«СОБОЛЕВА ПРОСТРАНСТВО»

пространство функций f=f(x)=f(x₁,...,x_n), определенных на множестве (обычно открытом) и интегрируемых с р- йстепенью их модуля вместе со своими обобщенными производными до порядка lвключительно

Норма функции определяется при помощи равенства

Здесь

есть обобщенная частная производная от f порядка|k| = и норма

При эта норма равна существенному максимуму:

т. <е. нижней грани чисел А, для к-рых неравенство имеет место на множестве меры нуль.

Пространство Соболева определено и впервые применено в теории краевых задач матeматич. физики в [1], [2].

Благодаря тому что в определении С. п . участвуют не обычные, а обобщенные производные, оно является полным, т. е. банаховым пространством.

Наряду с рассматривается его линейное подпространство, обозначенное и состоящее из функций, имеющих равномерно непрерывные на частные производные l- гопорядка. Подпространство имеет преимущества перед однако оно не замкнуто в метрике и само по себе не является полным пространством, но для широкого класса областей (с липшициевой границей, см. ниже) при пространство плотно в т. е. для таких областей пространство кроме полноты, приобретает новое свойство, заключающееся в том, что каждая принадлежащая к нему функция может быть как угодно хорошо приближена в метрике функциями из

Выражение (1) для нормы функции удобно заменить на следующее выражение:

Норма (1') эквивалентна норме (1) (т. е. где c₁, с ₂>0 не зависят от f). При р=2 норма (1') гильбертова, и это широко используется в приложениях.

Граница Г ограниченной области наз. липшицевой, если, какова бы ни была точка найдется прямоугольная система координат с началом в этой точке и прямоугольник

такой, что пересечение описывается функцией

удовлетворяющей на (проекции на плоскость условию Липшица

где константа Мне зависит от указанных точек и Гладкие и многие кусочно гладкие границы охватываются понятием липшицевой границы. Для области с липшицевой границей норма (1) эквивалентна следующей:

где полунорма

Можно рассматривать более общие анизотропные пространства (классы) где l=(l₁,...,l_n) - положительный вектор (см. Вложения теоремы). Для каждого такого вектора lэффективно и в известной мере исчерпывающе определяется класс областей обладающих тем свойством, что если то любую функцию можно продолжить на с сохранением класса. Точнее, можно определить на функцию со свойствами

где сне зависит от f (см. [3]).

Благодаря этому свойству неравенства типа теорем вложения для функций автоматически переносятся на функции

Для векторов вида l=(l₁,..., l_n )области имеют липшицевы границы. Для них

Исследование пространств (классов) ведется на основе специальных интегральных представлений функций, принадлежащих этим классам. Первое такое представление получено (см. [1], [2]) для изотропного пространства области звездной относительно нек-рого шара. Дальнейшее развитие этого метода см., напр., в [3].

Классы W^l_p и W^l_p получили обобщение на случай дробных чисел пли векторов l=(l₁,..., l_n )с дробными компонентами l_j.

Пространство рассматривают и для отрицательных целых l. Элементами его являются, вообще говоря, обобщенные функции f, т. е. линейные функционалы над финитными в бесконечно дифференцируемыми функциями

По определению, обобщенная функция / принадлежит классу при натуральном l = 1, 2, 3,..., вели конечна верхняя грань:

распространенная на указанные функции j с нормой в метрике не превышающей единицу (1/p+1/q=1). Можно еще сказать, что функции l=1, 2,..., образуют пространство, сопряженное к банахову пространству

Лит.: [1] Соболев С. Л., лМатем. сб.