«ВЕСОВОЕ ПРОСТРАНСТВО»

с (не обязательно числовым) параметром имеет при фиксированном значении решение . Тогда при значениях , близких к , уравнение (*) может иметь несколько (более одного) решений , близких к .

В этих случаях говорят, что происходит ветвление решения ,а пара наз. точкой ветвления у равнения (*).

Пример: Уравнение , где и - комплексные переменные, имеет точку ветвления ибо существует двузначное решение т. е. решение (при ) разветвляется при малых на два малых нетривиальных решения.

Современная теория В. р. основывается на идеях А. М. Ляпунова [1] и Э. Шмидта [2] и наиболее развита для нелинейных уравнений в банаховых пространствах.

Пусть и - комплексные банаховы пространства, - комплексное переменное, а - нелинейный оператор, непрерывный вместе с Фреше производной в окрестности точки отображающий в окрестность нуля пространства E₂ п такой, что - Фредгольма оператор.

Задача состоит в том, чтобы найти в шаре достаточно малого радиуса rвсе решения уравнения (*), непрерывные при где также достаточно мало. Иными словами, это есть задача локального продолжения решения по параметру . Если существует обратный оператор , то задача имеет единственное решение , причем Если же , не существует, то нуль-пространство оператора Вимеет размерность . В этом случае задача может быть сведена к аналогичной конечномерной задаче. Пусть через Робозначен проектор на , а через - проектор на область значений оператора В, где I - тождественный оператор. Уравнение (*) может быть записано в виде системы

где Из первого уравнения системы определяется неявный оператор В результате его подстановки во второе уравнение системы получается уравнение

для определения ; оно наз. уравнением разветвления. Полное решение задачи о нахождении в шаре достаточно малого радиуса rвсех решений уравнения разветвления, непрерывных при (где достаточно мало), приводит к полному решению исходной задачи, ибо всякое ее решение пред-ставимо в виде

где - нек-рое решение уравнения разветвления.

Пусть - аналитический оператор в . Выбор базисов в и-мерных подпространствах и позволяет записать уравнение разветвления в виде системы

- аналитич. функции в точке причем все частные производные обращаются в нуль в этой точке. Исследование этой системы может осуществляться при помощи теории исключения, метода Ньютона диаграммы п др. методов (см. [3] - [5]). При n=1 полный анализ осуществляется методом диаграммы Ньютона. Применительно к исследованию уравнения разветвления, а значит и исходной задачи, возможны лишь следующие три случая: а) задача не имеет решений; б) задача имеет конечное число решений и все ени представимы сходящимися рядами по целым или дробным степеням разности ; в) задача имеет конечное число семейств решений, каждое из к-рых зависит от конечного числа свободных малых параметров, и, быть может, конечное число решений, указанных в б).

Для того чтобы имел место случай б), достаточно, чтобы было изолированным решением уравнения В случае б) решения удобно искать методом неопределенных коэффициентов в виде

где - коэффициенты, подлежащие определению, а возможные значения рмогут быть предварительно найдены с помощью уравнения разветвления. Подстановка такого ряда в (*) приводит к рекуррентной системе для нахождения При этом получаются задачи вида и каждое x_k определяется с точностью до ппроизвольных постоянных, к-рые определяются из требований разрешимости последующих уравнений. Все полученные ряды сходятся в нек-рой окрестности точки . Оценка снизу радиуса окрестности может быть получена с помощью построения мажорант (см. [6]).

Для того чтобы имел место случай в), необходимо, чтобы было неизолированным решением уравнения . Здесь применение метода неопределенных коэффициентов может привести к расходящимся рядам (формальным решениям). Если задача инвариантна относительно непрерывной группы линейных операторов в , то в ряде случаев использование групповых соображений позволяет уменьшить число уравнений и неизвестных в уравнении разветвления и тем самым упростить задачу или даже свести ее к случаю б) (см. [7], [8])..

Уравнение может иметь также решения, определенные лишь при Эти решения возможны только тогда, когда - неизолированное решение уравнения они находятся при помощи уравнения разветвления при Определение всех его многопараметрич. семейств решений приводит к определению всех решений уравнения (*) с

В случае вещественных пространств и уравнение разветвления изучается в комплексной области, а затем отбираются вещественные решения. Нек-рые из них могут оказаться определенными в полуокрестностях точки

Изложенная методика частично применима также в случаях, когда - достаточно гладкий оператор, В - нётеров оператор, а параметр - элемент еще одного банахова пространства Е(точки ветвления могут заполнять в Елинии и поверхности). Этим же способом исследуются нек-рые близкие задачи: задача отыскания больших решений (уравнение (*) может иметь решения при ), задача ветвления собственных значений и собственных элементов линейных операторов и др. (см. [3]). Частный случай, когда

исследовался также топологическими, вариационными методами и методами, использующими конусы в банаховом пространстве. В этом круге вопросов значительную роль играет понятие точки бифуркации. Встречаются также задачи о ветвлении решений, не укладывающиеся в описанную выше схему. Это, напр., задачи для дифференциальных уравнений с вырождением (см. [9], [10]) и задачи о длинных и уединенных волнах (см. [11]).

Лит.:[1] Ляпунов А. М., О фигурах равновесия, мало отличающихся от эллипсоидов, вращающейся однородной мяссы жидкости, Собр. соч., т. 4, М., 1959; [2] Sсhmidt E., "Math. Ann.", 1908, Bd 65, S. 370-99; [3] Вайнберг М. М.. Треногий В. А., Теория ветвления решений нелинейных уравнений, М., 1989; 4 Вайнберг М. М., Треногин В. А., "Успехи матем. наук", 1962, т. 17, в. 2: [5] Красносельский М. А. [и д р.], Приближенное решение операторных уравнений, М., 1969; [6] Ахмедов К. Т., "Успехи матем. наук", 1957, т. 12, в. 4, с. 135-53; [7] Юдович В. И., "Прикл. матем. и механ.", 1967, т. 31, в. 1, с. 101 -11; [8] ЛогиновБ. В., Треногий В. <А., "Докл. АН СССР", 1971, т. 197, № 1; [9] АхмедовК. <Т., там же, 1957, т. 115, № 1;[10] Сидоров Н. А., "Дифференц. уравнения", 1967, т. 3, № 9; [11] Тер-Крикоров А. М., Треногин В. А., там же, т. 3, № 3.

В, А. Треногий.