,t_m

где константа M_e зависит только от e (см. [1]). Следует заметить, что в отличие от полиномов функция (2) определяется бесконечным числом параметров.

В многомерном случае справедлива теорема Вейерштрасса о возможности приблизить непрерывную на ограниченном замкнутом множестве функцию или непрерывную на всем пространстве с периодом 2p по каждому переменному функцию алгебраическими (соответственно тригонометрическими) полиномами с любой наперед заданной степенью точности. Аналогичный факт имеет место и в пространствах L_p (Q).и (в периодич. случае) . На линейные нормированные пространства функций тпеременных распространяются общие факты и теоремы о свойствах наилучшего приближения, о существовании, единственности и характеристич. свойствах функции наилучшего приближения, а также общие соотношения двойственности для приближения выпуклым множеством и, в частности, подпространством (см. [3], [4]). Однако получение конкретных реализаций этих теорем с учетом конкретной метрики и специфики приближающего подпространства в многомерном случае сопряжено с большими трудностями.

Более полно исследованы вопросы связи порядка убывания наилучших приближений функций многих переменных алгебраическими и тригонометрич. полиномами, а также целыми функциями с гладкостными свойствами приближаемой функции.

Пусть Q - произвольное открытое множество в (в частности, ), е - единичный вектор из , h>0 и Q_he- множество точек таких, что отрезок . Если , то величина

наз. модулем непрерывности функция f(t₁,..., t_m).в метрике L_p(Q).по направлению е. Величину

наз. модулем непрерывности функции f в L_p(Q).

В периодич. случае для наилучших приближений тригонометрич. полиномами

функции , имеющей частные (вообще говоря, обобщенные по Соболеву) производные

(r_v0 - целые, ), справедливы оценки

(3)

где e_v - единичный вектор, направленный вдоль t_v, аконстанта Мне зависит от f и n_v. Для функции f из , имеющей обобщенные смешанные и несмешанные производные

(r=(r_l,..., r_т)).порядка r=r₁+...+r_т, имеют место неравенства

(4) Если

т. <е. если функции D^rf удовлетворяют Гёлъдера условию, то

(5)

В последнем случае обратная теорема утверждает, что если для функции при всех п=1,2,... справедлива оценка (5), то существуют производные

, удовлетворяющие при любом неравенствам

(6) если 0<a<1, или

(7)

если a=1, где Кне зависит от длины|h|=(+...+)^1/2 вектора h=(h₁,..., h_m).

Теоремы, аналогичные приведенным, верны также для непериодич. функций , если в качестве аппарата приближения применяются целые функции экспоненциального типа. Приведенные результаты распространяются также на классы функций, гладкость к-рых описывается в терминах модулей непрерывности (модулей гладкости) более высокого порядка (см. [1]).

В случае приближения функций алгебраич. многочленами на ограниченном параллелепипеде (и нек-рых других ограниченных множествах) доказаны прямые теоремы, аналогичные (3), (4) и (5). Обращение этих теорем, как и для функций, заданных на конечном отрезке, возможно лишь на множестве Q₁, лежащем строго внутри Q. Известны обратные теоремы, предполагающие повышение порядка приближения вблизи границы множества Q(см. [13]), а также прямые теоремы, утверждающие возможность такого улучшения вблизи угловых точек (см. [14]). Необходимые и достаточные условия, обеспечивающие принадлежность функции f классу (определяемому в метрике С(Q).условиями, аналогичными условиям (6), (7)) за счет повышения порядка приближения вблизи границы (как в одномерном случае), неизвестны (1983). Однако имеет место следующий результат отрицательного характера (см.[13]). Пусть . Не существует ни одной определенной на Qпоследовательности функций

, обладающей следующими двумя свойствами:

1) для всякой функции f из найдется постоянная Ми последовательность многочленов

таких, что

(8)

2) из того, что для определенной на Qфункции f существуют постоянная М>0 и последовательность многочленов Р _п(t), удовлетворяющих неравенству (8), следует, что .

В качестве других примеров, отражающих специфику приближения функций многих переменных, можно привести следующие результаты.

