«ШВАРЦА ЛЕММА»

если функция f(z) регулярна в круге E={|z|<1 }, f(0)=0 и в E, то при справедливы неравенства

причем знаки равенства в них (в первом из неравенств (1) при имеют место только в случае, когда где -действительная постоянная (классическая форма Ш. л.). Эта лемма была доказана Г. Шварцем (см. [1]).

Известны различные формы Ш. л. Напр., инвариантная форма Ш. л.: если функция f(z) регулярна в круге . и в Е, то для любых точек справедливо неравенство

где -гиперболич. расстояние между точками а, Ь в круге E(см. Гиперболическая метрика);кроме того, при справедливо неравенство

при этом знаки равенства в (2) и (3) имеют место только в случае, когда f(z) - дробно-линейное отображение круга Ена себя.

Неравенство (3) наз. также дифференциальной формой Ш. л. Интегрирование этого неравенства приводит к следующей формулировке Ш. л: при отображении круга Е с помощью регулярной функции f(z), для к-рой|f(z)|<1 при гиерболич. длина произвольной дуги в Еуменьшается, за исключением того случая, когда f(z) реализует однолистное конформное отображение круга Ена себя, в этом случае гипeрболич. расстояния между точками Eсохраняются.

Обобщением инвариантной формы Ш. л. на многосвязные области, в к-рых может быть определена гиперболич. метрика, служит гиперболической метрики принцип. Известны аналоги Ш. л. для голоморфных отображений в n-мерном комплексном пространстве (см. [4]).

Лит.:[1] Schwarz H. A., Ges. math. Ahli., Bd 1-2, В., 1890; [2] Голузин Г. М., Геометрическая теория функций комплексного переменного, 2 изд., М., 1966; [3] Неванлинна Р., Однозначные аналитические функции, пер. с нем., М.- Л., 1941; [4] Шабат Б. В., Введение в комплексный анализ, 2 изд., М., 1976, ч. 2.

Г. В. Кузьмина.