«ФАТУ ТЕОРЕМА»

о переходе к пределу под знаком интеграла Лебега: если последовательность измеримых и неотрицательных функций f₁(x), f₂(x),... почти всюду на множестве Есходятсякфункции f(x), то

Доказана впервые П. Фату [1]. Часто в ее формулировке заменяют на sup.

Лит.:[1] Fаtоu P., лActa math.

в теории функций комплексного переменного: 1) Пусть гармонич. функция , представит в единичном круге интегралом Пуассона - Стилтьеса

где - борелевская мера, сосредоточенная на единичной окружности , Тогда почти всюду по мере Лебега на Тфункция и(z)имеет угловые граничные значения.

Эта Ф. <т. обобщается для гармонич. функций и(х), представимых интегралом Пуассона - Стилтьеса в областях Ляпунова (см. [2], [3]). О Ф. <т. для радиальных граничных значений кратногармония, функций и(z)в поликруге

см. [4], [5].

2) Еели f(z) - ограниченная аналитич. ция в U, то почти всюду по мере Лебега на Тона имеет угловые граничные значения.

Эта Ф. т. обобщается для ограниченного вида функций (см. [6]). Точки в к-рых существует угловое граничное значение наз. точками Фату. Относительно обобщений Ф. т. для аналитич. ций f(z) многих комплексных переменных z=(z₁,.... z_n), см. [7]; оказывается, что при существуют граничные значения и по комплексным касательным направлениям.

3) Если коэффициенты степенного ряда с единичным кругом сходимости Uстремятся к нулю, то этот ряд равномерно сходится на каждой дуге окружности Т, состоящей только из регулярных граничных точек для суммы ряда. Если и ряд равномерно сходится на дуге то отсюда не следует, что точки этой дуги регулярные для суммы ряда.

Теоремы 1), 2), 3) были доказаны П. Фату [1].

Лит.:[1] Fatоu P., лActa math.