Математическая энциклопедия
- сходимость ряда
"оставленного из ограниченных отображений 
множества 
в нормированное пространство Y, такая, что сходится ряд с положительными членами
составленный из норм отображений 
Из Н. с. ряда (1) вытекает абсолютная и равномерная сходимость ряда 
состоящего из элементов пространства 
; обратное заключение неверно. Напр., если 
есть действительная функция, определяемая равенствами: 
при 
и 
при 
то ряд 
сходится абсолютно п равномерно, а ряд 
расходится.
Пусть, в частности, 
- кусочно непрерывные функции на нек-ром некомпактном интервале 
и имеет место Н. с. ряда (1), тогда возможно почленное интегрирование на интервале I:
Несобственный интеграл
наз. нормально сходящимся на множестве А, если существует кусочно непрерывная положительная функция 
такая, что для любого 
и любого 
выполняется неравенство 
и интеграл 
сходится. Из Н. с. интеграла (2) следует его абсолютная и равномерная сходимость; обратное заключение неверно.
Лит.:[1] Бурбаки Н., Общая топология, пер. с франц., М., 1975; [2] его же, Функции действительного переменного. Элементарная теория, пер. с франц., М., 1965; [3] Шварц Л., Анализ, пер. с франц., т. 1, М., 1972.
Е. Д. Соломенцев.