Пусть - наилучшее приближение 2p-периодической функции f двух переменных тригонометрич. полиномами в метрике или , а - наилучшее приближение f в функциями , являющимися тригонометрич. полиномами порядка п ₁ по переменному t₁ коэффициенты к-рых суть функции от t₂. Аналогично определяются величины .

Если , то выполняются неравенства

где А _р зависит лишь от р.

Если же или , то

(9)

где А- абсолютная постоянная, и множитель In (2+min{n₁, n₂}) в неравенстве (9) нельзя заменить ни на какой другой, растущий при min{n₁, n₂} по порядку медленнее (см. [15]).

Принципиальные особенности возникают в задачах интерполирования функций многих переменных. Напр., существование алгебраического интерполяционного многочлена в отличие от одномерного случая существенно зависит от расположения узлов интерполяции. Разработаны, тем не менее, эффективные способы построения полиномов и сплайнов, интерполирующих функцию f(t₁,..., t_m).на определенным образом выбранной сетке узлов (см. Интерполирование), Для многомерных интерполяционных сплайнов в ряде случаев найдены порядковые оценки погрешности приближения как самой функции f, так и ее частных производных, более детально исследованы в этом направлении двумерные сплайны малого порядка, а также локальные (эрмитовы) сплайны любого порядка (см. [7], [10] - [12]). Среди других линейных методов приближения функций многих переменных сравнительно лучше исследованы кратные суммы Фурье и их различные средние. Здесь известны порядковые оценки приближения на классах функций, в нек-рых случаях найдена точная асимптотика (см. [5], [6], [8]). Лит.:[1] Никольский С. М., Приближение функций многих переменных и теоремы вложения, 2 изд., М., 1977; [2] Гутер Р. С., Кудрявцев Л. Д., Левитан Б. М., Элементы теории функций, М., 1963, с. 106-98; [3] Корнейчук Н. П., Экстремальные задачи теории-приближения, М., 1976; [4] Тихомиров В. М., Некоторые вопросы теории приближений, М., 1976; [5] Дзядык В. К., Введение в теорию равномерного приближения функций полиномами, М., 1977; [6] Тиман А. Ф., Теория приближения функций действительного переменного, М., 1960; [7] Стечкин С. Б., Субботин Ю. Н., Сплайны в вычислительной математике, М., 1976; [8] Степанец А. И., Равномерное приближение тригонометрическими полиномами. Линейные методы, К., 1981; (9] Лоран П. - Ж., Аппроксимация и оптимизация, пер. с франц., М., 1975; [10] Алберг Д да., Нильсон Э., Уолш Д ж., Теория сплайнов и ее приложения, пер. с англ., М., 1972; [11] Завьялов Ю. С., Квасов Б. И., Мирошниченко В. Л., Методы сплайн-функций, М., 1980; [12] Варга Р., Функциональный анализ и теория аппроксимации в численном анализе, пер. с англ., М., 1974; [13] Никольский С. М., "Сиб. матем. ж.", 1969, т. 10, № 5, с. 1075- 1083; [14] Брудный Ю. А., "Докл. АН СССР", 1970, т. 195, № 5, с. 1007-09; [15] Темляков В. Н., "Докл. АН СССР", 1975, т. 223, с. 1079-82. В. Н. Коновалов, Н. П. Корнейчук.

Математическая энциклопедия

замена по определенному правилу функции f(t).близкой к ней в том или ином смысле функцией j(t). из заранее фиксированного множества (приближающего множества). Предполагается, что функция f определена на том множестве Qm-мерного евклидова пространства (в частности, действительной оси), на к-ром осуществляется приближение, она может быть задана явно через элементарные функции или быть решением нек-рого уравнения. Если о функции f(t) располагают неполной информацией, то тогда речь идет, по существу, о приближении задаваемого этой информацией целого класса функций.

Практич. необходимость в П. ф. возникает в самых различных ситуациях, когда нужно функцию f(t).заменить более гладкой или более простой и удобной для вычислений, восстановить функциональную зависимость по экспериментальным данным и т. п.

В общей задаче П. ф. обычно можно выделить следующие более частные задачи: выбор приближающего множества ; выбор меры погрешности приближения; выбор метода приближения, т. е. правила, по к-рому функции f(t).сопоставляетcя функция j(t).из ; исследование и оценка, погрешности приближения.

