Математическая энциклопедия
тела Платона,- выпуклые многогранники, все грани к-рых
суть одинаковые правильные многоугольники и все многогранные углы при вершинах правильные и равные (рис. 1a-1д).
В евклидовом пространстве Е 3 существуют пять П. м., данные о к-рых приведены в табл. 1, где символ Шлефли {р, q} (см. Многогранника группа).обозначает П. м. с p-угольными гранями и q-гранными углами.
Табл. 1. -Правильные (выпуклые) многогранники в Е 3
| Рис.
| Символ Шлефли
| Число вершин
| Число ребер
| Число граней
| ||
Тетраэдр
| 1а
| {3,3}
| 4
| 6
| 4
| ||
Куб (гексаэдр)
| 16
| {4,3}
| 8
| 12
| 6
| ||
Октаэдр
| 1в
| {3,4}
| 6
| 12
| 8
| ||
Додекаэдр
| 1г
| {5,3}
| 20
| 30
| 12
| ||
Икосаэдр
| 1д
| {3,5}
| 12
| 30
| 20
| ||
Двойственными многогранниками {р, q} и {q, p} наз. такие, к-рые переходят друг в друга при полярном преобразовании относительно вписанной
Табл. 2.-Правильные многогранники в Е 4
| Символ Шлефли
| Число вершин
| Число ребер
| Число двумерных граней
| Число трехмерных граней
| ||
Симплекс
| {3, 3, 3}
| 5
| 10
| 10
| 5
| ||
Гиперкуб
| {4, 3, 3}
| 16
| 32
| 24
| 8
| ||
16-гранник
| {3, 3, 4}
| 8
| 24
| 32
| 16
| ||
24-гранник
| {3, 4, 3}
| 24
| 96
| 96
| 24
| ||
120-гранник
| {5, 3, 3}
| 600
| 1200
| 720
| 120
| ||
600-гранник
| {3, 3, 5}
| 120
| 720
| 1200
| 600
| ||
или описанной сферы. Тетраэдр двойствен сам себе, гексаэдр - октаэдру и додекаэдр - икосаэдру.
В пространстве E4 существуют шесть П. м., данные о к-рых приведены в табл. 2.
В пространстве Е n, n>4, существует три П. м.- аналоги тетраэдра, октаэдра и куба; их символы Шлеф-ли- {3,...,3}, {4,3,...,3}, {3,...,3, 4}.
Если под многоугольником понимать плоские замкнутые ломаные (хотя бы и самопересекающиеся), то можно указать еще 4 невыпуклых (звездчатых) П. м. (тела Пуансо).
В этих многогранниках либо грани пересекают друг друга, либо грани - самопересекающиеся многоугольники (рис. 2а-2г). Данные о них приведены в табл. 3.
Табл. 3.-П р а в и л ь н ы е (невыпуклые) многогранники в Е 3
| Рис.
| Число вершин
| Число ребер
| Число граней
| ||
Малый звездчатый додекаэдр
| 2а
| 12
| 30
| 12
| ||
Большой звездчатый додекаэдр
| 2б
| 20
| 30
| 12
| ||
Большой додекаэдр
| 2в
| 12
| 30
| 12
| ||
Икосаэдр
| 2г
| 12
| 30
| 20
| ||
Лит.:[1] Энциклопедия элементарной математики, кн. 4- Геометрия, М., 196IJ; 12] Люстерник Л. А., Выпуклые фигуры и многогранники, М., 1956; [3] Шклярский Д. О., Ченцов Н. Н., Яглом И. М., Избранные задачи и теоремы элементарной математики, ч. 3, М., 1954; [4] Соxeter Н. S. М., Regular polytopes, 3 ed., N.Y., 1973.
А. Б. Иванов.