Математическая энциклопедия
- слабое расширение операции обычного дифференцирования. Пусть обобщенная функция
. Обобщенная (слабая) производная
порядка 
определяется равенством
Так как операция 
линейна и непрерывна из D(О)в D(О), то функционал 
определяемый правой частью равенства (*), есть обобщенная функция из 
. Если 
при всех 
таких, что 
Имеют место следующие свойства О. ф. п.: операция 
линейна и непрерывна из D' (О)в D' (О);любая обобщенная функция из D' (О)бесконечно дифференцируема (в обобщенном смысле); дифференцирование He-зависит от порядка; справедлива формула Лейбница для дифференцирования произведения аf, где 
Пусть 
Может случиться, что нек-рая обобщенная производная 
может быть отождествлена с нек-рой 
(О)-функцией. В этом случае 
- обобщенная производная типа функции.
Примеры. 1)
где 
- функция Хевисайда и d - функция Дирака.
2) Общее решение уравнения 
в классе 
есть произвольная постоянная.
3) Тригонометрический ряд
сходится в D' и его можно дифференцировать в D' почленно бесконечное число раз.
Лит.:[1] Schwartz L., Theorie des distributions, v. 1, P., 1950; [2] Соболев С. Л., Некоторые применения функционального анализа в математической физике, Новосиб., 1962,
В. С. Владимиров.