При выборе приближающего множества , помимо безусловного требования обеспечить нужную точность приближения, руководствуются стремлением иметь дело с простыми по структуре и удобными для вычисления функциями j(t), на к-рые могут накладываться априорные условия, связанные, напр., с гладкостью.

Классич. аппаратами приближения являются алгебраические (если Q- ограниченное замкнутое множество) и тригонометрические (в периодич. случае) полиномы одного и многих переменных. Широкое применение их в качестве приближающего множества обусловлено, в частности, принципиальной возможностью приблизить непрерывную функцию алгебраическими или тригонометрич. полиномами с любой наперед заданной погрешностью. Точность приближения может быть повышена за счет увеличения степени полинома, что, однако, усложняет приближающий аппарат и увеличивает вычислительные трудности при его использовании. На практике в качестве приближающего множества берут подпространства алгебраических или тригонометрич. полиномов фиксированного порядка и стремятся получить нужную точность с помощью полиномов возможно меньшей степени. Более общий и в то же время более гибкий аппарат приближения получают, рассматривая обобщенные полиномы

где {j₁,...,j_N} - нек-рая система линейно независимых функций, к-рую можно выбирать в зависимости от условий конкретной задачи и априорных требований на j(t).

Во многих задачах более естественным и удобным с вычислительной точки зрения, чем классич. полиномы, аппаратом приближения оказались сплайны. Если

(1)

фиксированное разбиение отрезка [а, b], то (полиномиальным) сплайном порядка гдефекта k(k=l, 2,..., r).по разбиению D_N наз. функцию s(t),"склеенную" в точках t₁, t₂,..., t_N-1 из алгебраич. многочленов степени rтак, что на всем отрезке [а, b]она непрерывна вместе со своими производными до (r-k )-го порядка включительно. Таким образом, s(t)C^r-k[a, b]и s(t).есть алгебраич. многочлен степени rна каждом промежутке (t_i-1, t_i), i=l, 2,..., N. Напр., ломаная с узлами в точках t_i есть сплайн первого порядка дефекта 1; непрерывно дифференцируемая на [а, b]функция s(t), совпадающая на [t_i-1, t_i],. i=1,..., N, с кубич. многочленом, есть кубический сплайн дефекта 2 и т. д. Аналогично определяются сплайны двух и большего числа переменных. Имея конечную гладкость, сплайны обладают большей, чем полиномы, локальной гибкостью: изменение значений сплайна на нек-ром промежутке (a, b) мало сказывается (или совсем не сказывается) на поведении его вне (a, b). Преимущества сплайнов, помимо простоты машинной реализации, сказываются, в частности, там, где информация о приближаемой функции имеет дискретный характер, напр. значения в нек-рых точках самой функции f и, быть может, нек-рых ее производных.

Если f(t).имеет особенности или приближение осуществляется в неограниченной области, то удобным аппаратом приближения являются рациональные дроби p(t)/q(t), где p(t).и q(t) - алгебраич. многочлены. Заданные на всей действительной оси непериодич. функции приближают также целыми функциями экспоненциального типа.

Мера погрешности m(f, j) выбирается обычно с учетом условий конкретной задачи и имеющейся информации о приближаемой функции f(t). Чаще всего дело сводится к выбору содержащего f функционального пространства, в метрике к-рого целесообразно оценивать погрешность приближения. Если

то речь идет оравно мерном, или чебышевском, приближении, если же

то говорят о среднестепенном приближении, к-рое при р=1 наз. приближением в среднем. Особое значение имеет случай р=2 - средне к вадратическое приближение, когда погрешность наилучшего приближения функции f конечномерным подпространством может быть точно выражена через нек-рые определители. В нек-рых задачах требования близости функций f и j в различных точках различны; для учета этой неоднородности вводят весовую функциюr(t)0 и рассматривают взвешенное приближение с мерой погрешности

или

Весовая функция позволяет также обеспечить конечность погрешности, если, напр., f(t).ноограничена. Если погрешность должна учитывать близость f и j только в отдельных точках t_k(k=1,..., N).из Q, то в качестве m (f, j) можно выбрать одну из величин

