«ПЕРЕСЕЧЕНИЯ ИНДЕКС»

- число точек пересечения пдивизоров на n-мерном алгебраич. многообразии с учетом кратностей этих точек. Точнее, пусть Xесть и-мерное неособое алгебраич. многообразие над полем k,a D₁,..., D_n - эффективные дивизоры на X, пересекающиеся в конечном числе точек. Локальным индексом (или кратностью) пересечения этих дивизоров в точке наз. целое число

где и _i - локальные уравнения дивизора D_i в локальном кольце . В комплексном случае локальный индекс совпадает с вычетом формы , а также со степенью ростка отображения

Глобальный индекс пересечения (D₁,..., D_n).есть сумма локальных индексов по всем точкам пересечения . Если это пересечение не пусто, то (D₁,..., D_n)>0.

См. также Пересечений теория. В. И. Данилов

- гомологический инвариант, характеризующий алгебраическое (т. е. учитывающее ориентацию) число точек пересечения двух подмножеств дополнительных размерностей в евклидовом пространстве или ориентированном многообразии (находящихся в общем положении). В случае неориентируемого многообразия в качестве кольца коэффициентов R для гомологии рассматривается .

Пусть - такие пары подмножеств евклидова пространства , что , и пусть

- отображение, для к-рого d(x,у)=х-у. Индексом пересечения xoh классов гомологии , наз. элемент . Здесь d_* - индуцированное отображение гомологии, а

- внешнее гомологич. произведение элементов xи h.

П. и. зависит лишь от тех частей классов x и т), носители к-рых попадают в произвольно малую окрестность Vзамыкания множества . В частности, , если . Кроме того, если V, при , то определены соответствующие каждому открытому множеству V_i локальные П. и. x и h), сумма к-рых совпадает с . Инвариант не меняется при гомеоморфизмах . Вместе с предшествующим свойством локальности это позволяет определить П. и. для компактных подмножеств ориентированного многообразия. Имеет место следующее соотношение антикоммутативности:

Если Xи Y- векторные подпространства общего положения, а x и h - образующие , то - образующая . Так как выбор указанных образующих равносилен выбору ориентации в соответствующих евклидовых пространствах, это дает возможность определить П. и. двух цепей дополнительных размерностей (в том числе сингулярных), для к-рых (|с| - носитель, а дс - граница цепи с). При этом для определяемых цепями с, с' классов гомологии ,

П. и. применяется для описания нек-рых соотношений двойственности в многообразиях.

Лит.:[1] Дольд А., Лекции по алгебраической топологии, пер. с англ., М., 1076. Е. Г. Скляренко.