Математическая энциклопедия
- функциональный ряд вида
где а п -комплексные коэффициенты; l п, 0<
-показатели Д. p., s= s+ it - комплексное переменное. При ln=ln пполучается так наз. обыкновенный ряд Дирихле
Ряд
представляет для s>1 дзета-функцию Римана. Ряды
где х(п)- функция, наз. Дирихле характером, изучались П. Дирихле (см. Дирихле L-функция). Ряды (1) с произвольными показателями l п наз. общими рядами Дирихле.
Общие ряды Дирихле с положительными показателями. Пусть сначала l п- положительные числа. Имеет место аналог Абеля теоремы для степенных рядов: если ряд (1) сходится в точке s0=s0+it0, то он сходится в полуплоскости s>s0, причем внутри любого угла|arg(s-s0)| <j0<p/2 сходится равномерно. Открытая область сходимости ряда есть нек-рая полуплоскость s>с. Число с наз. абсциссой сходимости Д. р., прямая s= с- прямой сходимости Д. р., полуплоскость s>с - полуплоскостью сходимости Д. р. Наряду с полуплоскостью сходимости рассматривается полуплоскость абсолютной сходимости Д. р.: s>а - открытая область, в к-рой ряд сходится абсолютно (при этом а- абсцисса абсолютной сходимости). Абсциссы сходимости и абсолютной сходимости, вообще говоря, различны; всегда
причем имеются Д. р., для к-рых а-c=d. В случав d=0 для вычисления абсциссы сходимости (абсциссы абсолютной сходимости) имеется формула
представляющая собой аналог формулы Коши - Адамара. Случай d>0 сложнее: если величина
положительна, то с=b; если 
и ряд (1) в точке s=0 расходится, то с=0; если 
и ряд (1) в точке s=0 сходится, то
Сумма ряда F(s)в полуплоскости сходимости есть аналитич. функция. При 
функция F(s). ведет себя асимптотически как первый член ряда: а 1 е -l1s (если а неравно 0). Если сумма ряда равна нулю, то и все коэффициенты ряда равны нулю. Максимальная полуплоскость s>h, в к-рой F(s)является аналитич. функцией, наз. полуплоскостью голоморфности функции F(s), прямая s =h наз. прямой голоморфности. Справедливо неравенство h<с, причем возможны случаи, когда h<с. Пусть q- нижняя грань таких чисел b, что в полуплоскости s>b функция F(s)по модулю ограничена (q<а). Имеет место формула
из к-рой вытекают неравенства
представляющие собой аналог неравенств Коши для коэффициентов степенного ряда.
Сумма Д. р. не может быть произвольной функцией, аналитической в какой-либо полуплоскости s>h: она, напр., должна стремиться к нулю при 
Однако имеет место следующий факт: какова бы ни была функция j(s), аналитическая в полуплоскости s>h, найдется такой Д. р. (1), что его сумма F(s)будет отличаться от j(s) на целую функцию.
Если последовательность показателей имеет плотность 
то разность между абсциссой сходимости (абсциссы сходимости и абсолютной сходимости совпадают) и абсциссой голоморфности не превосходит величины
причем имеются ряды, для к-рых эта разность равна 6. Величина d может быть любой из 
в частности, если 
n=1, 2,..., то d=0. Прямая голоморфности обладает тем свойством, что на ней в любом отрезке длины 2pt у суммы ряда имеется хотя бы одна особенность.
Если Д. р. (1) сходится во всей плоскости, то его сумма F(s)есть целая функция. Пусть
R- порядком целой функции F(s) (порядком по Ритту) наз. величина
Через коэффициенты ряда она выражается по формуле
Можно также ввести понятие R-т ипа функции F(s). Если
и если в горизонтальной полосе ширины, большей 2pt, функция F(s)по модулю ограничена, то F(s)=0 (аналог Лиувилля теоремы).
Ряды Дирихле с комплексными показателями. У Д. р.
(2)
с комплексными показателями 
открытая область абсолютной сходимости выпукла. Если
то открытые области сходимости и абсолютной сходимости совпадают. Сумма F(s)ряда (2) в области сходимости есть аналитич. функция. Область регулярности функции F(s), вообще говоря, шире области сходимости Д. р. (2). При условии
область регулярности выпукла. Пусть
L(X)- какая-нибудь целая функция экспоненциального типа, к-рая в точках l п,
имеет простые нули, y(t)- функция, ассоциированная по Борелю с L(X) (см. Бореля преобразование), D- наименьшее выпуклое замкнутое множество, содержащее все особенности функции y(t), и
Тогда функции yn(t) регулярны вне 
и они обладают свойством биортогональности к системе {еlns }:
где С- замкнутый контур, охватывающий 
В том случае, когда yn(t) непрерывны вплоть до границы области 
в качестве Сможно взять границу дD. Произвольной функции F(s), аналитической в D(открытой части области 
) и непрерывной в 
отнесем ряд
Для данной конечной выпуклой области 
можно построить такую целую функцию ИХ )с простыми нулями l1, l2,..., что для любой функции F(s), аналитической в Dи непрерывной в 
ряд (3) равномерно сходится внутри Dи сходится к F(s). Для функции j(s), аналитической в D(не обязательно непрерывной в 
), можно найти целую функцию нулевого экспоненциального типа
и функцию F(s), аналитическую в Dи непрерывную в 
такие, что
Тогда 
Представление произвольных аналитич. функций
Д. р. в области Dустановлено также в случаях, когда D- вся плоскость или D- выпуклая бесконечная многоугольная область (ограниченная конечным числом прямолинейных отрезков).
Лит.:[1] Леонтьев А. Ф., Ряды экспонент, М., 1976; [2] Мандельбройт С, Ряды Дирихле, принципы и методы, пер. с англ., М., 1973.
А. Ф. Леонтьев.
Математическая энциклопедия
для аналитической почти периодической функции - ряд вида
представляющий собой все ряды Фурье аналитической регулярной почти периодической в полосе (a, b), 
, функции f(s)=f(t+it) на конти-. нуальной совокупности прямых R(s) = t (см. Почти периодическая функция аналитическая).
Двум различным почти периодическим в одной и той же полосе функциям соответствуют два различных Д. р. В случае 2p-периодич. функции ряд (*) переходит в ряд Лорана. Числа А п и L п наз., соответственно, коэффициентами и показателями Дирихле. В отличие от классического Д. р. множество действительных показателей L п в (*) может иметь конечные предельные точки, и, даже, быть всюду плотным. Если все показатели Дирихле имеют один и тот же знак, напр., если f(s)- почти периодич. функция в полосе (а, Р) и в (*)
то f(s) - почти периодич. функция в полосе 
и 
равномерно по t. Аналогичная теорема имеет место для положительных показателей Дирихле (см. [2]). Если f(s)- почти периодич. функция в полосе [a, b] и неопределенный интеграл функции f(s) в полосе [a, b] ограничен, то ряды
являются рядами Дирихле двух функций f1(s)и f2(s), почти периодических в любой полосе 
соответственно 
b1<b.
Лит.:[1] Бор Г., Почти периодические функции, пер. с нем., М.-Л., 1934; [2] Левитан Б. М., Почти периодические функции, М., 1953.
Е. А. Бредихина.