или

в к-рые также могут вводиться весовые коэффициенты. При решении вопроса о том, по какому правилу выбирать из множества приближающую функцию j(t)=j(f, t) (при выборе метода приближения), естественно стремление обеспечить по возможности более высокую точность приближения и одновременно простоту построения j (f, t).по имеющейся информации о приближаемой функции f(t). Первое требование ориентирует на "ближайшую" к f(t) функцию j_f(t) из , т. е. такую, что

Здесь сразу же возникают вопросы о существовании и единственности такой функции (функции наилучшего приближения), а также о ее характеристич. свойствах (см. [5]). Существование гарантируется, если - замкнутое локально компактное множество, в частности конечномерное подпространство. Единственность зависит как от свойств приближающего множества (см. Хаара условие, Чебяшева система функций), так и от метрики, определяющей меру погрешности m(f, j). Известен ряд необходимых и достаточных условий, к-рым должна удовлетворять функция наилучшего приближения j_f(t).в той или иной ситуации (см. Наилучшего приближения многочлен, Чебышева теорема, Маркова критерий). Однако эти критерии, как правило, не дают способов эффективного построения функции j_f(t). Поэтому большое значение имеют методы, к-рые позволяют по информации о приближаемой функции f(t).эффективно построить нек-рую функцию j(f, t).из , обеспечивающую приемлемое приближение. Здесь, в первую очередь, надо говорить о линейных методах (когда , к к-рым, в частности, относится метод интерполяции. Зафиксировав точки t₁..., t_N из Q, можно выбирать j(f, t).среди тех функций j(t).из , к-рые удовлетворяют условию интерполяции

(2)

Если - линейное многообразие и в нем существует система функции j_1;..., j_N такая, что j_i(t_i)=1, j_i(t_k)=0 (ki), то функция

принадлежит и удовлетворяет условиям (2); она задает интерполяционный метод приближения, являющийся, очевидно, линейным. Функцию j(f, t).можно выбирать, требуя совпадения в точках t_k не только f(t).и j(f, t), но и нек-рых их производных; в этом случае говорят об интерполировании с кратными узлами. Если

, то существует единственный алгебраич. многочлен степени N-1, а в непериодич. случае (b- а=2p, t_N=t_2n-1<b) - единственный тригонометрич. полином порядка п-1, совпадающий с f(t).в точках t_k. Кратное интерполирование осуществляют интерполяционные полиномы Эрмита, частным случаем к-рых является многочлен Тейлора, когда в одной точке алгебраич. многочленом степени пинтерполируются значения функции и ее первых ппроизводных.

Интерполирование сплайнами имеет свои особенности, связанные с выбором точек интерполяции и краевых условий, обеспечивающих существование и единственность интерполяционного сплайна. Напр., сплайн s(t).порядка дефекта 1 по разбиению (1), принимающий заданные значения в Nразличных точках t_i интервала ( а, b).таких, что , i=1, 2,..., N, существует и единствен, если задать определенным образом краевые условия в виде т _а чисел и т _b чисел , причем m_a+m_b=r. Функции можно однозначно сопоставить сплайн s(f, t).порядка 2r-1 дефекта по разбиению (1), потребовав выполнения равенств , v=0, 1,..., k-1; i=0, 1,..., N, а при k<r -также нек-рых краевых условий. При k=r этот сплайн иаз. эрмитовым, а также локальным, т. <к. его поведение на интервале определяется только значениями функции f(t).и ее производных f^(v)(t).(v=l,..., k-1) в точках t_i-1 и t_i.

В П. ф. важную роль играют также линейные методы, построенные на базе разложения приближаемой функции в ряд Фурье по нек-рой ортогональной системе. В частности, в периодич. случае широко распространенным аппаратом приближения являются суммы Фурье по тригонометрич. системе и их различные усреднения (см. Приближение функций;линейные методы приближения).

Исследование и оценка погрешности приближения - важный с практич. точки зрения и в то Же время наиболее содержательный в идейном отношении этап П. ф. Именно разработка методов оценки погрешности, Изучение зависимости ее от гладкостиых характеристик приближаемой функции, исследование и сравнение аппроксимативных свойств различных аппаратов приближения привели к формированию теории приближения функций - одного из наиболее интенсивно развивающихся разделов математич. анализа.

