«ПРОДОЛЖЕНИЯ ТЕОРЕМЫ»

в аналитической геометрии - утверждения о продолжении функций, сечений аналитич. чков, аналитич. чков, аналитич. одмножеств, голоморфных и мероморфных отображений с дополнения ХA в аналитич. ространстве Xк подмножеству А(как правило, тоже аналитическому) на все пространство X. Классич. результатами о продолжении функций являются две теоремы Римана.

Первая теорема Римана утверждает, что всякая аналитич. ция на ХА, где X- нормальное комплексное пространство, а Аего аналитич. одмножество коразмерности , продолжается до аналитич. ции на всем X. Вторая теорема Римана утверждает, что всякая аналитич. ция f на ХA, где Анигде не плотное аналитич. одмножество нормального комплексного пространства X, локально ограниченная на X, продолжается до аналитич. ции на всем X. Существуют обобщения этих теорем на произвольные комплексные пространства X, а также на сечения когерентных аналитич. чков (см. Локальные когомологии).

Важнейшими результатами о продолжениях аналитических подмножеств являются теорема Реммерта - Штейна - Шифмана и теорема Бишопа. Теорема Реммерта - Штейна - Шифмана утверждает, что всякое чисто р-мерное комплексное аналитич. одмножество в Х А, где X - комплексное аналитич. многообразие, а Аего замкнутое подмножество, имеющее нулевую (2р-1)-мерную меру Хаусдорфа, продолжается до чисто р-мерного комплексного аналитич. одмножества во всем X. Теорема Бишопа утверждает, что всякое чисто р-мерное комплексное аналитич. одмножество Vв XA, где X - комплексное аналитич. многообразие, а A - его комплексное аналитич. одмножество, продолжается до чисто р-мерного комплексно аналитич. одмножества во всем X, если Vимеет локально конечный объем в нек-рой окрестности Uмножества Ав X.

Имеются критерии продолжаемости аналитич. отображений, обобщающие классич. Пикара теорему. Напр., всякое аналитич. отображение , где X- комплексное многообразие, А - его аналитическое нигде не плотное подмножество, а Y - гиперболическое компактное комплексное многообразие, можно продолжить до аналитич. отображения . Всякое не всюду вырожденное аналитич. отображение , где X- комплексное многообразие, А- его аналитич. одмножество, Y - компактное комплексное многообразие с отрицательным первым классом Чжэня, можно продолжить до мороморфного отображения .

Лит.:[1] Гриффите Ф., Кинг Дж., Теория Неванлинны и голоморфные отображения алгебраических многообразий, пер. с англ., М., 1976; [2] Кобаяси Ш., "Математика", 1973, т. 17, в. 1, с. 47-96; [3] Харви Р., Голоморфные цепи и их границы, пер. с англ., М., 1979.

Д. А. Пономарев.

теоремы о продолжении функции с нек-рого множества на более широкое таким образом, что продолженная функция обладает определенными свойствами. К П. т. относятся прежде всего задачи об аналитическом продолжении функций.

Примером теоремы существования непрерывного продолжения непрерывной функции является теорема Брауэра - Урысона: есчи Е - замкнутое подмножество нормального пространства Xи f: Е R - непрерывная действительная ограниченная функция, то существует такая непрерывная ограниченная функция F: XR, что F=f на Е. К числу П. т. относится Хана - Банаха теорема о продолжении линейных функционалов в векторных пространствах.

В евклидовом пространстве П. т. в основном связаны с решением следующих двух задач: 1) продолжение функций с областей, лежащих в пространстве, на все пространство; 2) продолжение функций с границы области на саму область. В обоих случаях требуется, чтобы продолженная функция обладала определенными свойствами гладкости, т. е. принадлежала определенному функциональному классу, зависящему от свойств продолжаемой функции.

Задача о продолжении функции с сохранением непрерывности частных производных с области с достаточно гладкой границей на все пространство была решена М. Хестенсом [3] и X. Уитни [4]. Если на ( п-1)-мерной границе дG области G, лежащей в n-мерном пространстве , заданы функции j_k:dG, k=0, 1,..., т, то задача построения такой функции , что для нее

(*)

где п - нормаль к дG, в случае, когда гладкость функций j_k и границы дG описывается в терминах непрерывности и принадлежности Гёльдерову пространству (при наличии, быть может, нек-рых особенностей), рассматривалась Э. Леви [5], Ж. Жиро [6] - [7] и М. Жевре [8]. Изучался также порядок роста частных производных порядка k>m при стремлении аргумента к границе дG области G.

Систематически обе указанные задачи о продолжении функций в разных метриках , для разных измерений и в различных функциональных пространствах изучались С. М. Никольским и его учениками (см. [9], [10]). В терминах ряда функциональных пространств установлены наилучшие характеристики дифференциальных свойств функций, к-рые можно получить при продолжении функции, обладающей заданными дифференциально-разностными свойствами (см. Вложения теоремы). Для задачи (*) было найдено продолжение, наилучшее с точки зрения роста производных порядка k>m при подходе к граничному многообразию (см. [11], [12]).

Часто методы продолжения функций и систем функций (*) с границы области на всю область основаны на интегральных представлениях функций. Подобные методы продолжения функций обычно являются линейными. Существуют и другие методы продолжения функций, напр., основанные на разложении функций в ряды с последующим продолжением каждого члена ряда. Этот метод, вообще говоря, не линейный. Имеются случаи, когда заведомо не существует линейного метода продолжения [13].

Лит.:[1] Хаусдорф Ф., Теория множеств, вер" с нем., М.- Л., 1937; [2] Колмогоров А. Н., Фомин С. В., Элементы теории функций и функционального анализа, 5 изд., М., 1981; [3] Hestenes М. R., Extension of the range of differentiable function, "Duke Math. J.", 1941, v. 8, p. 183-92; [4] Whitney H., "Trans. Amer. Math. Soc.", 1934, v. 36, p. 63-89; 1936, v. 40, p. 309-17; [5] Levi Е. В., "Mem. Soc. It. dei XL", 1909, v. 16, p. 3-112; [6] Giraud G., "Ann.-EC. norm, sup.", 1929, t. 46, p. 131-245; [7] его же, там же, 1932, t. 49, p. 1 - 104, 245-308; [8] Gevrey M., "Ann. EC. norm, sup.", 1935, t. 52, p. 39-108; [9] Никольский С. М., Приближение функций многих переменных и теоремы вложения, 2 изд., М., 1977; [10] Бесов О. В., Ильин В. П., Никольский С. М., Интегральные представления функций и теоремы вложения, М., 1975; [11] Кудрявцев Л. Д., "Тр. Матем. ин-та АН СССР", 1959, т. 55; [12]

Успенский С. В., "Сиб. матем. ж.", 1966, т. 7, № 1, с. 192-99; М 2, с. 409-18; [13] Буренков В. И., Гольдман М..71., "Тр. Матом, ин-та АН СССР", 1979, т. 150, с. 31 - 51. Л. <Д. <Кудрявцев.