Математическая энциклопедия
- особенности дифференцируемых отображений, классификация к-рых была анонсирована Р. Томом [1] при рассмотрении им градиентных динамич. систем и аналогичная списку критических точек коразмерности 
дифференцируемых функций. Исходная формулировка результата Тома: 4-параметрические семейства функций в типичном случае устойчивы и с точностью до знака и замены переменных задаются в окрестности критич. точки одним из семи выражений (см. табл.).
| Обозначение | Коразмерность | Коранг | Росток | Универсальная деформация | Название |
| A2 | 1 | 1 | х 3 + у2 | их | Складка |
| А 3 | 2 | 1 | х 4 + у2 | ux + vx2 | Сборка |
| А 4 | 3 | 1 | х 5 + у2 | их + vx2 + их3 | Ласточкин |
| D-4 | 3 | 2 | х 3 + ху2 | ux + vx2 + wy | Гиперболич. омбилика |
| D+4 | 3 | 2 | х 3 - ху2 | ux+vx2 + wy | Эллиптич. омбилика |
| А 5 | 4 | 2 | x6 + у2 | ux + vx2 + +wx3+ tx4 | Бабочка |
| D5 | 4 | 2 | х 4 + ху 2 | ux + vx2 + + wx3 + ty | Парабол ич. омбилика |
Ростки, отвечающие Т. к., являются конечно определенными (точнее, 6-определенными: в подходящих координатах они записываются как многочлены от двух переменных степени 
Коразмерность codim служит мерой сложности критич. точек; любое достаточно малое возмущение функции f с codim-r приводит к функции, имеющей не более r критич. точки. Коразмерностью особенности (т. <е. ростка f, для к-рого f(0)=Df(0)=0) наз. число 
где 
- идеал, порожденный ростками 
Напр., если f=xN, то 
и базисом 
служат смежные классы элементов х, х2,..., xN-2, так что codim=2.
Имеет место неравенство codim 
где с - коранг гессиана 
отсюда, в частности, если 
то 
Конечная определенность (достаточность) ростка, грубо говоря, означает, что он определяется с точностью до гладких замен координат своей струей. Точнее, росток f наз. k-определенным, если каждый росток f', имеющий ту же k-струю (т. е. отрезок ряда Тейлора до членов порядка 
что и f, правоэквивалентен f (см.|2]). Для конечной определенности ростка необходима и достаточна конечность его коразмерности. В частности, если codim=r, то f является (r+2)-определенным (отсюда 6-определенности при 
Т. к., в отличие от случая общего положения, являются вырожденными особенностями (т. е. гессиан в них вырожден), и от них можно, как указывалось, избавиться малым возмущением. Однако для многих практически важных случаев, равно как и в теоретич. плане, представляет интерес не индивидуальный объект, а семейство таковых, зависящее от нескольких луправляющих