Фундамент теорий П. ф. был заложен работами П. Л. Чебыгаева в 1854-59 (см. [1]) о наилучшем равномерном приближении непрерывных функций многочленами и рациональными дробями, а также работами К. Вейерштрасса [2], доказавшего в 1885, что для любой непрерывной на отрезке [ а, b] или непрерывной на всей оси с периодом 2p функции f(t).существует последовательность алгебраических (соответственно тригонометрических) полиномов P_n(f, t).порядка n=1, 2,... такая, что при

где Qесть [ а, b]или, соответственно, вся числовая ось. Аналогичные факты имеют место и в случае, когда мера погрешности определяется интегральной метрикой, а также для функций многих переменных. Особую важность приобретает исследование скорости убывания числовой последовательности m (f, Р _п(f)) в зависимости от свойств приближаемой функции и от выбора приближающих полиномов Р _n(f, t). Наибольший интерес представляет изучение наилучшего приближения, а также приближения, доставляемого линейными методами, позволяющими но функции f(t) эффективно построить полином P_n(f, t). Важный этап в развитии теории П. ф., связанный с именами Ш. Ж. Балле Пуссена (Ch. J. La Vallee Poussin), Д. Джексона (D. Jackson), С. Н. Бернштейна, составили исследования связи между скоростью убывания погрешности приближения функции f(t) выбранными тем или иным способом многочленами P_n(f, t).степени п(при ) и дифференциально-разностными свойствами f(t). Оказалось, что эти свойства, т. е. наличие у f(t).производных, их гладкость и т. д., можно в ряде случаев охарактеризовать через последовательность приближающих полиномов и поведение доставляемой ими погрешности (см. Приближение функций;прямые и обратные теоремы). Этим давалась новая, конструктивная характеристика непрерывных и дифференцируемых функций. В первой трети 20 в. такая проблематика была доминирующей в теории приближения, что дало повод говорить о ней как о конструктивной теории функций.

В 30-40-х гг. появились работы Л. Н. Колмогорова, Ж. Фавара (J. Favard) и С. М. Никольского, к-рые положили начало новому направлению исследований, связанному с приближением классов функций конечномерными подпространствами и получением точных оценок погрешности через задающие класс дифференциально-разностные характеристики. Речь идет об отыскании величин

где m (g,j) - выбранная мера погрешности приближения, - нек-рый класс функций, a P_N(f, t).- приближающий (вообще говоря, обобщенный) полином, коэффициенты к-рого определяются выбором метода приближения. Результаты такого рода позволяют сравнивать методы приближения с точки зрения их аппроксимативных возможностей и ставить важную для приложений задачу отыскания для данного класса функций оптимального (наилучшего) приближающего аппарата (фиксированной размерности N). Исследования в этом направлении, базирующиеся как на изучении свойств конкретных методов приближения, так и на самых общих положениях функционального анализа, оказались весьма плодотворными и в идейном отношении, т. к. привели к установлению принципиально новых фактов о связи между различными по характеру экстремальными задачами, позволили выявить глубокие и тонкие зависимости в теории функций. Благодаря этому оказалось возможным до конца решить ряд экстремальных задач по наилучшему приближению важнейших классов функций (см. [5], [7], а также Приближение функций;экстремальные задачи на классах функций).

О некоторых других аспектах П. <ф. На приближающую функцию j(t)=j(f, t).из могут накладываться дополнительные ограничения. Если они не связаны с функцией f (напр., ограничения или связи на коэффициенты приближающего полинома), то дело фактически сводится к уточнению приближающего множества . Новая ситуация возникает, если ограничения на j(f, t).связаны с приближаемой функцией f; один из интересных случаев - одностороннее приближение, когда j(f, t).из должна удовлетворять неравенству (или ) и погрешность оценивается в интегральной метрике (см. [19]).

В прикладных задачах наряду с явно задаваемыми функциями возникает необходимость приближать кривые и поверхности, допускающие только параметрич. задание; в качестве аппарата приближения могут служить, напр., параметрич. сплайны. Меру погрешности здесь естественнее всего определить через хаусдорфово расстояние, к-рое хорошо учитывает геометрич. близость таких объектов, и, напр., для кривых l₁ и l₂ определяется равенством

где r( Р, Q) -- евклидово (или какое-нибудь другое) расстояние между точками Ри Q. Хаусдорфово расстояние является более предпочтительным при выборе меры погрешности и в нек-рых ситуациях П. <ф., напр. когда разрывную функцию нужно аппроксимировать функцией гладкой (см. [16]).

Решение ряда задач теории П. ф. тесно связано с исследованием экстремальных свойств полиномов по тем или иным конкретным системам функций (неравенства для производных многочленов, полиномы, наименее уклоняющиеся от нуля, и др.). В частности, доказательство обратных теорем П. ф. существенно базируется на неравенствах, дающих оценку нормы (или значения в фиксированной точке) нек-рой производной алгебраического или тригонометрич. полинома через те или иные характеристики самого полинома. В этом направлении известен ряд точных результатов, имеются обобщения на целые функции (см. [6] - [10]).

Задача об алгебраич. многочлене (с фиксированным старшим коэффициентом), наименее уклоняющемся от нуля в метрике Сили L_p на отрезке [а, b], эквивалентная задаче о наилучшем приближении функции tⁿ многочленами степени п-1, исследовалась П. Л. Чебышевым (метрика С).и его учениками (метрика L₁). Решение дают многочлены Чебышева первого (С).и второго (L₁) рода и многочлены Лежандра (L₂), имеющие широкое применение как в теоретических, так и в прикладных исследованиях. Известен ряд результатов для более общего случая, когда на коэффициенты многочлена накладывается несколько связей (см. [6]). Задача о моносплайне минимальной нормы, эквивалентная отысканию наилучшего приближения функции tⁿ сплайнами порядка п-1 со свободными узлами, приобрела особое значение в связи с тем, что к ней в ряде случаев сводится задача о наилучшей квадратурной формуле (см. [17]).

О П. ф. в комплексной плоскости см. Приближение функций комплексного переменного.

Лит.:[1] Чебышев П. Л., Вопросы о наименьших величинах, связанные с приближенным представлением функций (1859), Полн. собр. соч., т. 2, М.-Л., 1947, с. 151- 235; [2] Weierstrass К., "Sitzungsber. Akad. Berlin", 1885, S. 633- 639, 789-805; [3] Гончаров В. Л., Теория интерполирования и приближения функций, 2 изд., М., 1954; [4] Натансон И. П., Конструктивная теория функций, М.- Л., 1949; [5] Корнейчук Н. П., Экстремальные задачи теории приближения, М., 1976; [6] Дзядык В. К., Введение в теорию равномерного приближения функций полиномами, М., 1977; [7] Тихомиров В. М., Некоторые вопросы теории приближений, М., 1976; [8] Никольский С. М., Приближение функций многих переменных и теоремы вложения, 2 изд., М., 1977; [9] Ахиезер Н. И., Лекции по теории аппроксимации, 2 изд., М., 1965; [10] Тиман А. Ф., Теория приближения функций действительного переменного, М., 1960; [11] Коровкин П. П., Линейные операторы и теория приближений, М., 1959; [12] Алберг Д ж., Нильсон Э., Уолш Д ж., Теория сплайнов и ее приложения, пер. с англ., М., 1972; [13] Стечкин С. Б., Субботин Ю. Н., Сплайны в вычислительной математике, М., 1976; [14] Лоран П. - Ж., Аппроксимация и оптимизация, пер. с франц., М., 1975; [15] Коллатц Л.,Крабе В., Теория приближений. Чебышевские приближения и их приложения, пер. с нем., М., 1978; [16] Сен до в Б., Хаусдорфовые приближения, София, 1979; [17] Никольский С. М., Квадратурные формулы, 3 изд., М., 1979; [18] Завьялов Ю. С., Квасов Б. И., Мирошниченко В. Л., Методы сплайн-функций, М., 1980; [19] Корнейчук Н. П., Лигун А. А., Доронин В. Г., Аппроксимация с ограничениями, К., 1982. Я. П. Корнейчук.